Ученики на Учителя.com


Обучение младших школьников решению текстовых задач

1
Тема: Обучение младших школьников решению текстовых задач
Содержание:
1. Понятие текстовой задачи
2. Этапы решения текстовой задачи
3. Виды текстовых задач, изучаемых в начальной школе
4. Методика обучения младших школьников решению простых задач
5. Методика обучения решению составных задач
6. Задачи на движение
1. Понятие текстовой задачи
Следует отметить, что в настоящее время текстовым задачам отводится ведущая роль
в начальном курсе математики. Если в Государственном образовательном стандарте 2004
года в содержании изучаемой дисциплины было только указано: «Решение текстовых задач
арифметическим способом (с опорой на схемы, таблицы, краткие записи и другие модели)».
То в ФГОС НОО, введенном в 2011 году, выделяется отдельный раздел «Текстовые задачи»,
в ходе изучения которого должны быть сформированы как общее умение решать текстовые
задачи, так и умение решать задачи отдельных видов. Особое внимание уделяется оценке
умения учащихся осознанно работать с условием задачи. В итоговых работах впервые
предлагаются комплексные задания повышенной сложности, требующие от ученика умения
интегрировать знания из различных разделов программы для решения поставленной задачи.
Таблица 1
Содержание раздела «Текстовые задачи» ФГОС НОО
Содержание изучения
Характеристика деятельности учащихся
Задача. Условие и вопрос задачи. Запись
решения и ответа на вопрос задачи.
Арифметические действия с величинами
при решении задач.
Решение текстовых задач арифметическим
способом. Задачи, при решении которых
используются: смысл арифметического
действия (сложение, вычитание,
умножение, деление); понятия «увеличить
на (в)…», «уменьшить на (в)…»; сравнение
величин.
Задачи, содержащие зависимость между
величинами, характеризующими процессы
движения (скорость, время, пройденный
путь), работы (производительность труда,
время, объем всей работы), изготовление
товара (расход на предмет, количество
предметов, общий расход), расчета
стоимости (цена, количество, общая
стоимость). Задачи на время (начало, конец,
продолжительность событий).
Решение текстовой задачи в несколько
действий разными способами.
Предметное представление о доле. Задачи,
содержащие долю (половина, треть,
четверть, пятая часть и т.п.). Задачи на
нахождение доли целого и целого по
значению его доли.
Моделировать изученные зависимости.
Находить и выбирать способ решения
текстовой задачи. Выбирать удобный способ
решения задачи.
Планировать решение задачи.
Действовать по заданному и самостоятельно
составленному плану решения задачи.
Объяснять (пояснять) ход решения задачи.
Использовать геометрические образы для
решения задачи.
Обнаруживать и устранять ошибки
логического (в ходе решения) и
арифметического (в вычислении) характера.
Наблюдать за изменением решения задачи при
изменении условия.
Самостоятельно выбирать способ решения
задачи.
2
Задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ,
опираясь и учитывая те условия, которые указаны в тексте.
Рис. 1
Задача: В корзине 15 грибов. Из них 5 белых, остальные - лисички. Сколько лисичек
было в корзине?
Условие: В корзине 15 грибов, из них 5 белых, остальные - лисички.
Вопрос: Сколько лисичек было в корзине?
Любое математическое задание можно рассматривать как задачу, выделив в нем
условие, т.е. ту часть, где содержатся сведения об известных и неизвестных значениях
величин, об отношениях между ними, и требование (т.е. указание на то, что нужно найти).
Например:
1. «Поставь знаки >,<,=, чтобы получились верные записи: 3…5, 8…4. « Условие
задачи – числа 3 и 5, 8 и 4. Требование – сравнить эти числа.
2. «Реши уравнение: х+4=9». В условии дано уравнение. Требование – решить его,
т.е. подставить вместо х такое число, чтобы получилось истинное равенство.
Для выполнения каждого требования применяется определенный метод или способ
действия, в зависимости от которого выделяют различные виды математических задач: на
построение, доказательство, преобразование, комбинаторные, текстовые и т.д.
Текстовая задача - это сформулированный словами вопрос, ответ на который может
быть получен с помощью арифметических действий.
Решить задачу – это значит объяснить (рассказать), какие действия нужно выполнить
над данными в ней числами, чтобы после вычислений получить число, которое в ней нужно
узнать.
Записать решение задачи – значит с помощью цифр и знаков действий показать, что
нужно сделать, чтобы найти неизвестное число, выполнить вычисления и дать ответ на
вопрос задачи.
Обучение решению задач – это специально организованное взаимодействие учителя
и учащихся, цель которого – формирование у учащихся умения решать задачи.
Любое умение – это качество человека, а именно: его готовность и возможность
успешно осуществлять определенные действия. В методической литературе принято
выделять два основных типа умения решать задачи:
1. Общее умение решать задачи (ОУРЗ) проявляется при решении человеком
незнакомой задачи, т.е. задачи такого вида, способ решения которой неизвестен решающему.
ОУРЗ складывается из:
• знаний о задачах, структуре задач, процессе решения и этапах решения, методах,
способах и приемах решения;
• умений выполнять каждый из этапов решения любым из методов и способов
решения, используя любой из приемов, помогающих решению.
Обучение общему умению решать задачи – это
• формирование знаний о задачах, методах и способах решения, приемах,
помогающих решению, о процессе решения задачи, этапах этого процесса,
назначении и содержании каждого этапа;
Структурные элементы
текстовой задачи
ВОПРОС
(требование)
УСЛОВИЕ
(исходные данные)
3
• выработка умения расчленять задачи на составные части, использовать различные
методы решения, адекватно применять приемы, помогающие понять задачу,
составить план решения, выполнить его, проверить решение, умения выполнять
каждый из этапов решения.
2. Умение решать задачи определенных видов состоит из;
• знаний о видах задач, способах решения задач каждого вида;
• умения «узнать» задачу данного вида, выбрать соответствующий ей способ
решения и реализовать его на «узнанной» задаче.
Обучение умению решать задачи определенных видов включает в себя усвоение
детьми сведений о видах задач, способах решения задач каждого вида (данного вида) и
выработку умения выделять задачи соответствующих видов, выбирать способы решения,
адекватные виду задачи, применять эти способы к решению конкретных задач.
Этапы обучения младших школьников решению текстовых задач
1. Подготовительный период.
2. Знакомство с текстовой задачей и ее структурой.
3. Решение простых задач на сложение и вычитание.
4. Решение составных задач на сложение и вычитание.
5. Решение простых задач на умножение и деление.
6. Решение составных задач на сложение, вычитание, умножение и деление..
Таблица 2
Ошибки, возникающие при работе над текстовыми задачами
Методические ошибки учителя
1. Недостаточно внимания уделяется процессу
формирования общего умения решать задачи.
Умение решать текстовые задачи
рассматривается как умение решать задачи
определенных типов.
2. Работа над усвоением структуры задачи
носит формальный характер, так как
предлагаются однотипные текстовые
конструкции, в которых учащиеся могут
выделить условие, вопрос, известные и
неизвестные, ориентируясь на внешние признаки.
3. Излишнее внимание уделяется оформлению
решения текстовых задач в ущерб обсуждению
процесса их решения.
На уроках проявляется тенденция к решению
как можно большего количества задач в ущерб
их обучающему и развивающему назначению.
5. Перечень методических средств и приемов,
способствующих формированию умения решать
текстовые задачи ограничен (предметная
интерпретация, краткая запись, аналитико-
синтетический разбор).
6. Всю работу, связанную с анализом задачи,
учитель чаще всего берет на себя, учащиеся
привыкают работать только под руководством
взрослого. Навязывание учителем своего способа
решения задачи.
4
2. Этапы решения текстовой задачи
Решение текстовых задач осуществляется поэтапно. Последовательность этапов
обусловлена логикой условия задачи. Между тем, следует отметить, что единого взгляда на
количество этапов и их названия в методике до сих пор нет.
Таблица 3
Этапы решения задачи
М.А.Бантова
1. Ознакомление с содержанием задачи.
2. Поиск плана решения.
3. Выполнение решения задачи.
4. Проверка решения задачи.
Л.М.Фридман
1. Анализ задачи.
2. Схематическая запись задачи.
3. Поиск способа решения задачи.
4. Осуществление решения задачи.
5. Проверка решения задачи.
6. Исследование задачи.
7. Формулирование ответа задачи.
8. Анализ решения задачи.
А.В.Тихоненко
1. Чтение и осмысление текста задачи.
2. Выявление в тексте задачи условия и вопроса.
3. Установление связи между условием и вопросом.
4. Составление плана решения задачи и выбор арифметического
действия для ее решения.
5. Запись решения и ответа задачи.
6. Работа над задачей после ее решения.
Царева С. Е. выделяет следующие этапы решения текстовых задач и приемы их
выполнения (таблица 3):
Таблица 4
№
Название
этапа
Цели этапа
Приемы выполнения
1
Восприятие и
осмысление
задачи
понять задачу, т.е.
установить смысл
каждого слова,
словосочетания,
предложения и на
этой основе выделить
множества,
отношения, величины,
зависимости,
известные и
неизвестные, искомое
требование
- правильное чтение задачи (правильное
прочтение слов и предложений, правильная
расстановка логических ударений) в случае,
когда задача задана текстом;
- правильное слушание при восприятии
задачи на слух;
- представление ситуации , описанной в
задаче (создание зрительного, возможно,
слухового и кинестического образов);
- разбиение текста на смысловые части;
- переформулировка текста задачи (изменение
текста или построение словесной модели);
- построение материальной или
материализованной модели;
- постановка специальных вопросов.
2
Поиск плана
решения
составить план
решения задачи
- рассуждения «от вопроса к данным» и (или)
«от данных к вопросу» без построения
графических схем;
- рассуждения «от вопроса к данным» и (или)
«от данных к вопросу» с построением
графической схемы;
5
- замена неизвестного переменной и перевод
текста на язык равенств и (или) неравенств с
помощью рассуждений «от вопроса к
данным» и (или) «от данных к вопросу».
3
Выполнение
плана решения
найти ответ на вопрос
задачи (выполнить
требование задачи)
- Устное выполнение каждого пункта плана.
- Письменное выполнение каждого пункта
плана:
1) Арифметического метода решения:
а) в виде выражения с записью шагов по его
составлению, вычислений и полученного
результата этих вычислений – равенства;
б) в виде выражения, преобразуемого после
вычислений в равенство, без записи шагов по
составлению выражения;
в) по действиям с пояснениями;
г) по действиям без пояснений;
д) по действиям с вопросами.
2) Алгебраического метода решения:
а) в виде уравнения (неравенства) и его
решения;
б) через запись шагов составления уравнения,
самого уравнения и его решения.
3) Графического и геометрического метода
решения:
а) в виде чертежа и (или) рисунка без
промежуточных шагов построения и
измерения;
б) в виде чертежа и (или) рисунка с
представлением промежуточных шагов
построения и измерения;
4) Табличного метода решения:
а) в виде таблицы с записью шагов по ее
построению и заполнению;
б) в виде таблицы и ее заполнения без
представления промежуточных шагов;
5) Логического метода решения:
а) с использованием символического языка
логики;
б) без использования символического языка
логики.
- Выполнение решения путем практических
действий с предметами:
а) реальное;
б) мысленное.
- Выполнение пунктов плана с помощью
вычислительной техники или других
вычислительных средств:
а) с записью программы для ЭВМ, МК или
др. техники;
б) без записи программы для ЭВМ, МК и др.
техники.
6
4
Проверка
решения
установить,
соответствует ли
процесс и результат
решения образцу
правильного решения
1) Прогнозирование результата (прикидка,
установление границ ответа на вопрос задачи)
и последующее сравнение хода решения с
прогнозом.
2) Установление соответствия между
результатом решения и условием задачи:
введение в текст задачи вместо вопроса
ответа на него, получение всех возможных
следствий из полученного текста,
сопоставление результатов друг с другом и с
информацией, содержащейся в тексте.
3) Решение другим методом или способом.
4) Составление и решение обратной задачи.
5) Определение смысла составленных в
процессе решения выражений.
6) Сравнение с правильным решением – с
образцом хода и (или) результата решения.
7) Повторное решение тем же методом и
способом.
8) Решение задач с "малыми числами" с
последующей проверкой вычислений.
9) Решение задач с упрощенными
отношениями и зависимостями с
последующим восстановлением отношений и
зависимостей, данных в задаче.
10) Обоснование (по ходу) каждого шага
решения через соотнесение с более общими
теоретическими положениями.
5
Формулировка
ответа на
вопрос задачи
(вывода о
выполнении
требования)
дать ответ на вопрос
задачи (подтвердить
факт выполнения
требования задачи)
- построение развернутого истинного
суждения вида: «Так как…, то можно сделать
вывод, что…» (формулируется ответ на
вопрос задачи полным предложением в
устной или письменной форме);
- формулировка полного ответа на вопрос
задачи без обосновывающей части устно или
письменно;
- формулировка краткого ответа устно или
письменно с помощью специальных знаков.
6
Исследование
решения
установить, является
ли данное решение
(результат решения)
единственным или
возможны и другие
результаты (ответы на
вопрос задачи),
удовлетворяющие
условию задачи
- изменение результата решения в
соответствии с его смыслом и установление
характера (направления) изменений в
отношениях между измененным результатом
и условием задачи;
- подбор другого результата решения и
установление соответствия (возможности
соответствия) условию задачи; оценка
степени возможности удовлетворения
условию задачи других результатов.
7
3. Виды текстовых задач, изучаемых в начальной школе
Все текстовые задачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на
простые и составные. Задача, для решения которой надо выполнить одно арифметическое
действие, называется простой. Задача, для решения которой надо выполнить несколько
действий, связанных между собой (независимо от того, будут ли это разные или одинаковые
действия), называется составной.
В свою очередь простые задачи можно разделить на виды либо в зависимости от
действий, с помощью которых они решаются (простые задачи, решаемые сложением,
вычитанием, умножением, делением), либо в зависимости от тех понятий, которые
формируются при их решении
Для составных задач нет такого единого основания классификации, которое
позволило бы разделить их на определенные группы. Однако в методической литературе из
всего многообразия задач выделяются некоторые группы, сходные либо математической
структурой (например, задачи, в которых надо сумму разделить на число), либо способом
решения (например, задачи, решаемые способом нахождения значения постоянной
величины), либо конкретным содержанием (например, задачи на движение) и т.п.
Особое внимание уделяется процессу обучения решению задач с
пропорциональными величинами: на нахождение четвертого пропорционального, на
пропорциональное деление, на нахождение неизвестных по двум разностям. Среди которых
в рамках отдельной темы рассматриваются задачи, связанные с движением тел. Особенность
их изучения связана с равномерным движением объектов. При этом выделяются следующие
виды задач на движение:
1. Простые и составные задачи с сюжетами, связанными с движением тел.
2. Собственно задачи на движение (по количеству выполняемых действий): простые,
составные.
Составные задачи на движение подразделяются:
1) по типу связей между данными и искомым:
- на нахождение четвертого пропорционального,
- на пропорциональное деление,
- на нахождение неизвестных по двум разностям;
2) по особенностям осуществляемого движения:
а) для одного объекта:
- движение в прямом и обратном направлении,
- движение с остановками;
б) для двух объектов:
- встречное одновременное движение,
- одновременное движение в противоположных направлениях,
- движение в одном и том же направлении (вдогонку, с отставание).
В общем виде систему задач, изучаемых в начальной школе можно представить в
виде следующей таблицы (таблица 5):
Методика работы с каждым видом задач ведется в соответствии с тремя ступенями:
подготовительная, ознакомительная, закрепление.
8
Таблица 5
Виды текстовых задач
ПРОСТЫЕ -
задачи, для решения которых
нужно выполнить 1 действие
СОСТАВНЫЕ -
задачи, решаемые
в 2 и более действий,
представляющие собой различные
сочетания простых
на сложение и
вычитание
на умножение и
деление
отдельно рассматриваются
задачи с величинами, связанными
пропорциональной зависимостью
раскрывающие смысл арифметических действий
нахождение четвертого
пропорционального
- нахождение суммы двух
слагаемых;
- нахождение остатка
(разности)
- нахождение произведения;
- деление на равные части;
- деление по содержанию
пропорциональное деление
раскрывающие различные отношения
между числами
нахождение неизвестных
по двум разностям
- увеличение на несколько
единиц (прямая и косвенная
форма);
- уменьшение на несколько
единиц (прямая и косвенная
форма);
- разностное сравнение
- увеличение в несколько раз
(прямая и косвенная форма);
- уменьшение в несколько
раз (прямая и косвенная
форма);
- кратное сравнение
раскрывающие связи между компонентами и
результатами арифметических действий
- нахождение неизвестного
слагаемого;
- нахождение неизвестного
уменьшаемого;
- нахождение неизвестного
вычитаемого
- нахождение неизвестного
множителя;
- нахождение неизвестного
делимого;
- нахождение неизвестного
делителя
связанные с
понятиями доли
(дроби) числа
- нахождение числа по его
доле (дроби);
- нахождение доли (дроби)
от числа
раскрывающие
зависимость между
величинами
4. Методика обучения младших школьников решению простых задач
Простыми называются задачи, решаемые в одно действие. Особенность этих задач –
максимальная простота. Они должны быть совершенно понятны, близки детям по сюжету,
наиболее просто изложены, не содержать никаких непонятных, новых для детей слов,
которые требовали бы дополнительных пояснений.
Виды простых задач:
Основа классификации – действие, при помощи которого решается задача: на
сложение; на вычитание; на умножение; на деление.
9
Основа классификации – смысл арифметического действия:
1. Задачи, направленные на раскрытие смысла арифметических действий.
Каждая из этих задач вводится в то время, когда программой предусмотрено
ознакомление с соответствующими действиями (сложение, вычитание, умножение, деление).
2. Задачи, раскрывающие различные отношения между числами.
В начальном курсе математики особенно много внимания уделяется работе над
отношениями между числами, которые могут быть выражены словами «быть равными»,
«быть на столько-то больше (меньше), чем», «быть во столько-то раз больше (меньше)».
Данные задачи могут быть представлены в прямой и косвенной формах:
• В задачах, выраженных в прямой форме, если содержится выражение «на (во)
столько-то меньше», т.е. требуется узнать меньшее число, используется действие вычитание
(деление); если содержится выражение «на (во) столько – то больше» – сложение
(умножение).
• В задачах, выраженных в косвенной форме, при встрече с выражением «на (во)
столько-то раз больше», используется действие вычитание (деление), если же содержится
выражение «на (во) столько – то раз меньше» – сложение (умножение).
3. Задачи, раскрывающие связи между компонентами и результатами
арифметических действий.
Это задачи на нахождение одного из компонентов действия, когда даны другой
компонент и результат.
4. Задачи, связанные с понятиями доли, дроби числа.
5. Задачи, в которых раскрывается зависимость между величинами.
Связи между пропорциональными величинами раскрываются с помощью решения
простых задач на нахождение одной из величин по данным, соответствующим значениям
двух других величин.
Дополнительные задачи: задачи – вопросы, задачи – шутки, задачи на смекалку,
задачи с недостающими данными или недостающим вопросом, задачи с лишними данными и
т.д.
Простые задачи на сложение и вычитание
Таблица 6
Нахождение
суммы двух слагаемых
Нахождение
неизвестного слагаемого
Нахождение
неизвестного слагаемого
В коробке лежало 3 простых и
4 цветных карандаша.
Сколько всего карандашей
было в коробке?
3+4=7 (шт.)
Ответ: 7 карандашей в
коробке.
В коробке всего лежало 7
карандашей. Из них 3
простых. Остальные -
цветные. Сколько цветных
карандашей в коробке?
7-3=4 (шт.)
Ответ: 4 цветных карандаша в
коробке.
В коробке всего лежало 7
карандашей. Из них 4
цветных. Остальные -
простые. Сколько простых
карандашей в коробке?
7-4=3 (шт.)
Ответ: 3 простых карандаша в
коробке.
10
Нахождение разности
(остатка)
Нахождение неизвестного
уменьшаемого
Нахождение неизвестного
вычитаемого
Мама купила 7 пирожных. 3
пирожных съели. Сколько
осталось?
Было - 7 п.
Съели - 3 п.
Осталось - ? п.
7-3=4 (п.)
Ответ: 4 пирожных осталось.
Мама купила пирожные.
После того, как 3 съели,
осталось 4. Сколько
пирожных купили?
Было - ? п.
Съели - 3 п.
Осталось - 4 п.
3+4=7 (п.)
Ответ: 7 пирожных купили.
Мама купила 7 пирожных.
После того, как несколько
съели, осталось 4. Сколько
пирожных съели?
Было - 7 п.
Съели - ? п.
Осталось - 4 п.
7-4=3 (п.)
Ответ: 3 пирожных съели.
Увеличение
на несколько единиц
Уменьшение
на несколько единиц
Разностное сравнение
В коробке лежало 3 простых
карандаша, а цветных на 2
больше. Сколько цветных
карандашей лежало в
коробке?
3+2=5 (шт.)
Ответ: 5 цветных карандашей
лежало в коробке.
В коробке лежало 5 цветных
карандашей, а простых на 2
меньше. Сколько простых
карандашей лежало в
коробке?
5-2=3 (шт.)
Ответ: 3 простых карандаша
лежало в коробке.
В коробке лежало 5 цветных и
3 простых карандаша. На
сколько больше было цветных
карандашей, чем простых?
5-3=2 (шт.)
Ответ: на 2 карандаша больше
цветных, чем простых.
Могут быть представлены в прямой и косвенной формах
11
Простые задачи на умножение и деление
Таблица 7
Нахождение произведения
Нахождение
неизвестного множителя
Нахождение
неизвестного множителя
На каждой тарелке по 3
груши. Сколько груш на
четырех тарелках?
1 способ: 3+3+3+3=12 (гр.)
2 способ: 3●4=12 (гр.)
Ответ: 12 груш на четырех
тарелках.
Цена открытки 3 рубля.
Сколько открыток можно
купить на 12 рублей?
12:3=4 (шт.)
Ответ: 4 открытки можно
купить на 12 рублей.
За 4 одинаковые открытки
заплатили 12 рублей. Узнай
цену открытки?
12:4=3 (руб.)
Ответ: 3 рубля стоит одна
открытка.
Нахождение частного
Нахождение
неизвестного делимого
Нахождение
неизвестного делителя
Деление на равные части
6 яблок разложили на 3
тарелки поровну. Сколько
яблок положили на каждую
тарелку?
6:3=2 (ябл.)
Ответ: 2 яблока на каждой
тарелке.
Деление по содержанию
На конверты наклеили 6
марок: по 2 марки на каждый
конверт. Сколько получилось
конвертов с марками?
6:2=3 (к.)
Ответ: 3 конверта с марками.
Задумали число. После того,
как его разделили на 5,
получили 2. Какое число
задумали?
х:5=2
х=2*5
х=10
10:5=2
2=2 (верно)
Чтобы найти неизвестное
делимое, нужно значение
частного умножить на
делитель.
После того, как число 10
разделили на неизвестное
число, получили 2. Найдите
делитель.
10:х=2
х=10:2
х=5
10:5=2
2=2 (верно)
Чтобы найти неизвестный
делитель, нужно делимое
разделить на значение
частного.
12
Увеличение
в несколько раз
Уменьшение
в несколько раз
Кратное сравнение
У Васи было 3 карандаша, а у
Пети в 2 раза больше.
сколько карандашей у Пети?
3●2=6 (к.)
Ответ: 6 карандашей у Пети.
У Пети было 6 карандашей, а
у Васи в 2 раза меньше.
сколько карандашей у Васи?
6:2=3 (к.)
Ответ: 3 карандаша у Васи.
У Васи было 3 карандаша, а у
Пети 6. Во сколько раз
больше карандашей у Пети,
чем у Васи?
6:3=2 (р.)
Ответ: в 2 раза больше
карандашей у Пети, чем у
Васи.
Могут быть представлены в прямой и косвенной формах
Задачи с величинами, связанными пропорциональной зависимостью
Масса пакета с мукой 2 кг.
Узнайте массу 4 таких
пакетов.
2●4=8 (кг)
Ответ: 8 кг масса всех
пакетов.
Масса 4 одинаковых пакетов
с мукой 8 кг. Узнайте массу
одного такого пакета.
8:4=2 (кг)
Ответ: 4 кг масса одного
пакета.
Масса одного пакета с мукой 2
кг. Сколько пакетов
потребуется, чтобы разложить
в них поровну 8 кг муки?
8:2=4 (шт.)
Ответ: 4 пакета потребуется.
Нахождение
доли (дроби) от числа
Нахождение числа
по его доли (дроби)
От ленты, длиною 15 метров
отрезали третью часть.
Сколько метров отрезали?
15:3=5 (м)
Ответ: 5 м ленты отрезали.
От ленты отрезали третью
часть, равную 5 метрам.
Какова длина всей ленты?
5●3=15 (м)
Ответ: 15 м длина всей
ленты.
13
5. Методика обучения решению составных задач
Составной называется текстовая задача, решение которой состоит из двух и более
действий. Составная задача включает в себя ряд простых задач, связанных между собой так,
что искомые одних служат данными для других. Выделение этих простых задач и
установление зависимости между ними и составляет суть решения составной задачи.
Цель введения составных задач в курс математики для младших школьников:
обучение детей «переводу» словесно заданных отношений и связей между различными
величинами, числами, на язык математических выражений, равенств, уравнений.
Составные задачи в 2 и более действий, представляющие собой
различные сочетания простых
Задача: В коробке лежало 3 простых карандаша, а цветных на 2 карандаша больше.
Сколько всего карандашей лежало в коробке?
1) 3+2=5 (к.) - цветных карандашей
2) 5+3=8 (к.) - всего карандашей
Ответ: 8 карандашей лежало в коробке.
Задачи с величинами, связанными пропорциональной зависимостью
Это задачи, в которые входят тройки величин, связанных пропорциональной
зависимостью (цена, количество, стоимость; скорость, время, расстояние и т.п.).
1) На нахождение четвертого пропорционального:
Рассматривая математическое содержание задачи на нахождение четвертого
пропорционального, необходимо выяснить, какие значения из двух прямо
пропорциональных величин даны, значение какой величины требуется найти.
Таблица 8
ВЕЛИЧИНЫ
цена
количество
стоимость
1
постоянная
даны два значения
дано одно значение,
а другое является искомым
2
постоянная
дано одно значение,
а другое является искомым
даны два значения
3
даны два значения
постоянное
дано одно значение,
а другое является искомым
4
дано одно значение,
а другое является искомым
постоянное
даны два значения
5
даны два значения
дано одно значение,
а другое является искомым
постоянная
6
дано одно значение,
а другое является искомым
даны два значения
постоянная
14
Способы решения:
1) Способ приведения к единице: сначала узнают значение (цену) единицы одной из
пропорциональных величин (товара, работы и пр.), затем значение (стоимость) указанного в
условии количества. К единице приводят величину, для которой даны оба значения.
Например, задача: «На 6 одинаковых платьев израсходовали 30 м ткани. Сколько
ткани потребуется на изготовление 3 таких платьев?» В задаче известны два значения
количества и одно значение общего расхода. При решении способом прямого приведения к
единице находим сначала расход на 1 платье: 30:6 =5(м). Затем определяем расход ткани на
три одинаковых платья: 5•3=15(м).
2) Способ обратного приведения к единице сводится к нахождению
соответствующего значения единицы той величины, для которой в условии указано лишь
одно данное (одно значение).
Например, задача: «Для засолки 12 кг огурцов разложили в 6 одинаковых банок.
Сколько потребуется таких банок, чтобы разложить 24 кг огурцов?» Учащиеся определяют,
сколько раз по 12 кг содержится в 24 кг, т.е. во сколько раз 24 больше 12, значит, и банок
получится во столько же раз больше: 6•(24:12)=12 (б.)
Задача: Мама купила несколько пирожков с капустой по 5 рублей за штуку и столько
же пирожков с мясом по 10 рублей за штуку. За пирожки с капустой она уплатила 30 рублей.
Сколько стоили пирожки с мясом?
1 этап. Восприятие и осмысление задачи
После прочтения текста задачи, учитель в ходе беседы обсуждает условие,
составляется краткая запись в виде таблицы.
2 этап. Поиск плана решения
На данном этапе можно использовать различные схемы рассуждения: от вопроса к
данным, от данных к вопросам. Обсуждение может быть проведено устно, а может
фиксироваться на доске в виде схем.
Таблица 9
Схема разбора от вопроса к
данным
Схема разбора от данных к
вопросу
С использованием
геометрических фигур
3 этап. Выполнение плана решения
Учитель может самостоятельно указать на форму записи решения учащимися. Если
это не сделано, то ученик вправе самостоятельно определить удобную для себя форму
записи решения, например:
15
Таблица 10
По действиям с пояснениями
Выражением
1) 30:5=6 (шт.) - количество пирожков
2) 10●6=60 (руб.) - стоимость пирожков с
мясом
10● (30:5)=60 (руб.)
4 этап. Проверка решения
Проверку целесообразно провести путем составления и решения обратной задачи.
5● (60:10)=30 (руб.) Вывод: задача решена верно.
5 этап. Формулировка ответа на вопрос задачи (вывода о выполнении
требования)
Ответ: 60 рублей стоили пирожки с мясом.
6 этап. Исследование решения
На данном этапе целесообразно обсудить, существуют ли другие способы решения
задачи. Какие? Какой из них целесообразнее. Например: 30●(10:5)=60 (руб.)
2) На пропорциональное деление:
Основным признаком задач на пропорциональное деление является содержащееся в
них требование распределить одно числовое значение величины (например, стоимости)
пропорционально данным числам (например, числу предметов в одной совокупности и числу
предметов в другой совокупности).
Таблица 11
ВЕЛИЧИНЫ
цена
количество
стоимость
1
постоянная
даны два или более
значений
дана сумма значений,
соответствующих количеству,
найти слагаемые
2
постоянная
дана сумма значений,
соответствующих
количеству,
найти слагаемые
даны два или более значений
3
даны два или более
значений
постоянное
дана сумма значений,
соответствующих количеству,
найти слагаемые
4
дана сумма значений,
соответствующих
количеству,
найти слагаемые
постоянное
даны два или более значений
Задача: Две девочки купили 5 метров ленты по одинаковой цене. Одна уплатила 15
рублей, а другая – 10 рублей. Сколько метров ленты купила каждая девочка?
1 этап. Восприятие и осмысление задачи
Учитель совместно с учащимися обсуждает условие задачи и составляется краткая
запись.
16
2 этап. Поиск плана решения
На данном этапе могут быть использованы следующие схемы разбора:
Таблица 12
Схема разбора от данных к
вопросу
С использованием геометрических фигур
3 этап. Выполнение плана решения
Различные способы решения:
1 способ: 2 способ:
1) 15+10=25 (руб.) 1) 15+10=25 (руб.)
2) 25:5=5 (руб.) 2) 25:5=5 (руб.)
3) 15:5=3 (м) 3) 15:5=3 (м)
4) 5-3=2 (м) 4) 10:5=2 (м)
4 этап. Проверка решения
Решение задачи различными способами является одним из способов проверки.
5 этап. Формулировка ответа на вопрос задачи (вывода о выполнении
требования)
Ответ: 3 м купила первая девочка и 2 м - вторая.
6 этап. Исследование решения
Целесообразно обсудить, какой способ решения более рациональный.
3) На нахождение неизвестных по двум разностям:
Если в задаче на пропорциональное деление заменить сумму двух значений
стоимости их разностью, сумму двух количеств их разностью, можно получить задачи на
нахождение неизвестного по двум разностям.
Таблица 13
ВЕЛИЧИНЫ
цена
количество
стоимость
1
постоянная
даны два значения
величины
дана разность значений,
соответствующих
количеству, найти каждое
значение
2
постоянная
дана разность значений,
соответствующих
количеству, найти каждое
значение
даны два значения
величины
17
Задача: В одном куске 3 метра ткани, а во втором – 7 метров такой же ткани. Второй
кусок стоит на 240 рублей дороже. Сколько стоит каждый кусок?
1 этап. Восприятие и осмысление задачи
Учитель совместно с учащимися составляет краткую запись в виде таблицы.
2 этап. Поиск плана решения
Схемы, используемые на этапе поиска плана решения задачи:
Таблица 14
Схема разбора от данных к
вопросу
С использованием геометрических фигур
3 этап. Выполнение плана решения
Различные способы решения:
1 способ: 2 способ:
1) 7-3=4 (м) 1) 7-3=4 (м)
2) 240:4=60 (руб.) 2) 240:4=60 (руб.)
3) 60●3=180 (руб.) 3) 60●3=180 (руб.)
4) 180+240=420 (руб.) 4) 60●7=420 (руб.)
4 этап. Проверка решения
Решение задачи различными способами является способом проверки.
5 этап. Формулировка ответа на вопрос задачи (вывода о выполнении
требования)
Ответ: 180 руб. стоит первый кусок, 420 руб. - второй кусок ткани.
6 этап. Исследование решения. Целесообразно обсудить, какой способ решения
задачи более рациональный.
6. Задачи на движение
Особенность изучения в начальной школе: равномерное движение объектов.
Основное понятие: скорость движения – длина пути, пройденного за единицу
времени. Обозначение: v.
Единицы скорости: км/ч, м/мин, м/с, см/с.
18
Виды задач на движение
1. Простые и составные задачи с сюжетами, связанными с движением тел.
Таблица 15
№
Текст задачи
Вид задачи
Краткая запись
1
Скорость грузового поезда 35
км/ч, а пассажирского в 2 раза
больше. Какова скорость
пассажирского поезда?
простая,
на увеличение
в несколько раз
2
Страус эму, убегая от опасности,
мчится со скоростью 34 км/ч, а
маленький кенгуренок бежит со
скоростью только 23 км/ч. На
сколько быстрее бежит страус?
простая,
на разностное
сравнение
3
Туристы за 3 дня прошли 70 км. В
первый день - 30 км. Во второй - в
2 раза меньше. Какое расстояние
прошли туристы в третий день?
составная,
представляющая
собой сочетание
нескольких
простых
2. Собственно задачи на движение (по количеству выполняемых действий):
простые, составные.
Простые задачи на движение
Таблица 16
Основные понятия
и обозначения
Форма краткой
записи
Применяемые
формулы
Средство
наглядности
Скорость – V
Время – t
Расстояние (путь) - S
Таблица
Таблица 17
Велосипедист со скоростью
10 км/ч ехал в течение 3
часов. Какое расстояние он
проехал?
Велосипедист за 3 часа
проехал 30 км. С какой
скоростью он ехал?
Велосипедист со скоростью
10 км/ч проехал 30 км.
Сколько времени был в пути
велосипедист?
10●3=30 (км)
Ответ: 30 км проехал
велосипедист.
30:3=10 (км/ч)
Ответ: со скоростью 10 км/ч
ехал велосипедист.
30:10=3 (ч)
Ответ: 3 часа был в пути
велосипедист.
19
Составные задачи на движение подразделяются:
1) по типу связей между данными и искомым:
Таблица 18
№
Виды задач
Форма
краткой
записи
Основа
способа
решения
Примеры задач
1
Нахождение
четвертого
пропорционального
таблица
нахождени
е значения
постоянной
величины
Теплоход проходит за 4 часа такое же
расстояние, какое проходит моторная
лодка за 9 часов. Чему равна скорость
моторной лодки, если скорость
теплохода 36 км/ч?
2
На
пропорциональное
деление
таблица
Автотуристы в первый день были в пути
6 часов, а во второй - 4 часа. Всего они
проехали 600 км. Какое расстояние
проезжали туристы каждый день, если
они ехали с одинаковой скоростью?
3
Нахождение
неизвестных по
двум разностям
таблица
Два самолета летели с одинаковой
скоростью. Один самолет был в воздухе
4 часа, а другой - 6 часов. Первый
самолет пролетел на 1400 км меньше
второго. Какое расстояние пролетел
каждый самолет?
2) по особенностям осуществляемого движения:
а) для одного объекта:
Таблица 19
№
Виды задач
Форма
краткой
записи
Примеры задач
1
Движение в
прямом и
обратном
направлении
таблица
Поезд проехал 400 км со скоростью 50 км/ч, а на
обратном пути это расстояние он проехал в 2 раза
быстрее. За сколько часов это расстояние проехал
поезд на обратном пути?
2
Движение с
остановками
таблица
Автомашина прошла сначала 160 км, потом
половину этого расстояния. После этого оставалось
пройти в 2 раза меньше того, что пройдено. За
сколько часов машина прошла весь путь, если
средняя скорость ее была 60 км/ч?
график
движения
В выходной день отец и сын решили поехать в
гости к друзьям в Тверь. Они сели в автобус,
который выехал из Химок в 10 часов утра со
скоростью 50 км/ч. Через 2 ч пути автобус сделал
остановку на 30 мин, а затем продолжил путь со
скоростью 60 км/ч. Через 1 ч после остановки
автобус прибыл в Тверь, где отца и сына встречали
их друзья. Каково расстояние от Химок до Твери? В
котором часу автобус прибыл в Тверь?
20
б) для двух объектов:
Таблица 20
№
Виды задач
Основное понятие
Форма
краткой записи
Обозначения
на схеме
1
Встречное
движение
Скорость сближения
Схема
Расстояние –
отрезком.
Направление
движения –
стрелкой.
Место встречи или
отправления–
флажком.
Время движения
(если дано) –
соответствующим
числом равных
отрезков, длина
каждого из которых
равна v.
2
Движение в
противоположных
направлениях
Скорость удаления
Схема
3
Движение
вдогонку
Скорость сближения
Схема
4
Движение
с отставанием
Скорость удаления
Схема
Таблица 21
№
Виды задач
Примеры задач
1
Встречное
движение
Из двух поселков выехали одновременно навстречу друг другу два
велосипедиста и встретились через 2 часа. Один ехал со скоростью
15 км/ч, а второй со скоростью 18 км/ч . Найдите расстояние между
поселками.
2
Движение в
противоположных
направлениях
Из города одновременно в противоположных направлениях
выехали две машины. Скорость первой - 80км/ч. С какой
скоростью ехала вторая машина, если через два час расстояние
между ними было 340 км?
3
Движение вдогонку
Миша начал догонять Борю, когда расстояние между ними было
100м. Миша идет со скоростью 80м/мин, а Боря - со скоростью 60
м/мин. Через сколько времени мальчики встретятся?
4
Движение
с отставанием
Собака гонится за лисицей со скоростью 750 м/мин, а лисица
убегает от нее со скоростью 800 м/мин. Каким станет расстояние
через 8 мин, если сейчас между собакой и лисицей 600 м?
Задача: Из двух поселков выехали одновременно навстречу друг другу два
велосипедиста и встретились через 2 часа. Один ехал со скоростью 15 км/ч, а второй со
скоростью 18 км/ч . Найдите расстояние между поселками.
1 этап. Восприятие и осмысление задачи
Учитель совместно с учащимися составляет краткую запись в виде таблицы или
схемы, отражающей особенности осуществляемого движения объектов.
.
21
Скорость
Время
Расстояние
15 км/ч
2 ч
? км
? км
? км
18 км/ч
2 ч
15 км/ч 18 км/ч
? км
2 этап. Поиск плана решения
Схемы, используемые на этапе поиска плана решения задачи:
Таблица 22
Схемы, используемые на этапе поиска плана решения задачи
Схема разбора
от вопроса к данным
Схема разбора
от данных к вопросу
+
• •
+
•
3 этап. Выполнение плана решения
Различные способы решения:
1 способ: 2 способ:
1) 15●2=30 (км) 1) 15+18=33 (км) - скорость сближения
2) 18 ● 2=36 (км) 2) 33●2=66 (км) - расстояние
3) 30+36=66 (км)
4 этап. Проверка решения
Решение задачи различными способами является способом проверки.
5 этап. Формулировка ответа на вопрос задачи (вывода о выполнении
требования)
Ответ: 66 км расстояние между поселками.
6 этап. Исследование решения. Целесообразно обсудить, какой способ решения
задачи более рациональный.
?
?
1
5
1
8
2
2
?
1
8
1
5
?
2
?
Скачать материал

Начальная школа - еще материалы к урокам: