Производная в заданиях ЕГЭ

Скачать материал

Подписи к слайдам:

Начать

Оглавление

Физический смысл производной
Геометрический смысл производной
Применение производной к исследованию функции

Физический смысл производной

Пример 1:

Если точка движется вдоль оси и ее координаты изменяются по закону x(t), то мгновенная скорость точки:

а ускорение:

Пример 2:

Пример 3:

Проверь себя!!!

Вернуться к оглавлению

Пример 1. Физический смысл производной

Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x(t) — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=9.

Решение:

Скорость движения материальной точки есть производная расстояния в момент времени.

Ответ: 60.

К следующему примеру

Пример 2: Физический смысл производной

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Решение.

Найдем закон изменения скорости:

Чтобы найти, в какой момент времени скорость была равна 3 м/с, решим уравнение:

Ответ: 8.

К следующему примеру

Пример 3: Физический смысл производной

Материальная точка M начинает движение из точки A и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки A до точки M со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат — расстояние s.

Определите, сколько раз за время движения скорость точки M обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).

Решение.Мгновенная скорость равна производной перемещения по времени. Значение производной равно нулю в точках экстремума функции s(t). Точек экстремума на графике 6.

Ответ: 6

Проверь себя!

Геометрический смысл производной

Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту k касательной к графику функции y=f(x) в этой точке

f’(x) = ?

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Проверь себя!!!

Вернуться к оглавлению

f’(x) = tg x > 0

Если k = f’(x0)=tg α>0, то касательная к графику функции в точке касания x0 возрастает Если k = f’(x0)=tg α<0, то касательная к графику функции в точке касания x0 убывает Если k = f’(x0)=tg α=0, то касательная к графику функции в точке касания x0 параллельна оси Ох В точке Е касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки Е функция возрастает — и после точки Е продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

f’(x) = tg x > 0

В точке F максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

Производная не существует

Пример 1

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

y = 6

Х 1

Х 2

Х 3

Х 4

Ответ: 4

К следующему примеру

Пример 2

Ответ: 5

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.

Решение:Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –2. Найдем количество точек, в которых это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = −2. На данном интервале таких точек 5.

y = −2

К следующему примеру

Пример 3

Ответ: 2

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (1; 2), B (1; -4), C(-2; −4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен тангенсу угла ACB:

К следующему примеру

Пример 4

Ответ: 1,25

Решение: Поскольку касательная проходит через начало координат, её уравнение имеет вид y = kx. Эта прямая проходит через точку (8; 10), поэтому 10 = 8 · k, откуда k = 1,25.

f’ (x) = k = 1,25

На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите f '(8).

Применение производной к исследованию функции

Экстремумы функции
Монотонность функции
Наибольшее и наименьшее значение функции

Вернуться к оглавлению

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 6

Пример 5

Пример 4

Проверь себя!!!

Экстремумы функции

Определение 1: Точки x0 называются точками экстремума функции, если они являются точками максимума и минимума для функции f(x).

Определение 2: Точка x0 называется критической точкой функции f(x), если:

x0 - внутренняя точка области определения;
2) f′(x0)=0 или не существует.

Достаточное условие экстремума

Пусть точка x0 является критической для функции y=f(x) и лежит в интервале (a,b). На каждом интервале (a,x0) и (x0,b) производная f′(x) существует и сохраняет постоянный знак.

Если на интервале (a,x0) f′(x)>0, а на интервале (x0,b) f’(x)<0, то точка х0 – точка максимума
Если на интервале (a,x0) f′(x)<0, а на интервале (x0,b) f’(x)>0, то точка x0 - точка минимума.
Если и на интервале (a,x0), и на интервале (x0,b) f′(x)>0 или f’(x)<0, то точка х0 – точка перегиба

Монотонность функции

Определение 1:

Функция y=f(x), определенная на промежутке X, называется возрастающей, если для любых точек x1<x2∈X f(x1)<f(x2).

Определение 2:

Функция y=f(x), определенная на промежутке X, называется убывающей, если для любых точек x1<x2∈X f(x1)>f(x2).

x1<x2 f(x1)<f(x2).

x1<x2 f(x1)>f(x2).

Наибольшее и наименьшее значение функции

Определение 1:

Функция y=f(x), определенная на промежутке X, достигает своего наибольшего значения, если существует точка x0∈X, такая, что для всех x∈X выполняется неравенство f(x)≤f(x0)

Определение 2:

Функция y=f(x), определенная на промежутке X, достигает своего наименьшего значения, если существует точка x0∈X, такая, что для всех x∈X выполняется неравенство f(x)≥f(x0)

Пример 1

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите промежутки возрастания функции В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение.

Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых ее производная неотрицательна, то есть промежуткам (−6; −5,2] и [2; 6). Данные промежутки содержат целые точки 2, 3, 4 и 5.

2+3+4+5 равна 14.

Ответ: 14.

Пример 2

2. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Решение.

Производная функции положительна на тех интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (−3; 0) и (4,2; 7).

В них содержатся целые точки −2, −1, 5 и 6, всего их 4.

Ответ: 4.

-2

-1

Пример 3

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Ответ: 44.

Решение.

Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44.

Решение.

Пример 4

На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-3; 2 ] функция f(x) принимает наибольшее значение?

Решение:

На отрезке [-3;2] производная функции отрицательна, поэтому функция на этом отрезке убывает. Поэтому наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке −3.

Ответ: −3.

Пример 5

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x) принимает наименьшее значение?

Решение: На заданном отрезке производная функции положительна, поэтому функция на этом отрезке возрастает. Поэтому наименьшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке

Ответ: −7.

Пример 6

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].

Решение. Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. Функция имеет две точки максимума 7 и 12. На отрезке [−6; 9] одна из них точка максимума x = 7.

Ответ: 1.

Проверь себя!

Производная в заданиях ЕГЭ

Подписи к слайдам:

Математика - еще материалы к урокам:

Предметы

Похожие материалы