Р Е Ш Е Н И Е
З А Д А Ч
П О Т Е О Р И И
В Е Р О Я Т Н О С Т Е Й
(задание №5 ЕГЭ)
Основные понятия теории вероятностей
Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.
Испытанием называют такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов.
Вероятность события А
Вероятность события А
если
n - число всех исходов некоторого испытания,
а
m - число благоприятствующих событию A исходов,
то вероятность события A равна
P(
A) =
№1.
№1.
Игральный кубик бросают один раз, какова вероятность того, что выпадет число 4.
Решение
У кубика 6 сторон, выпасть может любая из них, значит число всех исходов равно n = 6. Число 4 может выпасть только в одном случае, т.е. число благоприятствующих исходов равно m = 1.
Тогда при n = 6, m = 1,
вероятность равна
P(
A) = .
Ответ:
Пример №2.
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 - из Дании, 9 - из Швеции и 5 – из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.
Решение:
всего спортсменов 4+7+9+5 = 25 значит n = 25,
вероятность события A – «последний спортсмен из Швеции», а их всего 9, т.е. m = 9
Ответ: 0,36.
Пример №3.
Бросили две игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков.
Решение: число всех исходов равно
n = 36,
число благоприятных
исходов равно m = 4,
вероятность события А –
«в сумме выпадет 5 очков»
равна
Р(А)= .
Ответ :
Числа на выпавших сторонах
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
Вероятность события Р(А) события А и вероятность Р( ) противоположного ему события связаны соотношением:
Р(А) + Р( ) = 1
Пример №4.
Вероятность того, что шариковая ручка пишет плохо (или не пишет) равна 0,1. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что ручка пишет хорошо.
Решение:
событие А – «ручка пишет хорошо»,
событие противоположное ему Р( ) = 0,1
Р(А) + Р( ) = 1
Р(А) = 1 – Р( )
Р(А) = 1 – 0,1 = 0,9.
Ответ: 0,9.
Пример №5.
В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев оказалось 2512 мальчиков. Найдите, чему равна вероятность рождения девочек. Результат округлите до тысячных.
Решение:
5000 – 2512 = 2488 (ч.) – девочки.
Вероятность появления на свет девочки равна
Ответ: 0,498.
Сложение вероятностей
Сложение вероятностей
Суммой несовместных событий A и B называют событие A + B, состоящее в появлении
либо только события A,
либо только события B:
P(
A+
B) =
P(
A) +
P(
B)
Пример №6.
В ящике лежат 10 шаров: 4 красных, 1 синий и 5 черных. Наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что шар красный или синий.
Решение :
событие A – «вынут красный шар»
P(
A) =
= 0,4
событие B – «вынут синий шар»
P(
B) = = 0,1
Тогда вероятность того, что
«вынутый шар красный или синий» равна
P(
A+
B) =
0,4 +
0,1 = 0,5.
Ответ: 0,5.
Произведение вероятностей
Произведением событий A и B называется событие
A B, состоящее в появлении
и события A и события B
P(
AB) =
P(
A)
P(
B)
Пример №7.
Дважды бросается игральный кубик. Какова вероятность того что оба раза выпадет число 5.
Решение:
пусть событие A – «1-й раз выпадет 5» и событие B – «2-й раз выпадет 5». Вероятности этих событий
P(
A) =
P(
B) =
Тогда вероятность Р(АВ) того, что «оба раза выпадет число 5» :
P(
AB) = .
Ответ: .
Пример №8.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Каждый из них может быть не исправен с вероятностью 0,12 независимо друг от друга. Найти вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Решение:
событие А – «1-й автомат не исправен» и событие В – «2-й автомат на исправен» имеют вероятности
Р(А) = Р(В) = 0,12. Тогда Р(АВ) – «оба автомата не исправны» Р(АВ) = Р(А) Р(В) = 0,12 0,12 = 0,0144.
Вероятность события - «хотя бы один автомат исправен», т.е. Р( ) = 1 – 0,0144 = 0,9856.
Ответ: 0,9856.
Вероятность суммы двух независимых событий
равна разности суммы вероятностей этих событий и произведения вероятностей этих событий:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)Р(В)
Пример №9.
В магазине два платежных автомата. Вероятность того, что в автомате к концу дня закончатся деньги, равна 0,02 независимо от другого автомата. Вероятность того, что деньги закончатся в обеих автоматах, равна 0,015. Найти вероятность того, что к концу дня деньги останутся в обеих автоматах.
Решение: А – «деньги закончились в 1- м автомате», В – «деньги закончились во 2- м автомате» Р (А) = Р(В) = 0,02.
«Деньги закончились в обеих автоматах» Р(А∙В) = 0,015. «Деньги закончатся хотя бы в одном автомате»:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(А∙В)
Р(А+В) = 0,02 + 0,02 – 0,015 = 0,025.
Вероятность «Деньги останутся в обеих автоматах» равна
Р( ) = 1 – 0,025 = 0,975.
Ответ: 0,975.
Выполните задания
самостоятельно!!!