Материал к ЕГЭ "Трапеция"

Равнобедренная трапеция

A

B

C

D

H

М

Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 30. Боковые стороны равны 20. Найдите синус острого угла трапеции.

Ответ: 0,8.

№ 45117

A

B

C

D

6

30

20

H

Решение.

Основания равнобедренной трапеции равны 24 и 28. Косинус острого угла трапеции равен 0,2. Найдите боковую сторону.

Решение.

АН = (АВ – CD) : 2

AH = (28 – 24) : 2 = 2

∆AHD – п/у,

соs A = АH/AD

1/5 = 2/AD

AD = 10.

Ответ: 10.

№ 45711

A

B

C

D

24

28

H

Ответ: 42.

№ 45787

Большее основание равнобедренной трапеции равно 56. Боковая сторона равна 9. Синус острого угла равен 4√2/9. Найдите меньшее основание.

A

B

C

D

9

56

H

Решение.

Ответ: 3,5.

Основания равнобедренной трапеции равны 62 и 49. Тангенс острого угла равен 7/13. Найдите высоту трапеции.

A

B

C

D

49

62

H

№ 45839

Решение.

Ответ: 83.

Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 23. Высота трапеции равна 27. Тангенс острого угла равен 0,9. Найдите большее основание.

A

B

C

D

23

27

H

№ 45895

Решение.

Ответ: 0,6.

Основания равнобедренной трапеции равны 47 и 9. Высота трапеции равна 11,4. Найдите тангенс острого угла.

Решение.

№ 45945

A

B

C

D

9

47

H

11,4

Ответ: 20.

Основания равнобедренной трапеции равны 2 и 8, а ее периметр равен 20. Найдите площадь трапеции.

A

B

C

D

2

8

H

Решение.

№ 57155

Ответ: 70.

Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 2 и 12, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45°.

Решение.

A

B

C

D

2

12

H

45°

№ 57205

Ответ: 30.

Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите периметр трапеции.

A

B

C

D

7

13

H

Решение.

№ 61353

Ответ: 45.

Основания прямоугольной трапеции равны 9 и 13. Ее площадь равна 44. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение.

A

B

C

D

9

13

H

№ 57255

Ответ: 13.

Основания равнобедренной трапеции равны 3 и 13, а ее площадь равна 96. Найдите боковую сторону трапеции.

A

B

C

D

3

13

H

Решение.

№ 57305

Ответ: 30.

Основания трапеции равны 13 и 25, боковая сторона равна 12. Площадь трапеции равна 114. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ дайте в градусах.

Решение.

№ 57355

A

B

C

D

13

25

H

12

Ответ: 68.

Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 20, а ее боковые стороны равны 5. Найдите площадь трапеции.

Решение.

№ 61404

A

B

C

D

14

20

H

5

Ответ: 64.

Основания трапеции равны 13 и 19, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол 150°. Найдите площадь трапеции.

Решение.

№ 61453

A

B

C

D

13

19

H

8

150°

Ответ: 13,5.

Основания трапеции равны 22 и 27. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Решение.

№ 508408

A

B

C

D

22

27

H

E

F

Ответ: 35.

В равнобедренной трапеции большее основание равно 46, боковая сторона равна 11, угол между ними 60°. Найдите меньшее основание.

Решение.

№ 50381

A

B

C

D

46

H

11

60°

Ответ: 114.

В равнобедренной трапеции основания равны 27 и 47, острый угол равен 60°. Найдите ее периметр.

Решение.

№ 50431

A

B

C

D

47

H

27

60°

Ответ: 129.

Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 32, отсекает треугольник, периметр которого равен 65. Найдите периметр трапеции.

Решение.

№ 50481

A

B

C

D

Е

32

Ответ: 36.

Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 36 и 22. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Решение.

№ 50531

A

B

C

D

36

E

22

M

N

H

Ответ: 36.

Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 36 и 22. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Решение.

№ 50531

A

B

C

D

36

E

22

M

N

Ответ: 15.

Основания равнобедренной трапеции равны 69 и 39, один из углов равен 45°. Найдите высоту трапеции.

Решение.

№ 50581

A

B

C

D

69

H

39

45°

Ответ: 5,5.

Основания трапеции равны 7 и 18. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Решение.

№ 50879

A

B

C

D

Е

7

18

F

M

N

Ответ: 49.

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 49. Найдите ее среднюю линию.

Решение.

Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота EF равна полусумме длин оснований:

FO = DF, OE = AE

FE = FO + OE = DF + AE

FE = ½ AB + ½ CD

FE = ½ (AB + CD) – формула для вычисления средней линии трапеции

№ 50929

A

B

C

D

49

E

F

45°

O

Ответ: 22.

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 66, средняя линия равна 11. Найдите боковую сторону трапеции.

Решение.

1. Если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная:

AD = BC.

2. Средняя линия трапеции равна полусумме длин оснований, поэтому

AB + CD = 2FE

Р = АВ + СD + AD + BC

P = 2FE + 2AD

AD = (P – 2FE) : 2

AD = (66 – 2 · 11) : 2 = 22.

№ 53897

A

B

C

D

11

F

E

Ответ: 40.

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 80. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Решение.

Вписанный угол ВАD = 60° опирается на дугу DCB. По свойству вписанных углов дуга

DCB = 120°, а дуга DC равна ее половине, т.е. 60°.

Три равные хорды AD, DC, CB стягивают равные дуги.

Все эти дуги равны 60°.

Значит, дуга AСB = 180° 

АВ – диаметр данной окружности, тогда радиус равен 80 : 2 = 40.

№ 53947

A

B

C

D

80

60°

Ответ: 17.

Основания равнобедренной трапеции равны 24 и 10. Радиус описанной окружности равен 13. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции.

Решение.

ЕН – высота трапеции, проходящая через центр окружности.

Проведем радиусы ОС и ОВ, рассмотрим ∆ЕОС и ∆ОВН – п/у

Тогда по т. Пифагора найдем

ОЕ2 = ОС2 – ЕС2 = 132 – 52 = 122

ОЕ = 12;

ОН2 = ОВ2 – НВ2 = 132 – 122 = 52

ОН = 5;

ЕН = ОЕ + ОН = 12 + 5 = 17.

№ 53963

A

B

C

D

5

12

13

13

Н

Е

О

Ответ: 16.

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 28 и 4. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, если суммы его противоположных сторон равны, т.е.

AB + CD = AD + BC = 28 + 4 = 32.

Средняя линия трапеции равна

½ (AB + CD) = ½ · 32 = 16.

№ 54371

A

B

C

D

4

28

Ответ: 22.

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 88. Найдите длину её средней линии.

Решение.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, если суммы его противоположных сторон равны, т.е.

AB + CD = AD + BC = ½ Р

AB + CD = ½ · 88 = 44.

Средняя линия трапеции равна

½ (AB + CD) = ½ · 44 = 22.

№ 54421

A

B

C

D

Ответ: 6,5.

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, ее большая боковая сторона равна 37. Найдите радиус окружности.

Решение.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, если суммы его противоположных сторон равны, т.е.

AB + CD = AD + BC = ½ Р

AD + 37 = ½ · 100 = 50.

AD = 50 – 37 = 13

R = AD : 2 = 6,5.

№ 54449

A

B

C

D

37

Ответ: 5.

№ 77152

Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону.

A

B

C

D

6

12

H

Решение.

• http://mathege.ru/or/ege/Main − Материалы открытого банка заданий по математике 2016 года