Арифметическая прогрессия в ОГЭ

Арифметическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа d:

Фиксированное число d называется разностью арифметической прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

Сумма первых n членов арифметической прогрессии 

вычисляется по формуле:

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее  арифметическое соседних: 

а) Если в первый месяц у Василия 2 ученика и каждый месяц число учеников увеличивается на 1, то сколько заработает Василий за 12-й месяц работы?

В первый месяц у Василия два ученика. Во второй – три ученика, в третий – четыре, в каждый следующий – на одного ученика больше. Число учеников Василия образует арифметическую прогрессию, где  – первый член прогрессии, d = 1 – разность прогрессии.

1. Студент Василий задумал стать репетитором. Он рассчитал, что будет проводить ровно 4 занятия в месяц с каждым учеником и стоимость каждого занятия составит 1000 рублей.

а) Если в первый месяц у Василия 2 ученика и каждый месяц число учеников увеличивается на 1, то сколько заработает Василий за 12-й месяц работы?

б) Сколько всего заработает Василий за год (то есть за 12 месяцев работы)?

В первый месяц у Василия два ученика. Во второй – три ученика, в третий – четыре, в каждый следующий – на одного ученика больше. Число учеников Василия образует арифметическую прогрессию, где  – первый член прогрессии, d = 1 – разность прогрессии.

2. Проработав год репетитором, студент Василий обнаружил, что вместе с количеством учеников растут и его расходы на транспорт. В первый месяц Василий потратил на поездки к ученикам 800 рублей и каждый следующий месяц эта сумма увеличивалась на 300 рублей

Сколько денег потратил Василий на поездки к ученикам за весь год?

3. Ученица Маша хочет сдать тест не менее чем на 88 баллов. Студент Василий заметил, что каждый месяц результат Маши увеличивается на 7 баллов. За сколько месяцев занятий Маша достигнет результата, если ее результат до начала занятий составлял 43 балла?

После первого месяца занятий результат Маши улучшается на 7 баллов и составляет 43 + 7 = 50 баллов. Еще через месяц 50 + 7 = 57 баллов.

Задачи ОГЭ на тему «Арифметическая прогрессия»

4. (Задача ОГЭ)

В первом ряду кинозала 30 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

1) 28 + 2n   2) 30 + 2n   3) 32+2n   4) 2n

Количество мест в рядах кинозала образуют арифметическую прогрессию. По формуле для нахождения n-го члена арифметической прогрессии:

В нашей прогрессии 

5. (Задача ОГЭ) Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −87 ; −76; −65; … Найдите первый положительный член этой прогрессии.

Найдем разность прогрессии: 

По формуле для нахождения n-го члена арифметической прогрессии:

Мы хотим найти первый положительный член этой прогрессии.

Это значит, что мы находим номер n, начиная с которого выполняется неравенство .

Васе надо решить 140 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 8 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 7 дней.

Теперь разбираемся, что из этих обозначений нам известно. Мы знаем, что нужно решить 140 задач, это и есть сумма за весь период, то есть S = 140.

Известно, что за первый день решено 8 задач, значит a1=8. Со всеми задачами школьник справился за 7 дней, значит n=7.