Комплект контрольно-оценочных средств (КОС) по математике
Бюджетное образовательное учреждение Чувашской Республики
среднего профессионального образования
«Чебоксарский электромеханический колледж»
Министерства образования и молодежной политики Чувашской Республики
Комплект
контрольно-оценочных средств
учебной дисциплины
ЕН.01. Математика
основной образовательной программы (ОПОП)
по направлению подготовки (специальности)
151901 Технология машиностроения
Разработал:
Методист БОУ СПО ЧЭМК
Киреева Наталия Владимировна
Чебоксары, 2012
1. Общие положения
Контрольно-оценочные средства (КОС) предназначены для контроля и
оценки образовательных достижений обучающихся, освоивших программу
учебной дисциплины Математика.
КОС включают контрольные материалы для проведения текущего
контроля и промежуточной аттестации в форме экзамена (комплексного).
КОС разработаны на основании положений:
основной профессиональной образовательной программы по
направлению подготовки ВПО (специальности СПО) 151901 Технология
машиностроения;
программы учебной дисциплины Математика.
2. Результаты освоения дисциплины, подлежащие проверке
Результаты обучения
(освоенные умения, усвоенные
знания)
Основные показатели оценки результатов
Умение решать задачи
математического анализа, линейной
алгебры и аналитической геометрии
- Выполнение действий над матрицами
- Вычисление определителей
- Решение систем линейных уравнений
методом обратной матрицы
- Решение систем линейных уравнений по
формулам Крамера
- Решение систем линейных уравнений
методом Гаусса
- Выполнение действий над векторами
- Нахождение скалярного, векторного и
смешанного произведения векторов
- Построение точек и нахождение их
координат в прямоугольной декартовой и
полярной системах координат
- Вычисление предела функции в точке и в
бесконечности
- Исследование функции на непрерывность в
точке
- Нахождение производной функции
- Нахождение производных высших порядков
- Исследование функции и построение
графика
- Нахождение неопределенных интегралов
- Вычисление определенных интегралов
- Нахождение частных производных
- Исследование рядов на сходимость
Умение применять различные
методы для решения обыкновенных
дифференциальных уравнений и их
систем
- Решение дифференциальных уравнений
первого и второго порядка
Умение решать вероятностные и
статистические задачи
- Нахождение вероятности случайного
события
- Составление закона распределения
случайной величины
- Вычисление числовых характеристик
случайных величин
Знание основных методов
математического анализа,
аналитической геометрии, линейной
алгебры, элементарной теории
вероятностей
- Перечисление последовательности действий
при решении систем линейных уравнений
методом обратной матрицы, по формулам
Крамера, методом Гаусса
- Формулировка определений и перечисление
свойств скалярного, векторного и
смешанного произведения векторов
- Классификация точек разрыва
- Формулировка правил дифференцирования
и перечисление производных основных
элементарных функций
- Перечисление табличных интегралов
- Формулировка классического определения
вероятности
Знание математических моделей
простейших систем и процессов в
естествознании и технике
- Формулировка геометрического и
механического смысла производной
- Приложение определенного интеграла к
вычислению площадей плоских фигур,
объемов тел вращения, пути, пройденного
точкой
- Описание процессов в естествознании и
технике с помощью дифференциальных
уравнений
3. Распределение оценивания результатов обучения по видам контроля
Наименование элемента умений или
знаний
Виды аттестации
Текущий контроль
Промежуточная
аттестация
У 1. Умение решать задачи
математического анализа, линейной
алгебры и аналитической геометрии
расчетное задание - 10
расчетное задание - 24
У 2. Умение применять различные
методы для решения обыкновенных
дифференциальных уравнений и их
систем
расчетное задание - 1
расчетное задание - 3
У 3. Умение решать вероятностные и
статистические задачи
расчетное задание - 1
расчетное задание - 3
З 1. Знание основных методов
математического анализа,
аналитической геометрии, линейной
алгебры, элементарной теории
вероятностей
устный ответ - 3
расчетное задание - 2
устный ответ - 33
З 2. Знание математических моделей
простейших систем и процессов в
естествознании и технике
устный ответ - 1
расчетное задание - 2
устный ответ - 4
4. Распределение типов контрольных заданий по элементам знаний и
умений.
Содержание
учебного материала
по программе УД
Тип контрольного задания
У1
У2
У3
З1
З2
Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Тема 1.1. Решение систем линейных
уравнений
расчетное
задание
6.1
Тема 1.2. Векторы и координаты
расчетное
задание
6.3
устный
ответ 6.2
Раздел 2. Введение в математический анализ
Тема 2.1. Функции,
последовательности, пределы
расчетное
задание
6.4
расчетное
задание
6.5
расчетное
задание
6.5
Раздел 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Тема 3.1. Техника
дифференцирования
расчетное
задание
6.6
устный
ответ 6.7
расчетное
задание
6.6
Тема 3.2. Применение
дифференциального исчисления для
исследования функций и
построения их графиков
расчетное
задание
6.8
Раздел 4. Интегральное исчисление функции одной переменной
Тема 4.1. Неопределенный интеграл
и его свойства
расчетное
задание
6.9
устный
ответ
6.10
Тема 4. 2. Определенный интеграл
расчетное
задание
6.11
расчетное
задание
6.11
Раздел 5. Функции нескольких переменных
Тема 5.1. Дифференцирование
функции нескольких переменных
расчетное
задание
6.12
Раздел 6. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Тема 6.1. Дифференциальные
уравнения 1 порядка
расчетное
задание
6.13
устный
ответ
6.14
Тема 6.2. Дифференциальные
уравнения 2 порядка
расчетное
задание
6.13
устный
ответ
6.14
Раздел 7. Числовые и функциональные ряды
Тема 7.1. Числовые ряды
расчетное
задание
6.15
Тема 7.2. Функциональные ряды
расчетное
задание
6.15
Раздел 8. Элементы теории вероятностей и математической статистики
Тема 8.1. Основные теоремы теории
вероятностей
расчетное
задание
6.16
расчетное
задание
6.16
Тема 8.2. Случайные величины и их
законы распределения
расчетное
задание
6.16
5. Распределение типов и количества контрольных заданий по
элементам знаний и умений, контролируемых на промежуточной
аттестации.
Содержание
учебного
материала
по программе УД
Тип контрольного задания
У1
У2
У3
З1
З2
Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Тема 1.1. Решение
систем линейных
уравнений
экзаменационный
вопрос (устный
ответ) - 6
Тема 1.2. Векторы и
координаты
экзаменационный
вопрос (устный
ответ) - 4
Раздел 2. Введение в математический анализ
Тема 2.1. Функции,
последовательности,
пределы
экзаменационное
задание
(расчетное
задание) - 7
экзаменационный
вопрос (устный
ответ) - 3
Раздел 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Тема 3.1. Техника
дифференцирования
экзаменационное
задание
(расчетное
задание) - 5
экзаменационный
вопрос (устный
ответ) - 1
экзаменационный
вопрос (устный
ответ) - 1
Тема 3.2.
Применение
дифференциального
исчисления для
исследования
функций и
построения их
графиков
экзаменационное
задание
(расчетное
задание) - 1
экзаменационный
вопрос (устный
ответ) - 2
Раздел 4. Интегральное исчисление функции одной переменной
Тема 4.1.
Неопределенный
интеграл и его
свойства
экзаменационное
задание
(расчетное
задание) - 5
экзаменационный
вопрос (устный
ответ) - 3
Тема 4. 2.
Определенный
интеграл
экзаменационное
задание
(расчетное
задание) - 6
экзаменационный
вопрос (устный
ответ) - 2
экзаменационный
вопрос (устный
ответ) - 2
Раздел 5. Функции нескольких переменных
Тема 5.1.
Дифференцирование
функции нескольких
переменных
экзаменационный
вопрос (устный
ответ) - 1
Раздел 6. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Тема 6.1.
Дифференциальные
уравнения 1 порядка
экзаменационное
задание
(расчетное
задание) - 2
экзаменационный
вопрос (устный
ответ) - 2
экзаменационный
вопрос (устный
ответ) - 1
Тема 6.2.
Дифференциальные
уравнения 2 порядка
экзаменационное
задание
(расчетное
задание) - 1
Раздел 7. Числовые и функциональные ряды
Тема 7.1. Числовые
ряды
экзаменационный
вопрос (устный
ответ) - 4
Тема 7.2.
Функциональные
ряды
экзаменационный
вопрос (устный
ответ) - 1
Раздел 8. Элементы теории вероятностей и математической статистики
Тема 8.1. Основные
теоремы теории
вероятностей
экзаменационное
задание
(расчетное
задание) - 1
экзаменационный
вопрос (устный
ответ) - 2
Тема 8.2. Случайные
величины и их
законы
распределения
экзаменационное
задание
(расчетное
задание) - 2
экзаменационный
вопрос (устный
ответ) - 2
6. Структура контрольного задания
6.1. Расчетное задание
6.1.1. Текст задания
Вариант 1
1. Найти матрицу C=A+3B, если
342
812
032
A
,
031
142
301
B
.
2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.
3. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.
4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
.723
,52
,12
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Вариант 2
1. Найти матрицу C=2A-B, если
342
812
032
A
,
031
142
301
B
.
2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.
3. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.
4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
.532
,72
,22
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Вариант 3
1. Найти матрицу C=3A+B, если
342
812
032
A
,
031
142
301
B
.
2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.
3. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.
4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
.32
,74
,423
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Вариант 4
1. Найти матрицу C=A-4B, если
342
812
032
A
,
031
142
301
B
.
2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.
3. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.
4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
.42
,63
,32
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Вариант 5
1. Найти матрицу C=4A-B, если
342
812
032
A
,
031
142
301
B
.
2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.
3. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.
4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
.1073
,32
,23
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Вариант 6
1. Найти матрицу C=A+2B, если
342
812
032
A
,
031
142
301
B
.
2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.
3. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.
4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
.132
,12
,3
321
321
321
xxx
xxx
xxx
6.1.2. Время на выполнение: 60 мин.
6.1.3. Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов
контроля и оценки
Основные показатели
оценки результата
Оценка
У 1. Умение решать задачи
математического анализа,
линейной алгебры и
аналитической геометрии
- Выполнение действий
над матрицами
- Вычисление
определителей
- Решение систем
линейных уравнений
методом обратной
матрицы
- Решение систем
линейных уравнений по
формулам Крамера
- Решение систем
линейных уравнений
методом Гаусса
4 балла
З 1. Знание основных методов
математического анализа,
аналитической геометрии,
линейной алгебры, элементарной
теории вероятностей
- Перечисление
последовательности
действий при решении
систем линейных
уравнений методом
обратной матрицы, по
формулам Крамера,
методом Гаусса
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи
выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи
выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.2. Устный ответ
6.2.1. Текст задания
1. Дать определение вектора.
2. Дать определение проекции вектора на ось и перечислить ее свойства.
3. Дать определение скалярного произведения векторов и перечислить его
свойства.
4. Дать определение векторного произведения векторов и перечислить его
свойства.
5. Дать определение смешанного произведения векторов и перечислить
его свойства.
6.2.2. Время на выполнение: 20 мин.
6.2.3. Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов
контроля и оценки
Основные показатели
оценки результата
Оценка
З 1. Знание основных методов
математического анализа,
аналитической геометрии,
линейной алгебры, элементарной
теории вероятностей
- Формулировка
определений и
перечисление свойств
скалярного, векторного и
смешанного
произведения векторов
5 баллов
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи
выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи
выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.3. Расчетное задание
6.3.1. Текст задания
Вариант 1
Даны векторы
)1;2;9( a
и
)0;3;4(b
(для № 1-5).
1. Найти
ba
.
2. Найти
ba
.
3. Найти
2
a
.
4. Найти
b
.
5. Найти координаты векторов
bac
,
bad
,
af
3
.
6. В прямоугольной декартовой системе координат построить точки A (0; 0),
B (3; -4), C (-3; 4). Определить расстояние между точками A и B, B и C, A и C.
7. Построить точки, заданные полярными координатами: A (2; /2), B (3; /4),
C (3; 3/4).
8. Даны точки в полярной системе координат A (2; /4), B (4; /2). Найти их
прямоугольные координаты.
Вариант 2
Даны векторы
)1;2;3(a
и
)4;0;3(b
(для № 1-5).
1. Найти
ba
.
2. Найти
ba
.
3. Найти
2
a
.
4. Найти
b
.
5. Найти координаты векторов
bac
,
bad
,
af
3
.
6. В прямоугольной декартовой системе координат построить точки A (0; 0),
C (-3; 4), D (-2; 2) E (10; -3). Определить расстояние между точками C и D, A и
D, D и E.
7. Построить точки, заданные полярными координатами: A (4; 0), B (2; 3/2),
C (3; ).
8. Даны точки в прямоугольной системе координат A (0; 5), B (-3; 0), C (
3
; 1).
Найти их полярные координаты.
6.3.2. Время на выполнение: 70 мин.
6.3.3. Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов
контроля и оценки
Основные показатели
оценки результата
Оценка
У 1. Умение решать задачи
математического анализа,
линейной алгебры и
аналитической геометрии
- Выполнение действий
над векторами
- Нахождение
скалярного, векторного и
смешанного
произведения векторов
- Построение точек и
нахождение их
координат в
прямоугольной
декартовой и полярной
системах координат
8 баллов
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи
выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи
выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.4. Расчетное задание
6.4.1. Текст задания
Вариант 1
1. Вычислить предел функции:
158
9
lim
2
2
3
xx
x
x
.
2. Вычислить предел функции:
63
5
lim
2
x
x
x
.
3. Вычислить предел функции:
x
x
x
12sin
17sin
lim
0
.
4. Вычислить предел функции:
3
7
1lim
x
x
x
.
Вариант 2
1. Вычислить предел функции:
16
20
lim
2
2
4
x
xx
x
.
2. Вычислить предел функции:
42
63
lim
2
x
x
x
.
3. Вычислить предел функции:
x
x
x
13sin
7sin
lim
0
.
4. Вычислить предел функции:
4
12
1lim
x
x
x
.
Вариант 3
1. Вычислить предел функции:
145
49
lim
2
2
7
xx
x
x
.
2. Вычислить предел функции:
62
4
lim
2
3
x
x
x
.
3. Вычислить предел функции:
x
x
x
4sin
9sin
lim
0
.
4. Вычислить предел функции:
5
15
1lim
x
x
x
.
Вариант 4
1. Вычислить предел функции:
25
3512
lim
2
2
5
x
xx
x
.
2. Вычислить предел функции:
102
1
lim
2
5
x
x
x
.
3. Вычислить предел функции:
x
x
x
19sin
8sin
lim
0
.
4. Вычислить предел функции:
x
x
x
2
4
1lim
.
Вариант 5
1. Вычислить предел функции:
36
183
lim
2
2
6
x
xx
x
.
2. Вычислить предел функции:
123
32
lim
4
x
x
x
.
3. Вычислить предел функции:
x
x
x
14sin
5sin
lim
0
.
4. Вычислить предел функции:
x
x
x
3
10
1lim
.
Вариант 6
1. Вычислить предел функции:
1811
81
lim
2
2
9
xx
x
x
.
2. Вычислить предел функции:
122
53
lim
6
x
x
x
.
3. Вычислить предел функции:
x
x
x
3sin
19sin
lim
0
.
4. Вычислить предел функции:
x
x
x
2
14
1lim
.
6.4.2. Время на выполнение: 40 мин.
6.4.3. Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов
контроля и оценки
Основные показатели
оценки результата
Оценка
У 1. Умение решать задачи
математического анализа,
линейной алгебры и
аналитической геометрии
- Вычисление предела
функции в точке и в
бесконечности
4 балла
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи
выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи
выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.5. Расчетное задание
6.5.1. Текст задания
Вариант 1
Исследовать функцию
x
xf
1
)(
на непрерывность в точке
0
0
x
.
Вариант 2
Исследовать функцию
01
,0
)(
2
xпри
xприx
xf
на непрерывность в точке
0
0
x
.
Вариант 3
Исследовать функцию
2
)( xxf
на непрерывность в точке
0
0
x
.
6.5.2. Время на выполнение: 10 мин.
6.5.3. Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов
контроля и оценки
Основные показатели
оценки результата
Оценка
У 1. Умение решать задачи
математического анализа,
линейной алгебры и
аналитической геометрии
- Исследование функции
на непрерывность в
точке
1 балл
З 1. Знание основных методов
математического анализа,
аналитической геометрии,
линейной алгебры, элементарной
теории вероятностей
- Классификация точек
разрыва
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи
выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи
выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.6. Расчетное задание
6.6.1. Текст задания
Вариант 1
1. Найти производную функции
24sin
36
xy
.
2. Найти производную третьего порядка функции
xxy 5cos3
4
.
3. Написать уравнение касательной к графику функции
x
xf
3
)(
в точке с
абсциссой
1
0
x
,
1
0
x
.
4. Материальная точка движется по закону
ttttx 52
3
1
)(
23
. Найти скорость
и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)
Вариант 2
1. Найти производную функции
96cos
24
xy
.
2. Найти производную третьего порядка функции
xxy 3sin2
5
.
3. Написать уравнение касательной к графику функции
2
2)( xxxf
в точке с
абсциссой
0
0
x
,
2
0
x
.
4. Материальная точка движется по закону
23
4)( tttx
. Найти скорость и
ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)
Вариант 3
1. Найти производную функции
133
45
xtgy
.
2. Найти производную третьего порядка функции
x
exy
53
4
.
3. Написать уравнение касательной к графику функции
1)(
2
xxf
в точке с
абсциссой
0
0
x
,
1
0
x
.
4. Материальная точка движется по закону
24
4
1
)( tttx
. Найти скорость и
ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)
Вариант 4
1. Найти производную функции
65
34
xctgy
.
2. Найти производную третьего порядка функции
xxy 4cos5
4
.
3. Написать уравнение касательной к графику функции
1)(
3
xxf
в точке с
абсциссой
1
0
x
,
2
0
x
.
4. Материальная точка движется по закону
tttx 2)(
4
. Найти скорость и
ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)
Вариант 5
1. Найти производную функции
23
7arcsin xy
.
2. Найти производную третьего порядка функции
xxy 2sin4
4
.
3. Написать уравнение касательной к графику функции
tgxxf )(
в точке с
абсциссой
4
0
x
,
3
0
x
.
4. Материальная точка движется по закону
82)(
3
ttx
. Найти скорость и
ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)
Вариант 6
1. Найти производную функции
46
5xarctgy
.
2. Найти производную третьего порядка функции
x
exy
45
6
.
3. Написать уравнение касательной к графику функции
xxf cos1)(
в точке с
абсциссой
0
0
x
,
2
0
x
.
4. Материальная точка движется по закону
tttx 2)(
4
. Найти скорость и
ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)
6.6.2. Время на выполнение: 40 мин.
6.6.3. Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов
контроля и оценки
Основные показатели
оценки результата
Оценка
У 1. Умение решать задачи
математического анализа,
линейной алгебры и
аналитической геометрии
- Нахождение
производной функции
- Нахождение
производных высших
порядков
4 балла
З 2. Знание математических
моделей простейших систем и
процессов в естествознании и
технике
- Формулировка
геометрического и
механического смысла
производной
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи
выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи
выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.7. Устный ответ
6.7.1. Текст задания
Сформулировать правила дифференцирования и записать производные основных
элементарных функций:
1
о
.
c
8
о
.
)(tgx
2
о
.
)(
x
В частности,
x
)(
2
x
)(
3
x
)( x
x
1
9
о
.
)(ctgx
10
о
.
)(arcsin x
11
о
.
)(arccos x
12
о
.
)(arctgx
13
о
.
)(arcctgx
ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
14
о
.
)( vu
3
о
.
)( bkx
15
о
.
)( vu
4
о
.
)(
x
a
В частности,
)(
x
e
16
о
.
)(uv
17
о
.
)(cu
5
о
.
)(log x
a
В частности,
)(ln x
)(lg x
18
о
.
v
u
В частности,
v
1
6
о
.
)(sin x
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
7
о
.
)(cos x
19
о
.
))(( xf
6.7.2. Время на выполнение: 15 мин.
6.7.3. Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов
контроля и оценки
Основные показатели
оценки результата
Оценка
З 1. Знание основных методов
математического анализа,
аналитической геометрии,
линейной алгебры,
элементарной теории
вероятностей
- Формулировка правил
дифференцирования и
перечисление
производных основных
элементарных функций
28 баллов
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи
выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи
выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.8. Расчетное задание
6.8.1. Текст задания
Исследовать функцию и построить ее график.
Вариант 1
82)(
2
xxxf
.
Вариант 2
3
2
3
2
)(
2
x
x
xf
.
Вариант 3
45)(
2
xxxf
.
Вариант 4
4
1
164
)(
2
xx
xf
.
Вариант 5
23)(
3
xxxf
.
Вариант 6
32)(
24
xxxf
.
Вариант 7
23)(
3
xxxf
.
Вариант 8
32
3)( xxxf
.
6.8.2. Время на выполнение: 20 мин.
6.8.3. Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов
контроля и оценки
Основные показатели
оценки результата
Оценка
У 1. Умение решать задачи
математического анализа,
линейной алгебры и
аналитической геометрии
- Исследование функции
и построение графика
1 балл
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи
выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи
выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.9. Расчетное задание
6.9.1. Текст задания
Вариант 1
Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования
(для № 1-5).
1.
dx
x
xx
1
3cos5
2
.
2.
dx
x
xxx
5
458
3
.
3.
dx
xx
436
2
.
4.
dx
x
x
2
2
1
1
cos
1
.
5.
2
161 x
dx
.
Найти неопределенные интегралы методом подстановки (для № 6-8).
6.
dxx
3
48
.
7.
dx
xx
x
353
512
4
3
.
8.
dxex
x
6
5
.
9. Найти неопределенный интеграл методом интегрирования по частям:
dxxx
cos5
.
Вариант 2
Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования
(для № 1-5).
1.
dx
x
xx
1
4sin6
3
.
2.
dx
x
xxx
7
679
23
.
3.
dx
xx
527
2
.
4.
dx
xx
22
sin
1
1
1
.
5.
2
94 x
dx
.
Найти неопределенные интегралы методом подстановки (для № 6-8).
6.
dxx
4
57
.
7.
dx
xx
x
836
318
3
2
.
8.
dxex
x
8
7
.
9. Найти неопределенный интеграл методом интегрирования по частям:
dxxx
sin2
.
6.9.2. Время на выполнение: 60 мин.
6.9.3. Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов
контроля и оценки
Основные показатели
оценки результата
Оценка
У 1. Умение решать задачи
математического анализа,
линейной алгебры и
аналитической геометрии
- Нахождение
неопределенных
интегралов
9 баллов
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи
выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи
выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.10. Устный ответ
6.10.1. Текст задания
Записать табличные интегралы:
1
о
.
dx0
2
о
.
dxx
В частности,
xd
3
о
.
x
dx
4
о
.
dxa
x
В частности,
dxe
x
5
о
.
xdxcos
6
о
.
xdxsin
7
о
.
x
dx
2
cos
8
о
.
x
dx
2
sin
9
о
.
22
xa
dx
В частности,
2
1 x
dx
10
о
.
22
xa
dx
В частности,
2
1 x
dx
6.10.2. Время на выполнение: 10 мин.
6.10.3. Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов
контроля и оценки
Основные показатели
оценки результата
Оценка
З 1. Знание основных методов
математического анализа,
аналитической геометрии,
линейной алгебры,
элементарной теории
вероятностей
- Перечисление
табличных интегралов
14 баллов
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи
выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи
выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.11. Расчетное задание
6.11.1. Текст задания
Вариант 1
1. Вычислить определенный интеграл:
dxxx
2
0
2
34
.
2. Вычислить определенный интеграл методом подстановки:
dxx
3
2
3
12
.
3. Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной
линиями:
2,2,0,4
2
xxyxy
.
4. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс
криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
4,1,0, xxyxy
.
5. Скорость движения точки изменяется по закону
123
2
ttv
(м/с). Найти
путь S, пройденный точкой за 10 с от начала движения.
Вариант 2
1. Вычислить определенный интеграл:
dxxx
3
0
2
42
.
2. Вычислить определенный интеграл методом подстановки:
dxx
1
0
4
13
.
3. Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной
линиями:
1,1,0,1
2
xxyxy
.
4. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс
криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
1,0,0, xxyxy
.
5. Скорость движения точки изменяется по закону
ttv 89
2
(м/с). Найти путь S,
пройденный точкой за четвертую секунду.
6.11.2. Время на выполнение: 40 мин.
6.11.3. Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов
контроля и оценки
Основные показатели
оценки результата
Оценка
У 1. Умение решать задачи
математического анализа,
линейной алгебры и
аналитической геометрии
- Вычисление
определенных
интегралов
5 баллов
З 2. Знание математических
моделей простейших систем и
процессов в естествознании и
технике
- Приложение
определенного интеграла
к вычислению площадей
плоских фигур, объемов
тел вращения, пути,
пройденного точкой
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи
выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи
выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.12. Расчетное задание
6.12.1. Текст задания
Вариант 1
Найти частные производные функций.
1.
x
y
yxz ln
.
2.
32
2ln yxz
.
3.
y
xz
2
1
.
Вариант 2
Найти частные производные функций.
1.
y
xz
.
2.
323
2xyyxz
.
3.
yz
x
ln
.
6.12.2. Время на выполнение: 25 мин.
6.12.3. Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов
контроля и оценки
Основные показатели
оценки результата
Оценка
У 1. Умение решать задачи
математического анализа,
линейной алгебры и
аналитической геометрии
- Нахождение частных
производных
3 балла
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи
выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи
выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.13. Расчетное задание
6.13.1. Текст задания
Вариант 1
Являются ли данные функции решениями данных дифференциальных уравнений
(для № 1-4).
1.
054,
2
5
1
yyyececy
xx
.
2.
02,
21
yyyxececy
xx
.
3.
2
8
1
,
8
yy
x
y
.
4.
yyey
x
4,2
4
.
5. Решить задачу Коши:
8)1(,524
3
yxxy
.
Решить следующие дифференциальные уравнения первого и второго порядка (для
№ 6-12).
6.
4
2
cos
1
x
x
y
.
7.
yy 6
.
8.
2
1
y
x
y
.
9.
2
1 x
y
y
.
10.
053
yy
.
11.
0107
yyy
.
12.
044
yyy
.
Вариант 2
Являются ли данные функции решениями данных дифференциальных уравнений
(для № 1-4).
1.
044,
2
2
2
1
yyyxececy
xx
.
2.
06,
2
3
1
yyyececy
xx
.
3.
153,5
3
yyey
x
.
4.
2
,
5
yy
x
y
.
5. Решить задачу Коши:
19)2(,623
2
yxxy
.
Решить следующие дифференциальные уравнения первого и второго порядка (для
№ 6-12).
6.
7
2
1
1
x
x
y
.
7.
yy 8
.
8.
2
2
y
x
y
.
9.
2
1 x
y
y
.
10.
038
yy
.
11.
0168
yyy
.
12.
012
yyy
.
6.13.2. Время на выполнение: 80 мин.
6.13.3. Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов
контроля и оценки
Основные показатели
оценки результата
Оценка
У 2. Умение применять
различные методы для решения
обыкновенных
дифференциальных уравнений и
их систем
- Решение
дифференциальных
уравнений первого и
второго порядка
12 баллов
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи
выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи
выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.14. Устный ответ
6.14.1. Текст задания
1. Сформулировать общие положения при составлении дифференциального
уравнения по условию задачи.
2. Записать дифференциальное уравнение показательного роста и показательного
убывания и получить его решение. Привести примеры прикладных задач,
решаемых с его помощью.
3. Сформулировать задачу о радиоактивном распаде, записать для нее
дифференциальное уравнение.
4. Сформулировать задачу о гармонических колебаниях, записать
дифференциальное уравнение гармонических колебаний.
5. Сформулировать задачу о падении тел в атмосферной среде, записать для нее
дифференциальное уравнение.
6.14.2. Время на выполнение: 30 мин.
6.14.3. Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов
контроля и оценки
Основные показатели
оценки результата
Оценка
З 2. Знание математических
моделей простейших систем и
процессов в естествознании и
технике
- Описание процессов в
естествознании и
технике с помощью
дифференциальных
уравнений
5 баллов
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи
выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи
выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.15. Расчетное задание
6.15.1. Текст задания
1. Пользуясь необходимым признаком сходимости, показать, что ряд
...
1
...
4
3
3
2
2
1
1
n
n
расходится.
2. С помощью признака Даламбера решить вопрос о сходимости ряда
...
3
...
3
3
3
2
3
1
32
n
n
3. Пользуясь признаком Лейбница, исследовать на сходимость
знакочередующийся ряд
...
1
1...
4
1
3
1
2
1
1
1
n
n
4. Пользуясь признаком сходимости знакопеременного ряда, исследовать на
сходимость ряд
...
!
1
1...
!4
1
!3
1
!2
1
1
1
n
n
6.15.2. Время на выполнение: 30 мин.
6.15.3. Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов
контроля и оценки
Основные показатели
оценки результата
Оценка
У 1. Умение решать задачи
математического анализа,
линейной алгебры и
аналитической геометрии
- Исследование рядов на
сходимость
4 балла
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи
выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи
выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.16. Расчетное задание
6.16.1. Текст задания
1. Из корзины, в которой находятся 4 белых и 7 черных шара, вынимают один шар.
Найти вероятность того, что шар окажется черным.
2. Определить вероятность появления «герба» при бросании монеты.
3. В корзине 20 шаров: 5 синих, 4 красных, остальные черные. Выбирают наудачу
один шар. Определить, с какой вероятностью он будет цветным.
4. Событие А состоит в том, что станок в течение часа потребует внимания рабочего.
Вероятность этого события составляет 0,7. Определить, с какой вероятностью
станок не потребует внимания.
5. В одной корзине находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9
черных. Из каждой корзины вынули по шару. Найти вероятность того, что оба
шара окажутся белыми.
6. Бросают две монеты. Определить, с какой вероятностью появится «герб» на обеих
монетах.
7. В лотерее 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 200 рублей и двадцать
выигрышей по 50 рублей. Пусть Х – величина возможного выигрыша для человека,
имеющего один билет. Составить закон распределения этой случайной величины
Х.
8. Случайная величина Х задана законом распределения:
1
4
6
0,1
0,6
0,3
Найти ее математическое ожидание.
9. Согласно статистике, вероятность того, что двадцатипятилетний человек проживет
еще год, равно 0,992. Компания предлагает застраховать жизнь на год на 1000 у.е. с
уплатой 10 у.е. взноса. Определить, какую прибыль ожидает компания от
страховки одного двадцатипятилетнего человека.
10. Случайная величина Х задана законом распределения:
1
5
8
0,1
0,2
0,7
Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины Х.
11. Случайные величины X и Y заданы законом распределения. Найти математическое
ожидание этих случайных величин и определить по таблицам, какая из данных
величин более рассеяна. Подсчитать дисперсии D(X) и D(Y). Убедиться, что
D(X)>D(Y).
X
2
20
28
50
4
1
4
1
4
1
4
1
Y
23
25
26
4
1
4
1
2
1
6.16.2. Время на выполнение: 45 мин.
6.16.3. Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов
контроля и оценки
Основные показатели
оценки результата
Оценка
У 3. Умение решать
вероятностные и статистические
задачи
- Нахождение
вероятности случайного
события
- Составление закона
распределения
случайной величины
- Вычисление числовых
характеристик
случайных величин
11 баллов
З 1. Знание основных методов
математического анализа,
аналитической геометрии,
линейной алгебры,
элементарной теории
вероятностей
- Формулировка
классического
определения
вероятности
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи
выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи
выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.17. Экзаменационные вопросы
1. Матрицы, действия над матрицами.
2. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков. Правило треугольников.
3. Определители n-го порядка. Теорема Лапласа.
4. Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы.
5. Ранг матрицы. Алгоритм вычисления ранга матрицы с помощью элементарных
преобразований.
6. Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Формулы Крамера.
Метод Гаусса.
7. Векторы и операции над ними.
8. Проекция вектора на ось и ее свойства.
9. Декартова прямоугольная система координат. Полярная система координат.
10. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.
11. Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах.
12. Предел функции при x, стремящемся к бесконечности. Замечательные пределы.
Число е.
13. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точка непрерывности функции.
Точка разрыва функции. Свойства непрерывных функций. Приращение аргумента.
Приращение функции.
14. Производная функции. Дифференциал функции. Геометрический смысл
производной. Механический смысл производной.
15. Таблица производных. Понятие сложной функции. Производная сложной функции.
16. Схема исследования функции. Область определения функции. Множество
значений функции. Четность и нечетность функции. Нули функции. Промежутки
знакопостоянства функции. Возрастание и убывание функции, правило
нахождения промежутков монотонности. Точки экстремума функции, правило
нахождения экстремумов функции.
17. Производные высших порядков. Физический смысл второй производной.
Исследование функции с помощью второй производной.
18. Первообразная. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного
интеграла.
19. Таблица неопределенных интегралов.
20. Методы интегрирования: метод непосредственного интегрирования; метод замены
переменной (метод подстановки); метод интегрирования по частям.
21. Определенный интеграл. Понятие интегральной суммы. Достаточное условие
существования определенного интеграла (интегрируемости функции).
22. Основные свойства определенного интеграла. Геометрический смысл
определенного интеграла.
23. Методы вычисления определенных интегралов. Формула Ньютона-Лейбница.
24. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.
25. Функции нескольких переменных. Частные производные.
26. Понятие дифференциального уравнения. Общее и частное решение
дифференциального уравнения. Интегральные кривые. Задача Коши.
27. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
28. Методы решения дифференциальных уравнений.
29. Понятие числового ряда. Сходимость и расходимость числовых рядов.
30. Необходимый признак сходимости ряда. Признак сравнения. Признак Даламбера.
31. Понятие знакочередующегося ряда. Признак сходимости Лейбница.
32. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда.
33. Функциональные ряды. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда.
Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.
34. Понятие события. Достоверные, невозможные, совместные, несовместные,
противоположные события. Классическое определение вероятности.
35. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей.
36. Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон
распределения дискретной случайной величины. Интегральная функция
распределения непрерывной случайной величины.
37. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Отклонение
случайной величины. Дисперсия дискретной случайной величины. Среднее
квадратичное отклонение случайной величины.
6.18. Экзаменационные задания
1. Вычислить предел
x
x
x
5
3
7
1lim
.
2. Вычислить пределы:
а)
xx
xx
x
4
34
2
15
lim
; б)
4
2
lim
2
3
x
xx
x
; в)
xx
x
x
2
4
lim
3
2
.
3. Вычислить предел
x
x
x
5sin
17sin
lim
0
.
4. Вычислить предел
x
x
x
3
5sin
lim
0
.
5. Вычислить предел
xx
xx
x
2
3
lim
2
2
0
.
6. Вычислить предел
8
1610
lim
2
8
x
xx
x
.
7. Исследовать функцию
6
5
)(
x
x
xf
на непрерывность в точке
6
0
x
.
8. Исследовать функцию
32
3)( xxxf
и построить ее график.
9. Вычислить значение производной следующих функций в точке
4
0
x
:
а)
xxxf ln8)(
2
; б)
xxxf 5)(
3
.
10. Найти производную функции
7
24
5 xxxy
.
11. Найти производную функции
42
811
x
x
y
.
12. Найти производную функции
82
5
x
ey
.
13. Найти производную функции
238ln
24
xxy
.
14. Найти неопределенный интеграл
dx
x
xxx
24
23
.
15. Найти неопределенный интеграл методом замены переменной
dxex
x
3
2
.
16. Найти неопределенный интеграл методом замены переменной
dxx
4
116
.
17. Найти неопределенный интеграл методом замены переменной
dxx
)16cos(
.
18. Найти неопределенный интеграл методом замены переменной
dxxx
cossin
6
.
19. Вычислить определенный интеграл
3
0
)15( dxx
.
20. Вычислить определенный интеграл
1
0
)5( xdxx
.
21. Вычислить определенный интеграл
2
0
2
43
2
dx
x
xx
.
22. Скорость движения точки изменяется по закону
245
2
ttv
(м/с). Найти путь s,
пройденный точкой за 4 с от начала движения.
23. Вычислить объем тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной линиями
2
xy
,
0y
,
1x
,
3x
, вокруг оси Ox.
24. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
2
xy
,
0y
,
1x
,
2x
.
25. Решить дифференциальное уравнение
0209
yyy
.
26. Решить задачу Коши:
xxy 46
2
,
9)1( y
.
27. Решить дифференциальное уравнение
xy 11
.
28. В одной корзине находятся 5 белых и 10 черных шаров, в другой – 4 белых и 11
черных. Из каждой корзины вынули по шару. Найти вероятность того, что оба
шара окажутся черными.
29. В лотерее 1000 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 200 рублей и десять
выигрышей по 100 рублей. Пусть Х – величина возможного выигрыша для
человека, имеющего один билет. Составить закон распределения этой случайной
величины Х.
30. Случайная величина Х задана законом распределения:
4
6
7
0,4
0,5
0,1
Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение
этой случайной величины Х.
7. Шкала оценки образовательных достижений
Процент результативности (правильных
ответов)
Оценка уровня подготовки
балл (отметка)
вербальный аналог
90 ÷ 100
5
отлично
80 ÷ 89
4
хорошо
70 ÷ 79
3
удовлетворительно
менее 70
2
неудовлетворительно
8. Перечень материалов, оборудования и информационных источников,
используемых в аттестации
1. Гмурман, В.Е. Руководство по решению задач по теории
вероятностей и математической статистики. - М.: Высшее
образование, 2009.
2. Дадаян, А.А. Математика. - М.: ФОРУМ: ИНФРА, 2007.
3. Дадаян, А.А. Сборник задач по математике. - М.: ФОРУМ: ИНФРА,
2007.
Интернет ресурсы:
4. http://festival.1september.ru/
5. http://www.fepo.ru
6. www.mathematics.ru
