Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Удивительный мир чисел" 5 класс

МБОУ Инзенская СШ №1 имени Ю.Т. Алашеева
Проект
«Удивительный мир чисел»
Работу выполнили
учащиеся 5 класса А
Руководитель проекта:
Ёлчева Н.Л.
2014 г.
Руководитель проекта
Ф.И.О.
Ёлчева Нина Леонидовна
Регион
Ульяновская область
Населённый пункт, где находится
школа
Город Инза
Название школы
МБОУ Инзенская СШ №1
Описание проекта
Тема учебного проекта
«Удивительный мир чисел»
Краткое содержание проекта
История возникновения чисел, как люди научились считать; линейные числа,
фигурные числа, совершенные числа, дружественные числа.
Предмет
Математика
Класс
5 класс
Продолжительность проекта
3 недели
Основа проекта
Образовательные стандарты
Овладение системой математических знаний и умений, необходимых для
применения в практической деятельности, изучение смежных дисциплин.
Интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых
человеку для полноценной жизни в современном обществе: ясность и
точность мысли, критичность мышления, логическое мышление, элементы
алгоритмической культуры, пространственных представлений, способность
преодолевать трудности.
Воспитание отношения к математике как к части общечеловеческой
культуры, понимание значимости математики для научно-технического
прогресса.
Дидактические цели, ожидаемый результат
В результате работы над проектом учащиеся смогут определять простые и
составные числа, совершенные числа, дружественные и фигурные числа,
называть удивительные свойства чисел. Будут знать имена великих
математиков: Пифагор, Евклид, Эратосфен, Архимед. Научатся проводить
фокусы с числами, разгадывать ребусы и головоломки, загадки с числами,
строить фигурные числа.
Вопросы, направляющие проект
Основополагающий вопрос
Что есть число?
Прблемные вопрсы
1. Существует ли связь между понятием
числа и геометрической фигурой?
2. Какие существуют классификации
фигурных чисел?
3. Существует ли самое большое число?
Учебные вопросы
- Назвать определение фигурного числа.
- Установить виды фигурных чисел.
- Каковы закономерности процесса
построения фигурных чисел?
- Какие числа называются совершенными?
- Какие числа называются дружественными?
Оценивание работы учащихся
До работы над проектом
- Формирующее оценивание стартовых знаний в форме фронтальной
беседы, вводной презентации учителя.
- Список тем исследования.
- Критерии оценивания исследований учеников.
Ученики работают над проектом и выполняют задания.
- Оценивание работы учеников по предложенным дидактическим
материалам.
- Обсуждение предварительных результатов в каждой группе.
- Консультация учителя.
- Работа с дидактическим материалом.
После завершения работы над проектом
- Самооценка работы группы.
- Представление результатов работы групп в виде презентации.
- Выступление на уроке-конференции.
- Рефлексия.
Описание методов оценивания
Работа над проектом начинается с того, что в ходе презентации учителя
выясняются знания учащихся по данной теме, учащиеся мотивируются на
проведение исследований в проекте, определяются темы исследований.
Учитывая требования стандарта, составляются критерии оценивания
будущих работ учащихся, по которым происходит контроль и самоконтроль в
группах. Перед началом работы учащиеся знакомятся с данными
критериями. В ходе работы группы заполняют таблицу продвижения по
проекту, обсуждают полученные результаты, сверяют полученные
результаты с критериями. Для глубокого осмысления темы для учащихся
разработаны дидактические материалы. После завершения работы
заполняются листы самооценки работы группы, создаётся презентация,
отражающая результаты исследований и полученные выводы. Проводится
урок-конференция, на котором заслушиваются выступления учащихся с
итогами своей работы. Здесь оценивается глубина проведённого
исследования, краткость и ёмкость формулировок, умение логично
представлять ход и результаты исследования, убедительно аргументировать
свою точку зрения, задавать вопросы, активность. В ходе выступления
учащиеся демонстрируют результаты своей деятельности - презентации и
публикации. В завершении конференции коллективно обсуждаются выводы,
служащие ответом на основополагающий вопрос проекта. По итогам проекта
осуществляется индивидуальная рефлексия.
Предварительные знания, умения и навыки.
Первоначальные навыки поиска информации в Интернете, исторической и
учебной литературе, навыки осмысленного чтения. Первоначальные навыки
работы в текстовом редакторе и Power Point.
Учебные мероприятия
1 занятие.
- Знакомство с проектом.
- Деление учащихся на группы.
- Задания по группам:
I группа – возникновение чисел, линейные числа, простые и составные
числа, решето Эратосфена.
II группа – фигурные числа, их классификация; совершенные и
дружественные числа.
III группа – подготовить числовые фокусы, числовые кроссворды,
головоломки и ребусы с числами.
2 занятие.
Рассказ о простых и составных числах.
Рассказ о способе отыскания простых чисел – «Решето Эратосфена»
3 занятие.
Рассказ о дружественных , фигурных и совершенных числах
Практическая работа по построению фигурных чисел.
4 занятие.
Практическое занятие на логику и смекалку.
5 занятие.
Защита рефератов ( 1 группа )
Показ презентаций ( 2 группа )
Демонстрация альбома с числовыми фокусами, кроссвордами,
головоломками, ребусами ( 3 группа ).
Создание комфортных условий для дифференцированного обучения
Возможности для учеников
Работа в группах позволяет ученикам выбрать для себя роль в соответствии
со склонностями и интересами, чтобы быть успешным и внести свой вклад в
итоговую работу:
- анализ источников;
- поиск и обработка необходимой информации по теме проекта;
- поиск и подготовка к представлению иллюстративного материала по теме
проекта;
- организация и проведение совместного обсуждения результатов работы ;
- обработка результатов и представление их средствами компьютерных
технологий;
- подготовка и проведение устной презентации работы группы.
Одарённые ученики
В ходе работы над проектом возможны различные пути изучения материала,
которые могут выбрать сами ученики. Школьники, заинтересованные в
более глубоком изучении математики, могут выйти за рамки выполняемых
учебных задач, провести дополнительные исследования и расширить поле
деятельности проекта.
Ученики, испытывающие трудности в обучении
В работе над проектом ученики выполняют доступные для себя, чётко
определённые задачи на основе продуманного алгоритма действий. Они
имеют возможность воспользоваться помощью других участников группы,
проконсультироваться с учителем. Такие ученики должны почувствовать
свою значимость в общем деле, почувствовать, что они могут быть
успешными.
Материалы и ресурсы, необходимые для выполнения проекта
Технологии – цифровые устройства
- компьютер;
- сеть интернет;
- принтер;
- проектор.
Технологии – программное обеспечение
- электронные энциклопедии;
- мультимедийные программы;
- текстовый редактор.
Пифагор
Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и
пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, разложенных
на песке или на счетной доске - абаке. По этой причине греки не
знали нуля, так как его невозможно было "увидеть". Но и единица
еще не была полноправным числом, а представлялась как некий
"числовой атом", из которого образовывались все числа.
Пифагорейцы называли единицу "границей между числом и
частями", то есть между целыми числами и дробями, но в то же
время видели в ней "семя и вечный корень". Число же
определялось как множество, составленное из единиц. Особое
положение единицы как "числового атома", роднило ее с точкой,
считавшейся "геометрическим атомом". Вот почему Аристотель
писал: "Точка есть единица, имеющая положение, единица есть
точка без положения". Таким образом пифагорейские числа в
современной терминологии - это натуральные числа. Числа-
камешки раскладывались в виде правильных геометрических
фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа,
сегодня именуемые фигурными. Итак, фигу
́
рные чи
́
сла — общее
название чисел, геометрическое представление которых связано с
той или иной геометрической фигурой
1. Линейные числа
Линейные числа - самые простые числа, которые делятся
только на единицу и на самих себя и вследствие этого могут быть
изображены в виде линии, составленной из последовательно
расположенных точек. Примером линейного числа является -
число 5
( л и н е й н о е ч и с л о 5 )
Эти числа называются простыми. Более двух тысяч лет назад в
Греции знаменитый математик Эратосфен придумал очень
остроумный способ выискивать простые числа. Он предложил для
этого применять особое решето, сквозь которое все ненужные
числа будут просеиваться, а все нужные – простые - оставаться.
Чудесное решето назвали решетом Эратосфена. А действует
оно следующим образом.
Запишем все числа, начиная с двойки, по порядку:
2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; . . .
Такой ряд чисел называется натуральным рядом. Выбросим из
этого ряда те числа, которые, которые наверняка не являются
простыми, то есть делятся не только на себя, но и на другие числа.
Сначала отбросим те числа, которые делятся на два. Затем отсеем
те числа, которые делятся на три. Всё меньше и меньше остаётся
чисел в решете. А дальше выбросим все числа, которые делятся на
5, потом те, что делятся на 7 и так далее. Так постепенно из ряда
натуральных чисел будут выбывать составные числа, а простые
останутся.
Теперь мы уже знаем очень много простых чисел. Все
зачёркнутые числа, кроме 1, являются составными. Число 1 не
является простым числом, но оно относится к линейным числам.
2. Плоские числа. Телесные числа.
Плоские числа – числа, представимые в виде произведения
двух сомножителей, (или составные): 4; 6; 8; 10; . . .
(число 6) (число 10)
Эти числа можно расположить в две линии.
Телесные числа – числа, представимые в виде произведения
трёх сомножителей: 8; 12; 16; 18; . . .
3. Многоугольные числа.
Выкладывая различные правильные многоугольники, мы
получаем разные классы многоугольных чисел. Предположительно
от фигурных чисел возникло выражение «Возвести число в квадрат
или в куб»
Треугольные числа.
Нарисованные и попарно соединённые три точки создают
правильный (равносторонний) треугольник. А если точек четыре –
можно ли их расположить аналогичным способом? Оказывается,
нет. Пять точек - тоже нет. А вот шесть точек расположить в
требуемом порядке уже можно. При этом новый треугольник
получается линейным увеличением последнего в три раза. Чтобы
впечатление треугольника сохранялось нужно добавить четыре
точки. Соответствующий треугольник получается линейным
увеличением исходного в три раза.
Продолжая добавлять точки, будем получать всё новые и новые
треугольники.
В приведённых примерах точек сначала было три, потом шесть,
затем десять и так далее. Эти числа по вполне понятным
причинам называются треугольными. Простейшими из этих
чисел являются - !; 3; 6; 10; 15; 21; 28; 36; . . .
1
3=1+2
6=1+2+3
10=1+2+3+4
15=1+2+3+4+5
21=1+2+3+4+5+6 и т.д.
Любое треугольное число можно представить в виде ,
где n – порядковый номер числа.
Треугольные числа обладают следующими свойствами:
1. Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт
полный квадрат – квадратное число.
2. Чётность элемента последовательности меняется с периодом
4: нечётное, нечётное, чётное, чётное, . . .
Подсчитаем с помощью рисунка несколько первых треугольных
чисел и составим таблицу.
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
Треугольное
число
1
3
6
10
?
?
?
А можно ли продолжить таблицу дальше, без помощи
рисунков? Сделать это совсем просто, если понять правило, по
которому каждое следующее треугольное число получается из
предыдущего. Посмотрите на таблицу: третье треугольное число
получается, если ко второму прибавить число 3, т. е. его номер;
четвертое треугольное число получается добавлением к третьему
числу 4 и т. д.
А можно ли найти какое-нибудь треугольное число, не
вычисляя всех предыдущих? Попробуем найти треугольное число
под номером 10. Десятое треугольное число равно сумме:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10.
Для подсчета этой суммы запишем ее слагаемые в обратном
порядке и расположим суммы одна под другой:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10.
10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 +1.
Сумма каждой пары, расположенных друг под другом, равна
11. Всего таких сумм 10. Поэтому удвоенная сумма равна 10 · 11. А
само треугольное число (10 · 11) : 2 =55.
Порешаем?
1. а) Шары укладывают в равносторонние треугольники. В
пятнадцатом треугольнике 120 шаров. Сколько шаров в 16
треугольнике? В четырнадцатом?
б) Заполни указанную часть таблицы
№
п/п
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Треугольное
число
240
2.
а) Шары уложили в равносторонний треугольник, в котором 25
рядов. Сколько потребовалось шаров?
б) Чему равно треугольное число с номером 35? С номером 50?
С номером 1000?
3.
а) Несколько шаров уложили на плоскости в равносторонний
треугольник – остались лишними 3 шара. А когда построили
треугольник, сторона которого содержит на 1 шар больше, то не
хватило 4 шаров. Сколько было шаров?
б) Несколько шаров уложили на плоскости в равносторонний
треугольник – остались лишними 24 шара. А когда построили
треугольник, сторона которого содержит на один шар больше, то
не хватило 11 шаров. Сколько было шаров?
4.
В каком порядке идут четные и нечетные числа в
последовательности треугольных чисел? Четным или нечетным
является число с номером 17, 18, 19, 20? Четным или нечетным
является число с номером 60, 78, 35?
5.
Найдите сумму:
а) 15-го и 16-го треугольных чисел;
б) 47-го и 48-го треугольных чисел.
Желаем успеха!
Треугольные числа связаны с именем великого
древнегреческого математика и философа Пифагора, который жил
в VI в. До н. э. Пифагор использовал квадратные, пятиугольные
числа. У него не только плоские фигуры изображали числа. Были
также и пирамидальные числа, и кубические …
Квадратные числа.
Нарисованные точки образуют правильную геометрическую фигуру
– квадрат. Квадратными числами называются числа ряда: 1; 4; 9;
16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; . . .
1 4 9 16 25
1=1х1
4=2х2
9=3х3
16=4х4
25=5х5 и т.д.
Квадратные числа представляют собой произведение двух
одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными
квадратами.
Любое квадратное число можно представить в виде , где n
– порядковый номер числа.
Пятиугольные числа.
Пятиугольные числа - это числа, которые образуют правильный
пятиугольник.
1 5 12 22
Любое пятиугольное число можно записать в виде ,
где n- порядковый номер числа.
Совершенные числа
Совершенное число (др.-греч. ἀριθμὸς τέλειος) — натуральное
число, равное сумме всех своих собственных делителей (т. е. всех
положительных делителей, отличных от самого числа). По мере
того как натуральные числа возрастают, совершенные числа
встречаются всё реже.
6 — шесть. Натуральное четное число. Факториал 3!,
Регулярное число (Число Хемминга), Совершенное число. В
ряду натуральных чисел находится между числами 5 и 7.
Делители числа 6 - 1; 2; 3 – собственные делители.
6=1+2+3
28 — двадцать восемь. Натуральное четное число.
Совершенное число. В ряду натуральных чисел находится
между числами 27 и 29.
Делители числа 28 - 1; 2; 4; 7; 14 - собственные делители.
28=1+2+4+7+14
496 — четыреста девяносто шесть. Натуральное четное число.
Совершенное число. В ряду натуральных чисел находится
между числами 495 и 497.
Четвёртое совершенное число — 8128,
пятое — 33 550 336,
шестое — 8 589 869 056,
седьмое — 137 438 691 328 . . .
В диапазоне от 1 до 100 всего 2 числа- 6 и 28
Сказка о совершенных числах
28 сентября число 28 решило пригласить в гости всех своих
делителей, меньших, чем оно само. Первой прибежала единица, за
ней двойка, за ней 4; 7; 14. Когда все гости собрались, число 28
увидело, что их немного. Оно огорчилось и предложило, чтобы
каждый из гостей привел ещё и своих делителей. (Сколько придет
новых гостей?). Единица объяснила числу 28, что новые гости не
придут.
Чтобы утешить число 28 , его гости соединились знаком "+". И, о
чудо, сумма оказалась равной самому числу 28! Единица сказала,
что всякое число, которое равно сумме своих меньших делителей,
называется совершенным. Число обрадовалось и спросило, какие
числа есть ещё совершенные. Всезнающая единица ответила, что
совершенных чисел очень мало: среди чисел до миллиона их всего
четыре: 6, 28, 496 и число 8128. Известно довольно много четных
совершенных чисел, но не известно ни одного нечетного
совершенного числа. Также неизвестно, конечно ли количество
совершенных чисел. Возьмём совершенное число – 6. На какие
числа делится это число? На 1, на 2 и на 3. Теперь сложим эти три
числа: 1 + 2 + 3 = 6 Или вот другое совершенное число – 28, –
Помните, какие у него младшие делители – 1, 2, 4, 7 и 14. Сложим
их: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Значит, совершенные числа равны сумме
всех своих младших делителей. К сожалению, совершенных чисел
всего двадцать четыре: 6, 28, 496,8128, 130 816… Дальше они растут
всё быстрее и быстрее, а вычислять их всё сложнее и сложнее.
Может быть вам доведётся найти новое совершенное число.
Дружественные числа
Дружественные числа – это пара чисел, обладающих таким
свойством: сумма собственных делителей (не считая самого числа)
первого из них равна второму числу, а сумма собственных
делителей второго числа равна первому числу.
Они открыты древнегреческими учеными - последователями
Пифагора. Недаром знаменитый греческий математик Пифагор
сказал: «Друг – это второе я!» – и при этом сослался на числа 220 и
284. Они замечательны тем, что каждое из них равно сумме
младших делителей другого числа. Какие делители у числа 284?
1, 2, 4, 71, 142.
А у числа 220 делители:
1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110.
Попробуем сложить делители каждого числа:
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220,
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284.
Вот почему эти числа называются дружественными.
Пифагорейцы знали только одну пару дружественных чисел: 220 и
284. Вторая дружественная пара (1184 и 1210) была найдена в 1867
году шестнадцатилетним итальянцем Б. Паганини. Пары
дружественных чисел образуют последовательность: 220, 284,
1184, 1210, 2620, 2924, 5020, 5564, 6232, 6368, …
Две стихии господствуют в математике - числа и фигуры
с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. Само
возникновение понятия числа - одно из гениальнейших
проявлений человеческого разума. Действительно, числа не
только что-то измеряют. Числа сравнивают и вычисляют,
рисуют и проектируют, сочиняют и играют, делают
умозаключения и выводы
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: