Ученики на Учителя.com


Подготовка к ГИА "Треугольник"

1
Треугольник
Учитель математики МБОУ лицей г.Владикавказ
Сатцаева Нонна Ефимовна
Как показывают результаты ОГЭ и ЕГЭ, за решение геометрических задач берётся низкий
процент выпускников, что свидетельствует о трудности восприятия условия таких задач и
выполнения чертежей к ним.
Между тем развитое пространственное представление и воображение необходимо не только
специалистам, непосредственно связанным с геометрией, но и любому рядовому гражданину:
окружающий нас мир структурно является геометрическим.
Обучаясь правильно изображать пространственные фигуры, ученик знакомится с законами
восприятия окружающих его предметов, приобретает необходимые практические навыки,
формирует свои пространственные представления.
Решение пространственных задач по геометрии, как правило, требует выполнения чертежа, и
от того, насколько правильно он сделан, во многом зависит успешность получения результата.
В современных условиях в рамках подготовки учащихся к выпускным экзаменам за курсы
основной и средней школы предлагается много различных пособий.
В плане системной подготовки по геометрии к экзамену (ОГЭ, ЕГЭ) особо продуктивно
будет повторение вопросов теории на одной задаче, в которой предусмотрено нахождение всех
возможных элементов, а, следовательно, повторение всех необходимых формул, приёмов
решения.
Этапы решение геометрических задач.
1) Чтение условия задачи.
2) Выполнение чертежа с буквенными обозначениями.
3) Краткая запись условия задачи (формирование базы данных).
4) Перенос данных условия на чертёж; выделение элементов чертежа различными цветами.
5) Запись требуемых формул и теорем на черновике (формирование базы знаний).
6) «Деталировка» – вычерчивание отдельных деталей на дополнительных чертежах.
7) Анализ данных задачи, привязка искомых величин элементам чертежа.
8) «Синтез» – составление «цепочки» действий (алгоритма решения).
9) Реализация алгоритма решения.
10) Проверка правильности решения.
11) Запись ответа.
2
Одна из основных фигур геометрии – это треугольник. Решение даже самых сложных
математических задач обычно сводится к решению нескольких простых, где хотя бы одна из
полученных новых задач будет задачей на треугольники.
Чтобы успешно решать задачи на треугольники необходимо усвоить несколько основных
правил.
Во-первых, необходимо усвоить основные теоремы. Не зная признаков равенства и подобия
треугольников невозможно научиться решать геометрические задачи.
Во-вторых, приступая к решению очередной задачи, делайте чертеж, чтобы представить
ситуацию зрительно. Подписывайте на нем известные длины сторон, величины углов.
В-третьих, выучите некоторые полезные теоремы и следствия из них. К таким теоремам
относятся:
теорема синусов, в которой говорится, что длины сторон любого треугольника
пропорциональны синусам противолежащих углов;
теорема косинусов, о том, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов
двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между
ними.
В-четвертых, не забывайте о четырех замечательных точках и линиях треугольника и их
свойствах. Так, три медианы пересекаются в одной точке. Точка пересечения делит каждую
медиану в отношении 2 к 1, считая от вершины. Биссектрисы углов треугольника пересекаются
в одной точке – центре вписанной в данный треугольник окружности.
В-пятых, не забывайте о соотношениях между элементами в прямоугольном треугольнике, а
так же о теореме Пифагора. Именно она ваш главный помощник в решении геометрических
задач.
Давайте вспомним все, что изучают в школьном курсе геометрии о треугольнике.
Определение: треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех , не
лежащих на одной прямой, и трех отрезков, последовательно соединяющих эти точки.
Точки А, В, С – вершины ∆ АВС
Отрезки АВ,ВС и АВ – стороны ∆АВС
∠А, ∠В и ∠С – углы.
Рис. 1
Стороны треугольника часто обозначают малыми латинскими буквами:
АВ = с, ВС = а, АС = b.
P = a+b+c – периметр треугольника.
3
Неравенство треугольника
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон:
a < b+c, b < a+c, c< a+b.
Треугольник, у которого все углы острые, называется остроугольным (рис.1).
Треугольник, у которого угол прямой, называется прямоугольным
(рис.2).
Стороны, образующие прямой угол, называются катетами (a и b), а
сторона ,лежащая против прямого угла, - гипотенузой (с).
Рис.2
Некоторые свойства прямоугольного треугольника
1) Сумма острых углов равна 90°.
4
∠А+∠В = 90° (рис.3)
2) Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
a
=
1
c
2
3) Если катет равен половине гипотенузы, то угол,
лежащий против этого катета равен половине гипотенузы
Треугольник с тупым углом называется тупоугольным (рис.3)
Рис.3
Определение вида треугольника по его сторонам
Пусть с наибольшая сторона, тогда:
а) если с
2
< a
2
+b
2
, то треугольник остроугольный;
б) если с
2
>a
2
+b
2
, то треугольник тупоугольный;
в) если с
2
= a
2
+b
2
, то треугольник прямоугольный.
Треугольник, у которого две стороны равны, называется
равнобедренным (рис.4).
Равные стороны называются боковыми, а третья сторона - основанием
равнобедренного треугольника.
5
Рис.4
Треугольник, у которого все стороны равны, называется
равносторонним (рис.5).
Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.
Рис. 5
Свойства равнобедренного треугольника:
1. Углы при основании равны.
2. Биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно медианой и высотой.
3. Высота, проведенная к основанию, является одновременно медианой и биссектрисой.
4. Медиана, проведенная к основанию, является одновременно высотой и биссектрисой.
Внешним углом треугольника, называется угол смежный с
каким-нибудь углом этого треугольника (рис.6).
∠CBD – внешний угол треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов
треугольника, не смежных с ним: ∠CBD = ∠A+∠B.
Рис.6
Отрезок, соединяющий середины двух сторон, называется
средней линией треугольника (рис.7).
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и
равна ее половине: DE||AB, DE = ½AB.
Рис.7
Признаки равенства треугольников
1 признак (по двум сторонам и углу между ними)
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум
сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
6
Если AB=A
1
B
1
, AC=A
1
C
1
, ∠A=∠A
1
, то
∆
АВС
=∆
А
1
В
1
С
1
.
2 признак (по стороне и прилежащим к ней углам)
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны
стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники
равны.
Если AB=A
1
B
1,
∠A=∠A
1
, ∠B=∠B
1
, то
∆
АВС
=∆
А
1
В
1
С
1
.
3 признак ( по трем сторонам)
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам тругого
треугольника, то такие треугольники равны.
Если AB=A
1
B
1
, ВС=В
1
С
1
, AC=A
1
C
1
, , то
∆
АВС
=∆
А
1
В
1
С
1
.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
1. Если катеты одного треугольника соответственно равны катетам другого, то
такие треугольники равны.
Если BС=В
1
С
1
, AC=A
1
C
1
, то
∆
АВС
=∆
А
1
В
1
С
1
.
2) Если катет и прилежащий к нему острый угол одного треугольника
соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого, то такие
треугольники равны.
Если AC=A
1
C
1
, ∠A=∠A
1
, то
∆
АВС
=∆
А
1
В
1
С
1
.
7
3) Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны
гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
Если AВ=A
1
В
1
, ∠A=∠A
1
, то
8
∆
АВС
=∆
А
1
В
1
С
1
.
4) Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны
гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
Если AB=A
1
B
1
, AC=A
1
C
1
, , то
∆
АВС
=∆
А
1
В
1
С
1
.
Подобные треугольники
Определение: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно
равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
АВ и А
1
В
1,
АС и А
1
С
1,
ВС и В
1
С
1
- сходственные
стороны.
Из подобия треугольников следует:
AB
=
BC
=
AC
=
k ,
∠
А=
∠
А
1
,
∠
В=
∠
В
1
,
∠
С=
∠
С
1
,
A
1
B
!
B
1
C
1
A
1
C
1
где k- коэффициент подобия.
Обозначение: ∆АВС~∆А
1
В
1
С
1.
Если два треугольника подобны, то отношение их площадей равно k
2
т.е
2
Δ ABC ΔA
1
BC
1
Признаки подобия треугольников.
1 признак: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого,
то такие треугольники подобны.
Если ∠А=∠А
1
, ∠В=∠В
1
, то ∆АВС~∆А
1
В
1
С
1
.
9
2 признак: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам
другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами равны, то такие
треугольники подобны.
Если
∠
А=
∠
А
1
,
и
∆АВС~∆А
1
В
1
С
1
.
AB
A
1
B
!
=
AC
,
A
1
C
1
то
3 признак: если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам
другого треугольника, то такие треугольники подобны.
AB
=
BC
=
AC
,
Если
A
1
B
!
B
1
C
1
A
1
C
1
то ∆АВС~∆А
1
В
1
С
1
.
Четыре замечательные точки треугольника
С каждым треугольником связаны 4 точки:
1) точка пересечения медиан;
2) точка пересечение биссектрис,
3) точка пересечения высот (или их продолжений);
4) точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
Эти четыре точки называются замечательными токами треугольника.
Высотой треугольника называется длина перпендикуляра, опущенного из любой его
вершины на противоположную сторону или на ее продолжение.
В тупоугольном треугольнике две высоты падают на продолжение сторон и лежат вне
треугольника, а третья внутри.
Н
10
В остроугольном треугольнике все три высоты лежат внутри треугольника.
В прямоугольном треугольнике катеты одновременно служат и
высотами.
Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром.
В тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит вне треугольника.
В прямоугольном треугольнике он совпадает с вершиной прямого угла
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с
серединой противоположной стороны.
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром
тяжести треугольника.
Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от
соответствующей вершины.
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром
вписанного круга.
Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведенные
через их середины пересекаются в одной точке, которая является
центром описанной окружности.
11
1
В тупоугольном треугольнике эта точка лежит вне треугольника, в остроугольном –
внутри, в прямоугольном – на середине гипотенузы.
Ортоцентр, центр тяжести, центр вписанной и описанной окружностей совпадают друг с
другом только в равностороннем треугольнике.
Произвольный треугольник.
1) Свойство биссектрисы внутри угла треугольника:
a
a
1
=
b
b
1
.
2) Длина биссектрисы:
l
c
=
√
ab
−
a
1
b
1
;
l
=
√
ab
(
a
+
b
+
c
)(
a
+
b
−
c
)
c
m
=
1
√
2
(
a
2
+
b
2
)
−
c
2
a +b
.
3) Длина медианы:
c
2
.
h
=
2
√
p
(
p
−
a
)(
p
−
b
)(
p
−
c
)
,
4) Длина высоты:
c
c
где
a,b , c
- стороны треугольника,
p=
2
( a+b +c )
- полупериметр,
h
c
- высота, проведенная к стороне
c
.
5) Зависимость между сторонами и высотами:
h : h : h =
1
:
1
:
1
a b c
a b c
.
6) Зависимость между высотами и радиусом вписанной окружности:
1
+
1
+
1
=
1
h
a
h
b
h
c
r
.
Теорема Чевы
Для того чтобы прямые
BE , AD
и
CF
пересекались в одной точке, необходимо и
BD
=
CE
=
AF
=
1
достаточно, чтобы выполнялось равенство
DC EA FB
12
одной прямой, то
Теорема Менелая
Если на сторонах ВС, АВ и продолжении стороны АС
∆АВС за точку С отмечены соответственно точки А
1
, С
1
и
В
1
, лежащие на
AC
1
=
C
1
B
BA
1
A
1
C
CB
1
= =1
B
1
A
.
Теорема синусов
В любом треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов:
a
=
b
=
c
=
2 R
sin α
sin β
sin γ
, где R – радиус окружности, описанной около треугольника.
Теорема косинусов
Квадрат одной стороны произвольного треугольника равен сумме квадратов двух других
его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
a
2
=b
2
+c
2
−2 bc cos α
,
b
2
=
a
2
+
c
2
−
2 ac cos β
,
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2 ab cos γ
.
Площадь треугольника
S
=
1
ah ;
1)
2
a
13
S
S=
1
ab sin γ
2)
2
;
S
p
=
a
+
b
+
c
3)
=
√
p
(
p
−
a
)(
p
−
b
)(
p
−
c
)
, где
p
=
a
+
b
+
c
2
- формула Герона;
4)
S= pr
, где
S
=
abc
2
, r- радиус вписанной в треугольник окружности;
5)
4 R
, где R – радиус, описанной около треугольника окружности;
a
2
√
3
6)
=
4
- площадь равностороннего треугольника.
Равносторонний (правильный) треугольник
Задача.
Дано: ∆АВС
АВ=с=13см
ВС=а=14см
АС=b =15см
Найти:
1)
S
Δ ABC
;
2)
h
b
−
высоту BD ;
3)
r - радиус вписанной окружности;
4)
величину наибольшего внутреннего угла ∆АВС;
5)R- радиус описанной окружности ;
6) m
b
– длину медианы ВF;
7) L
b
- длину биссектрисы BE угла В (точка Е лежит на отрезке АС);
8) расстояние между точкой пересечения медиан G и центром описанной окружности О
о
;
9) расстояние между центрами вписанной О
в
и описанной окружностей О
о
.
Решение:
14
S
1) Вычисление площади треугольника.
База знаний. Выпишем формулы для вычисления площади треугольника:
S
=
1
ah ;
1)
2
a
S=
1
ab sin γ
2)
2
;
S
p
=
a
+
b
+
c
3)
=
√
p
(
p
−
a
)(
p
−
b
)(
p
−
c
)
, где
p
=
a
+
b
+
c
2
- формула Герона;
4)
S= pr
, где
S
=
abc
2
, r- радиус вписанной в треугольник окружности;
5)
4 R
, где R – радиус, описанной около треугольника окружности;
a
2
√
3
6)
=
4
- площадь равностороннего треугольника.
Так как по условию задачи даны только длины сторон треугольника, удобнее всего
находить площадь треугольника по формуле Герона.
Вычислим сначала полупериметр треугольника:
p
=
a
+
b
+
c
=
13
+
14
+
15
=
21
(
см
)
2 2
, тогда по формуле Герона
S
=
√
p
(
p
−
a
)(
p
−
b
)(
p
−
c
)
=
√
21
(
21
−
13
)(
21
−
14
)(
21
−
15
)
=
√
21
⋅
8
⋅
7
⋅
6
=
84
(
см
2
)
2) Вычисление высоты треугольника.
Используем формулу
S
=
1
bh ;
2
b
Так как известны площадь ∆АВС и длина стороны
АС, то можем найти высоту BD=h
b
h =
2 S
=
2⋅84
=11 ,2( cм )
b
b 15
.
3) Вычисление радиуса вписанной окружности
15
Для вычисления радиуса вписанной окружности r воспользуемся формулой вычисления
p
=
a
+
b
+
c
площади треугольника
S= pr
, где
2
,
r
=
S
=
84
=
4
(
см
)
p 21
4) Вычисление наибольшего угла треугольника.
Мы знаем, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол. В нашем
∠В. Его можно найти
случае, наибольшая сторона АС, значит, наибольший угол
используя формулу для вычисления площади треугольника
S
=
1
aс sin В
sin B
=
2 S
=
2
⋅
84
=
12
В
=
arcsin
2
. Отсюда
ac 13⋅14 13 13
,
5) Вычисление радиуса описанной окружности.
Вычислить радиус описанной окружности около треугольника можно использую теорему синусов
a
=
b
=
c
=
2 R
sin α
S
=
abc
sin β
sin γ
или формулу для вычисления площади треугольника
4 R
, где R – радиус, описанной около треугольника окружности.
R=
b
=
15⋅13
=
65
( см )
По теореме синусов имеем:
2 sin B
2⋅12
8
, используя формулу площади
R=
a⋅b⋅c 13⋅14⋅15 65
треугольника:
4 S
=
4⋅84
=
8
( см)
6) Вычисление длины медианы треугольника.
Построим медиану BF и вычислим ее длину mb .
m
=
1
√
2
(
a
2
+
c
2
)
−
b
2
=
1
√
2
(
14
2
+
13
2
)
−
15
2
=
√
505
b
2 2 2
.
12
16
2
6
7) Вычисление длины биссектрисы треугольника.
Построим биссектрису BE =Lb.
l
=
√
ab
(
a
+
b
+
c
)(
a
+
b
−
c
)
=
√
13
⋅
14
(
13
+
14
+
15
)(
13
+
14
−
15
)
=
√
13
⋅
14
⋅
42
⋅
12
=
28
√
13
(
см
)
c
a
+
b
13
+
14
27 9
8) Вычисление расстояния между точкой пересечения медиан G и центром
описанной окружности О
о
.
Обозначим G – точку пересечения медиан треугольника АВС, О
о
- центр описанной
окружности.
GO
2
a
2
+
b
2
+
c
2
65
2
13
2
+
14
2
+
15
2
4225
169
+
196
+
225
4225
590
=R −
o
9
=
(
8
)
−
9
=
64
−
9
=
4
−
9
=
¿
4225⋅9−590⋅64
=
38025−37760
=
265
,
64⋅9
GO
=
√
265
24
.
64⋅9 64⋅9
9) Вычисление расстояния между центрами вписанной О
в
и описанной окружностей О
о
.
Мы знаем, что центр вписанной окружности О
в
- это точка пересечения биссектрис, а
центр описанной окружности О
о
– точка пересечения серединных перпендикуляров.
О
в
О
о
2
=
R
2
−
2
Rr
,
где R – радиус описанной окружности
r – радиус вписанной окружности
17
О
в
О
о
=
√
65
8
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: