Урок математики "Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия" 9 класс

Урок математики в 9-м классе по теме "Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия"
Задания:
№1. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если её первый член равен
6 (1-й вариант), -20 (2-й вариант), а пятый член -6 (1-й вариант), 20 (2-й вариант).
№2. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если её первый член равен
-20(1-й вариант), 6 (2-й вариант), а разность равна 10(1-й вариант), -3(2-й вариант).
№3. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если её первый член равен
1(1-й вариант), -1 (2-й вариант), а знаменатель равен -2(1-й вариант), 2(2-й вариант).
Решения:
2. Изучение новой темы.
1) Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого
равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом
следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего.
В результате, мы получили последовательность сторон квадратов образующих
геометрическую прогрессию со знаменателем .
И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона
квадрата. Например,
Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.
С помощью этого рисунка можно рассмотреть и ещё одну последовательность. Например,
последовательность площадей квадратов:
. И, опять, если n неограниченно возрастает, то площадь, как угодно
близко приближается к нулю.
2) Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см.
Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по
теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона
3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон
треугольников.
Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.
То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.
Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1
по модулю.
Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её
знаменателя меньше 1.
Фронтальная работа.
Записать определение: геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если
модуль её знаменателя меньше единицы.
Задача №1.
Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она
заданна формулой:
а)
Решение:
а) (фронтальная работа, запись на доске)
данная геометрическая прогрессия является бесконечно
убывающей.
б) (самостоятельно)
данная последовательность
не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
3) Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё
пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно
убывающую геометрическую прогрессию:
Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го
квадрата и равна 1.
Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.
Рассмотрим сумму n первых слагаемых.
По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она
равна .
Если n неограниченно возрастает, то
4) Записать определение. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют
число, к которому стремится сумма её первых n членов при n → . Теперь получим формулу, с
помощью которой будем вычислять сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Рассмотрим формулу n первых членов геометрической прогрессии.
Тренировочные упражнения.
Задача №2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом
3,вторым 0,3.
Решение:
Задача №3. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Решение:
Задача №4. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если
Решение:
Пользуясь формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, можно
записывать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби.
Задача №4. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(5) в виде обыкновенной
дроби.
1-й способ. Пусть х=0,(5)= 0,555… /•10 2-й способ. 0,(5)=0,555…=