Подготовка к ОГЭ "Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии"

• Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий: в части 1 - 5 заданий в час-
• ти 2 - 3 задания.

• ОГЭ 2016

• Подготовка к ОГЭ

• Задачи № 9, 10, 11, 12, 13

• Решение задач обязательной части
• ОГЭ по геометрии

• Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий: в части 1 - 5 заданий, в час-
• ти 2 - 3 задания.

• ГИА 2013

• Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий:
• в части 1 - 5 заданий, в части 2 - 3 задания.

Код по КЭС	Название раздела содержания	Число заданий
7.1	Геометрические фигуры и их свойства.	1
7.2	Треугольник	1
7.3	Многоугольники	1
7.4	Окружность и круг	1
7.5	Измерение геометрических величин	1
7.6	Векторы на плоскости	0

• Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий: в части 1 - 5 заданий, в час-
• ти 2 - 3 задания.

• ГИА 2013

• Вашему вниманию представлены
• тридцать пять
• прототипов задач № 9, 10, 11, 12, 13
• ОГЭ – 2015.

• Задача № 9. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

• Задача № 10. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

• Задача № 11. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

• Задача № 12. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

• Задача № 13. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Ответ: 70

• Ответ: 70

• Повторение (2)

• <number>

Повторение

• <number>

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

• В треугольнике сумма углов равна 180°

Ответ: 6

• Ответ: 6

• <number>

• Повторение (3)

• ∠ВСА = 180° - 57° - 117°=6°

Повторение

• <number>

• Внешний угол треугольника – это угол, смежный с углом треугольника

• Сумма смежных углов углов равна 180°

• В треугольнике сумма углов равна 180°

Ответ: 111

• Ответ: 111

• <number>

• Повторение (3)

Повторение

• <number>

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

• Биссектриса – это луч, который делит угол пополам

• В треугольнике сумма углов равна 180°

Ответ: 134

• Ответ: 134

• <number>

• Один из углов параллелограмма на 46° больше другого. Найти больший из них.

• Повторение (2)

• ∠А+∠D=180°

• Пусть ∠А=х°, тогда∠D=(х+46)°

• х+х+46=180

• 2х=134

• х=67

• ∠D =2∙67°=134°

Повторение

• <number>

• Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

• Если две параллельные прямые пересечены третьей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°

Ответ: 108

• Ответ: 108

• <number>

• Найти больший угол параллелограмма АВСD.

• Повторение (2)

• ∠DCВ=∠АCD+∠АСВ=23°+49°=72°

• ∠С+∠В=180°

• ∠В=180°-∠В=180°-72°=108°

Повторение

• <number>

• Если угол разделен на части, то его градусная мера равна сумме градусных мер его частей.

• В параллелограмме сумма соседних углов равна 180°

Ответ: 126

• Ответ: 126

• <number>

• Повторение (2)

• Углы ромба относятся как 3:7 .
• Найти больший угол.

• ∠1+∠2=180°

• Пусть K – коэффициент пропорциональности,
• тогда ∠2=(3k)°, ∠1=(7k)°

• 3k+7k=180

• 10k=180

• k=18

• ∠1=18°∙7=126°

Повторение

• <number>

• В ромбе противоположные стороны параллельны

• Если две параллельные прямые пересечены третьей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°

Ответ: 124

• Ответ: 124

• <number>

• Повторение (2)

• Разность противолежащих углов трапеции равна 68°. Найти больший угол.

• ∠А+∠В=180°

• Если ∠А=х°, то ∠В = (х+68)°

• х+х+68=180

• 2х=180-68

• х = 56

• ∠В=56°+68°=124°

• ∠В=∠С

Повторение

• <number>

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

• Сумма углов, прилежащих боковой стороне трапеции равна 180°.

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №10 (1)

• Повторение (2)

• Ответ: 4

• Найти АС.

• <number>

• В

• С

• А

• 5

• ⇒

• ⇒

• По теореме Пифагора

Повторение

• <number>

• Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе

• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №10 (2)

• Повторение (2)

• Ответ: 17

• <number>

• Найти АВ.

• В

• С

• А

• 15

• ⇒

• ⇒

• По теореме Пифагора

Повторение

• <number>

• Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему

• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №10 (3)

• Повторение (3)

• Ответ: 52

• Найти АВ.

• <number>

• В

• С

• А

• 26

• BH = HA, значит АВ = 2 AH.

• H

• ⇒

• HA = СH = 26

• АВ = 2 ∙26 = 52

Повторение

• <number>

• Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является и медианой

• В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90⁰

• Если в треугольнике два угла равны, то такой треугольник равнобедренный

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №10 (4)

• Повторение (2)

• Ответ: 117

• Найти CH.

• <number>

• В

• А

• H

• С

• BH=HA, зн. АH=½ AB=

• По теореме Пифагора в ∆ACH

Повторение

• <number>

• Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является и медианой

• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №10 (5)

• Повторение (3)

• Ответ: 75

• Найти AB.

• <number>

• В

• А

• H

• С

• 120⁰

• Проведем высоту CH, получим ∆ВCH.

• ∠ВCH=60⁰

• ⇒

• ∠CВH=30⁰

• ⇒

• По теореме Пифагора в ∆BCH

Повторение

• <number>

• Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к основанию является биссектрисой и медианой

• В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30⁰, равен половине гипотенузы

• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №10 (6)

• Повторение (4)

• Ответ: 4

• Дано: параллелограмм, BE – биссектриса ∠B, P=10,
• АЕ:ЕD=1:3.
• Найти: AD

• <number>

• В

• А

• D

• С

• Е

• 1

• 2

• 3

• ∠1=∠3 как накрест лежащие при секущей ВЕ

• ∠3=∠2 так как ∠1=∠2 по условию

• ⇒

• АВ=АЕ

• Пусть АЕ=х,

• тогда АВ=х, ЕD=3х

• Р=2∙(х+4х)

• ⇒

• 2∙(х+4х)=10

• 5х=5

• Х=1

• AD=4∙1=4

Повторение

• <number>

• Биссектриса – это луч, который делит угол пополам

• Периметр многоугольника – это сумма длин всех сторон многоугольника

• При пересечении двух параллельных прямых накрест лежащие углы равны

• Если два угла в треугольнике равны, то треугольник - равнобедренный

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №10 (7)

• Повторение (3)

• Ответ: 94

• АВСD – трапеция, AH=51, HD=94
• Найти среднюю линию трапеции

• <number>

• В

• А

• D

• С

• 94

• 51

• H

• ?

• К

• М

• Проведем СЕ⍊AD, получим ∆ABH=∆CED и прямоугольник BCEH

• ⇒

• AD=AH+HE+ЕD=

• E

• 51+94=145

• ⇒

• AH=ЕD=51,

• BC=HE=HD-ED=94-51=43,

• ⇒

Повторение

• <number>

• Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то треугольники равны

• Если отрезок точкой разделен на части, то его длина равна сумме длин его частей

• Средняя линия трапеции равна полусумме оснований трапеции

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11 (1)

• Повторение (1)

• Ответ: 6

• Найти площадь треугольника.

• <number>

• В

• С

• А

• 8

• 3

• 30⁰

Повторение

• <number>

• Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11 (2)

• Повторение (2)

• Ответ: 13,5

• АВ=3CH.
• Найти площадь треугольника АВС

• <number>

• В

• С

• А

• 3

• H

• АВ=3CH=3∙3=9

Повторение

• <number>

• Высота треугольника – это отрезок, проведенный из вершины к противоположной стороне под прямым углом

• Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11 (3)

• Повторение (2)

• Ответ:

• Найти S∆ABC

• <number>

• В

• А

• D

• С

• 8

• 5

Повторение

• <number>

• Площадь параллелограмма равна произведению двух сторон на синус угла между ними

• Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11 (4)

• Повторение (2)

• Ответ: 42

• Диагонали ромба равны 12 и 7.
• Найти площадь ромба.

• <number>

• В

• А

• D

• С

Повторение

• <number>

• Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей

• Ромб – это параллелограмм с равными сторонами

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11 (5)

• Повторение (5)

• Ответ:

• АС=10.
• Найти площадь прямоугольника

• <number>

• В

• А

• D

• С

• 60⁰

• О

• АО=ВО=10:2=5

• В ∆АОВ, где ∠ВАО= ∠АВО=(180⁰-60⁰):2=60⁰

• ⇒

• АВ=5

• По теореме Пифагора в ∆АВD

Повторение

• <number>

• Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

• Если угол разбит на части, то его градусная мера равна сумме его частей

• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

• Площадь прямоугольника равна произведению соседних сторон

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11 (6)

• Повторение (2)

• Ответ: 73,5

• ABCD – трапеция. ВС в 2 раза меньше AD. Найти площадь трапеции

• <number>

• В

• А

• D

• С

• 14

• H

• ВС=14:2=7

• BC=BH=7

Повторение

• <number>

• Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту

• Трапеция – это четырехугольник, две стороны которого параллельны

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11 (7)

• Повторение (4)

• Ответ:

• ABCD – равнобедренная трапеция MK=8, боковая сторона равна 5.
• Найти площадь трапеции.

• <number>

• В

• А

• D

• С

• 8

• 135⁰

• H

• К

• М

• ⇒

• По теореме Пифагора в ∆АВH, где AH=BH=х

• ∠АВH=135⁰-90⁰=45⁰

• ⇒

• ∠ВАH= ∠АВH=45⁰

• ⇒

Повторение

• <number>

• Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту

• Средняя линия трапеции равна полусумме оснований

• Если в прямоугольном треугольнике острый угол равен 45⁰, то и другой острый угол равен 45⁰

• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №12 (1)

• Повторение (3)

• Ответ: 45

• Найти угол АВС (в градусах)

• <number>

• В

• С

• А

• Проведем из произвольной точки луча ВА перпендикуляр до пересечения с лучом ВС

• Получим прямоугольный равнобедренный треугольник

• ⇒

• ∠С=∠В=45⁰

• по свойству острых углов прямоугольного треугольника

Повторение (подсказка)

• <number>

• Треугольник называется прямоугольным, если в нем имеется прямой угол

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №12 (2)

• Повторение (4)

• Ответ:135

• Найти угол АВС (в градусах)

• <number>

• В

• С

• А

• Проведем из произвольной точки луча ВС перпендикуляр к прямой АВ до пересечения с ней

• D

• Получим прямоугольный равнобедренный треугольник BCD

• ⇒

• ∠С=∠В=45⁰

• по свойству острых углов прямоугольного треугольника

• ∠ABС+∠CВD=180⁰ как смежные

• ⇒

• ∠ABС=180⁰ - ∠CВD=135⁰

Повторение (подсказка)

• <number>

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰

• Смежными углами называются углы, у которых есть общая сторона, а две другие являются дополнительными лучами

• Сумма смежных углов равна 180⁰

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №12 (3)

• Повторение (2)

• Ответ: 0,8

• Найти синус угла ВАС

• <number>

• В

• С

• А

• 4

• 3

• По теореме Пифагора в ∆АВС

Повторение (подсказка)

• <number>

• Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе

• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №12 (4)

• Повторение (2)

• Ответ: 0,2

• Найти косинус угла ВАС

• <number>

• В

• С

• А

• По теореме Пифагора в ∆АВС

Повторение (подсказка)

• <number>

• Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе

• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №12 (5)

• Повторение (2)

• Ответ: 2,4

• Найти тангенс угла ВАС.

• <number>

• В

• С

• А

• 12

• 13

• По теореме Пифагора в ∆АВС

Повторение (подсказка)

• <number>

• Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему

• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №12 (6)

• Повторение (3)

• Ответ: 1

• <number>

• Повторение (3)

• Найти тангенс угла АВС.

• В

• С

• А

• Проведем из произвольной точки луча ВА перпендикуляр до пересечения с лучом ВС.

• Получим прямоугольный равнобедренный треугольник

• ⇒

• ∠С=∠В=45⁰

• по свойству острых углов прямоугольного тр-ка

Повторение (подсказка)

• <number>

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰

• Тангенс угла в 45⁰ равен единице

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №12 (7)

• Повторение (2)

• Ответ: 0,6

• Найти косинус угла АВС

• <number>

• В

• С

• А

• Проведем перпендикуляр из такой точки луча ВА до пересечения с лучом ВС, чтобы в катетах треугольника АВС укладывалось целое число единиц измерения.

• где АВ=3, АС=4, значит по теореме Пифагора ВС=5 (Пифагоров треугольник)

• В данном случае единицей измерения стала клетка.

Повторение (подсказка)

• <number>

• Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе

• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №13 (1)

• Укажите номера верных утверждений

• <number>

• 1.Через любые три различные точки плоскости можно провести единственную прямую.

• 2.Если угол равен 25⁰, то смежный с ним угол равен 155⁰

• 3.Через любую точку плоскости можно провести не менее одной прямой

• да

• нет

• да

• нет

• да

• нет

Повторение (подсказка)

• <number>

• Сформулируйте аксиому о взаимном расположении прямой и точек.

• Каким свойством обладают смежные углы?

• Сколько прямых можно провести через точку на плоскости?

• Через любые две точки проходит прямая , и притом только одна

• Сумма смежных углов равна 180°

• Через точку на плоскости можно провести бесконечно много прямых.

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №13 (2)

• Укажите номера верных утверждений

• <number>

• 1.Если угол равен 56⁰, то вертикальный с ним угол равен 124⁰.

• 2.Существует точка плоскости, через которую можно провести бесконечное количество различных прямых.

• 3.Через любую точку плоскости можно провести не более двух прямых.

• да

• нет

• да

• нет

• да

• нет

Повторение (подсказка)

• <number>

• Сформулируйте свойство вертикальных углов.

• Сколько прямых можно провести через точку на плоскости?

• Вертикальные углы равны

• Через точку на плоскости можно провести бесконечно много прямых.

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №13 (3)

• Укажите номера верных утверждений

• <number>

• 1.Любые три различные прямые проходят через одну общую точку.

• 2.Существует точка плоскости, не лежащая на данной прямой, через которую нельзя провести на плоскости ни одной прямой, параллельной данной.

• 3.Если угол равен 47⁰, то смежный с ним угол равен 133⁰.

• да

• нет

• да

• нет

• да

• нет

Повторение (подсказка)

• <number>

• Как могут взаимно располагаться три прямых на плоскости?

• Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

• Сформулируйте свойство смежных углов.

• Три прямых на плоскости могут иметь одну общую точку, могут пересекаться попарно, могут и не иметь общих точек

• Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

• Сумма смежных углов равна 180°.

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №13 (4)

• Укажите номера верных утверждений

• <number>

• 1.Через любые две различные точки плоскости можно провести не более одной прямой.

• 2.Через любые две различные точки плоскости можно провести не менее одной прямой.

• 3.Если угол равен 54⁰, то вертикальный с ним угол равен 36⁰.

• да

• нет

• да

• нет

• да

• нет

Повторение (подсказка)

• <number>

• Сформулируйте аксиому о взаимном расположении прямой и точек на плоскости.

• Сформулируйте свойство вертикальных углов

• Вертикальные углы равны.

• Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №13 (5)

• Укажите номера верных утверждений

• <number>

• 1.Через любую точку плоскости можно провести прямую.

• 2.Через любую точку плоскости можно провести единственную прямую.

• 3.Существует точка плоскости, через которую можно провести прямую.

• да

• нет

• да

• нет

• да

• нет

Повторение (подсказка)

• <number>

• Сколько прямых можно провести через точку на плоскости?

• Через точку на плоскости можно провести бесконечно много прямых.

• Существует ли точка плоскости, через которую нельзя провести прямую?

• Через любую точку плоскости можно провести прямую.

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №13 (6)

• Укажите номера верных утверждений

• <number>

• 1.Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответственные углы равны.

• 2.Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 90⁰

• 3.Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые перпендикулярны.

• да

• нет

• да

• нет

• да

• нет

Повторение (подсказка)

• <number>

• Сформулируйте свойство параллельных прямых относительно соответственных углов

• Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответственные углы равны

• Сформулируйте свойство параллельных прямых относительно внутренних односторонних углов.

• Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сума внутренних односторонних углов равна 180°

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №13 (7)

• Укажите номера верных утверждений

• <number>

• 1.Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних накрест лежащих углов равна 180⁰, то прямые параллельны

• 2.Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны 75⁰ и 105⁰, то прямые параллельны

• 3.Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 180⁰, то прямые параллельны

• да

• нет

• да

• нет

• да

• нет

Повторение (подсказка)

• <number>

• Сформулируйте признак параллельности двух прямых относительно накрест лежащих углов.

• Сформулируйте признак параллельности двух прямых относительно соответственных углов.

• Сформулируйте признак параллельности двух прямых относительно внутренних односторонних углов.

• Если при пересечении двух прямых третьей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

• Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

• Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

• 4. Научитесь выделять и понимать главное в материале, т.к. умение решать задачи является следствием глубоко понятого соответствующего теоретического материала.
• 5. Совершенствуйте свои вычислительные умения и навыки.

• Рекомендации ученикам

• Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий: в части 1 - 5 заданий, в час-
• ти 2 - 3 задания.

• ГИА 2015

• Книги по подготовке к ГИА

• «ГИА-2015. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов» под редакцией А. Л. Семенова, И. В. Ященко. – М.: Изд. «Национальное образование», 2014.

• «ГИА-2015. Математика: учебно-тренировочные тесты по новому плану ГИА под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов –на-Дону: Легион, 2014.