Подготовка к ГИА "Треугольник"

1
Треугольник
Учитель математики МБОУ лицей г.Владикавказ
Сатцаева Нонна Ефимовна
Как показывают результаты ОГЭ и ЕГЭ, за решение геометрических задач берётся низкий
процент выпускников, что свидетельствует о трудности восприятия условия таких задач и
выполнения чертежей к ним.
Между тем развитое пространственное представление и воображение необходимо не только
специалистам, непосредственно связанным с геометрией, но и любому рядовому гражданину:
окружающий нас мир структурно является геометрическим.
Обучаясь правильно изображать пространственные фигуры, ученик знакомится с законами
восприятия окружающих его предметов, приобретает необходимые практические навыки,
формирует свои пространственные представления.
Решение пространственных задач по геометрии, как правило, требует выполнения чертежа, и
от того, насколько правильно он сделан, во многом зависит успешность получения результата.
В современных условиях в рамках подготовки учащихся к выпускным экзаменам за курсы
основной и средней школы предлагается много различных пособий.
В плане системной подготовки по геометрии к экзамену (ОГЭ, ЕГЭ) особо продуктивно
будет повторение вопросов теории на одной задаче, в которой предусмотрено нахождение всех
возможных элементов, а, следовательно, повторение всех необходимых формул, приёмов
решения.
Этапы решение геометрических задач.
1) Чтение условия задачи.
2) Выполнение чертежа с буквенными обозначениями.
3) Краткая запись условия задачи (формирование базы данных).
4) Перенос данных условия на чертёж; выделение элементов чертежа различными цветами.
5) Запись требуемых формул и теорем на черновике (формирование базы знаний).
6) «Деталировка» вычерчивание отдельных деталей на дополнительных чертежах.
7) Анализ данных задачи, привязка искомых величин элементам чертежа.
8) «Синтез» составление «цепочки» действий (алгоритма решения).
9) Реализация алгоритма решения.
10) Проверка правильности решения.
11) Запись ответа.
2
Одна из основных фигур геометрии это треугольник. Решение даже самых сложных
математических задач обычно сводится к решению нескольких простых, где хотя бы одна из
полученных новых задач будет задачей на треугольники.
Чтобы успешно решать задачи на треугольники необходимо усвоить несколько основных
правил.
Во-первых, необходимо усвоить основные теоремы. Не зная признаков равенства и подобия
треугольников невозможно научиться решать геометрические задачи.
Во-вторых, приступая к решению очередной задачи, делайте чертеж, чтобы представить
ситуацию зрительно. Подписывайте на нем известные длины сторон, величины углов.
В-третьих, выучите некоторые полезные теоремы и следствия из них. К таким теоремам
относятся:
теорема синусов, в которой говорится, что длины сторон любого треугольника
пропорциональны синусам противолежащих углов;
теорема косинусов, о том, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов
двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между
ними.
В-четвертых, не забывайте о четырех замечательных точках и линиях треугольника и их
свойствах. Так, три медианы пересекаются в одной точке. Точка пересечения делит каждую
медиану в отношении 2 к 1, считая от вершины. Биссектрисы углов треугольника пересекаются
в одной точке – центре вписанной в данный треугольник окружности.
В-пятых, не забывайте о соотношениях между элементами в прямоугольном треугольнике, а
так же о теореме Пифагора. Именно она ваш главный помощник в решении геометрических
задач.
Давайте вспомним все, что изучают в школьном курсе геометрии о треугольнике.
Определение: треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех , не
лежащих на одной прямой, и трех отрезков, последовательно соединяющих эти точки.
Точки А, В, С вершины ∆ АВС
Отрезки АВ,ВС и АВ – стороны ∆АВС
А, В и С углы.
Рис. 1
Стороны треугольника часто обозначают малыми латинскими буквами:
АВ = с, ВС = а, АС = b.
P = a+b+c периметр треугольника.
3
Неравенство треугольника
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон:
a < b+c, b < a+c, c< a+b.
Треугольник, у которого все углы острые, называется остроугольным (рис.1).
Треугольник, у которого угол прямой, называется прямоугольным
(рис.2).
Стороны, образующие прямой угол, называются катетами (a и b), а
сторона ,лежащая против прямого угла, - гипотенузой (с).
Рис.2
Некоторые свойства прямоугольного треугольника
1) Сумма острых углов равна 90°.
4
А+В = 90° (рис.3)
2) Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
a
=
1
c
2
3) Если катет равен половине гипотенузы, то угол,
лежащий против этого катета равен половине гипотенузы
Треугольник с тупым углом называется тупоугольным (рис.3)
Рис.3
Определение вида треугольника по его сторонам
Пусть с наибольшая сторона, тогда:
а) если с
2
< a
2
+b
2
, то треугольник остроугольный;
б) если с
2
>a
2
+b
2
, то треугольник тупоугольный;
в) если с
2
= a
2
+b
2
, то треугольник прямоугольный.
Треугольник, у которого две стороны равны, называется
равнобедренным (рис.4).
Равные стороны называются боковыми, а третья сторона - основанием
равнобедренного треугольника.
5
Рис.4
Треугольник, у которого все стороны равны, называется
равносторонним (рис.5).
Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.
Рис. 5
Свойства равнобедренного треугольника:
1. Углы при основании равны.
2. Биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно медианой и высотой.
3. Высота, проведенная к основанию, является одновременно медианой и биссектрисой.
4. Медиана, проведенная к основанию, является одновременно высотой и биссектрисой.
Внешним углом треугольника, называется угол смежный с
каким-нибудь углом этого треугольника (рис.6).
CBD внешний угол треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов
треугольника, не смежных с ним: CBD = A+B.
Рис.6
Отрезок, соединяющий середины двух сторон, называется
средней линией треугольника (рис.7).
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и
равна ее половине: DE||AB, DE = ½AB.
Рис.7
Признаки равенства треугольников
1 признак (по двум сторонам и углу между ними)
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум
сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
6
Если AB=A
1
B
1
, AC=A
1
C
1
, A=A
1
, то
АВС
=∆
А
1
В
1
С
1
.
2 признак (по стороне и прилежащим к ней углам)
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны
стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники
равны.
Если AB=A
1
B
1,
A=A
1
, B=B
1
, то
АВС
=∆
А
1
В
1
С
1
.
3 признак ( по трем сторонам)
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам тругого
треугольника, то такие треугольники равны.
Если AB=A
1
B
1
, ВС=В
1
С
1
, AC=A
1
C
1
, , то
АВС
=∆
А
1
В
1
С
1
.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
1. Если катеты одного треугольника соответственно равны катетам другого, то
такие треугольники равны.
Если BС=В
1
С
1
, AC=A
1
C
1
, то
АВС
=∆
А
1
В
1
С
1
.
2) Если катет и прилежащий к нему острый угол одного треугольника
соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого, то такие
треугольники равны.
Если AC=A
1
C
1
, A=A
1
, то
АВС
=∆
А
1
В
1
С
1
.
7
3) Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны
гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
Если AВ=A
1
В
1
, A=A
1
, то
8
АВС
=∆
А
1
В
1
С
1
.
4) Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны
гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
Если AB=A
1
B
1
, AC=A
1
C
1
, , то
АВС
=∆
А
1
В
1
С
1
.
Подобные треугольники
Определение: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно
равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
АВ и А
1
В
1,
АС и А
1
С
1,
ВС и В
1
С
1
- сходственные
стороны.
Из подобия треугольников следует:
AB
=
BC
=
AC
=
k ,
А=
А
1
,
В=
В
1
,
С=
С
1
,
A
1
B
!
B
1
C
1
A
1
C
1
где k- коэффициент подобия.
Обозначение: ∆АВС~∆А
1
В
1
С
1.
Если два треугольника подобны, то отношение их площадей равно k
2
т.е
2
Δ ABC ΔA
1
BC
1
Признаки подобия треугольников.
1 признак: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого,
то такие треугольники подобны.
Если А=А
1
, В=В
1
, то ∆АВС~∆А
1
В
1
С
1
.
9
2 признак: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам
другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами равны, то такие
треугольники подобны.
Если
А=
А
1
,
и
∆АВС~∆А
1
В
1
С
1
.
AB
A
1
B
!
=
AC
,
A
1
C
1
то
3 признак: если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам
другого треугольника, то такие треугольники подобны.
AB
=
BC
=
AC
,
Если
A
1
B
!
B
1
C
1
A
1
C
1
то ∆АВС~∆А
1
В
1
С
1
.
Четыре замечательные точки треугольника
С каждым треугольником связаны 4 точки:
1) точка пересечения медиан;
2) точка пересечение биссектрис,
3) точка пересечения высот (или их продолжений);
4) точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
Эти четыре точки называются замечательными токами треугольника.
Высотой треугольника называется длина перпендикуляра, опущенного из любой его
вершины на противоположную сторону или на ее продолжение.
В тупоугольном треугольнике две высоты падают на продолжение сторон и лежат вне
треугольника, а третья внутри.
Н
10
В остроугольном треугольнике все три высоты лежат внутри треугольника.
В прямоугольном треугольнике катеты одновременно служат и
высотами.
Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром.
В тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит вне треугольника.
В прямоугольном треугольнике он совпадает с вершиной прямого угла
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с
серединой противоположной стороны.
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром
тяжести треугольника.
Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от
соответствующей вершины.
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром
вписанного круга.
Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведенные
через их середины пересекаются в одной точке, которая является
центром описанной окружности.
11
1
В тупоугольном треугольнике эта точка лежит вне треугольника, в остроугольном –
внутри, в прямоугольном – на середине гипотенузы.
Ортоцентр, центр тяжести, центр вписанной и описанной окружностей совпадают друг с
другом только в равностороннем треугольнике.
Произвольный треугольник.
1) Свойство биссектрисы внутри угла треугольника:
a
a
1
=
b
b
1
.
2) Длина биссектрисы:
l
c
=
ab
a
1
b
1
;
l
=
ab
(
a
+
b
+
c
)(
a
+
b
c
)
c
m
=
1
2
(
a
2
+
b
2
)
c
2
a +b
.
3) Длина медианы:
c
2
.
h
=
2
p
(
p
a
)(
p
b
)(
p
c
)
,
4) Длина высоты:
c
c
где
a,b , c
- стороны треугольника,
p=
2
( a+b +c )
- полупериметр,
h
c
- высота, проведенная к стороне
c
.
5) Зависимость между сторонами и высотами:
h : h : h =
1
:
1
:
1
a b c
a b c
.
6) Зависимость между высотами и радиусом вписанной окружности:
1
+
1
+
1
=
1
h
a
h
b
h
c
r
.
Теорема Чевы
Для того чтобы прямые
BE , AD
и
CF
пересекались в одной точке, необходимо и
BD
=
CE
=
AF
=
1
достаточно, чтобы выполнялось равенство
DC EA FB
12
одной прямой, то
Теорема Менелая
Если на сторонах ВС, АВ и продолжении стороны АС
∆АВС за точку С отмечены соответственно точки А
1
, С
1
и
В
1
, лежащие на
AC
1
=
C
1
B
BA
1
A
1
C
CB
1
= =1
B
1
A
.
Теорема синусов
В любом треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов:
a
=
b
=
c
=
2 R
sin α
sin β
sin γ
, где R – радиус окружности, описанной около треугольника.
Теорема косинусов
Квадрат одной стороны произвольного треугольника равен сумме квадратов двух других
его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
a
2
=b
2
+c
2
2 bc cos α
,
b
2
=
a
2
+
c
2
2 ac cos β
,
c
2
=
a
2
+
b
2
2 ab cos γ
.
Площадь треугольника
S
=
1
ah ;
1)
2
a
13
S
S=
1
ab sin γ
2)
2
;
S
p
=
a
+
b
+
c
3)
=
p
(
p
a
)(
p
b
)(
p
c
)
, где
p
=
a
+
b
+
c
2
- формула Герона;
4)
S= pr
, где
S
=
abc
2
, r- радиус вписанной в треугольник окружности;
5)
4 R
, где R – радиус, описанной около треугольника окружности;
a
2
3
6)
=
4
- площадь равностороннего треугольника.
Равносторонний (правильный) треугольник
Задача.
Дано: ∆АВС
АВ=с=13см
ВС=а=14см
АС=b =15см
Найти:
1)
S
Δ ABC
;
2)
h
b
высоту BD ;
3)
r - радиус вписанной окружности;
4)
величину наибольшего внутреннего угла ∆АВС;
5)R- радиус описанной окружности ;
6) m
b
длину медианы ВF;
7) L
b
- длину биссектрисы BE угла В (точка Е лежит на отрезке АС);
8) расстояние между точкой пересечения медиан G и центром описанной окружности О
о
;
9) расстояние между центрами вписанной О
в
и описанной окружностей О
о
.
Решение:
14
S
1) Вычисление площади треугольника.
База знаний. Выпишем формулы для вычисления площади треугольника:
S
=
1
ah ;
1)
2
a
S=
1
ab sin γ
2)
2
;
S
p
=
a
+
b
+
c
3)
=
p
(
p
a
)(
p
b
)(
p
c
)
, где
p
=
a
+
b
+
c
2
- формула Герона;
4)
S= pr
, где
S
=
abc
2
, r- радиус вписанной в треугольник окружности;
5)
4 R
, где R – радиус, описанной около треугольника окружности;
a
2
3
6)
=
4
- площадь равностороннего треугольника.
Так как по условию задачи даны только длины сторон треугольника, удобнее всего
находить площадь треугольника по формуле Герона.
Вычислим сначала полупериметр треугольника:
p
=
a
+
b
+
c
=
13
+
14
+
15
=
21
(
см
)
2 2
, тогда по формуле Герона
S
=
p
(
p
a
)(
p
b
)(
p
c
)
=
21
(
21
13
)(
21
14
)(
21
15
)
=
21
8
7
6
=
84
(
см
2
)
2) Вычисление высоты треугольника.
Используем формулу
S
=
1
bh ;
2
b
Так как известны площадь ∆АВС и длина стороны
АС, то можем найти высоту BD=h
b
h =
2 S
=
284
=11 ,2( )
b
b 15
.
3) Вычисление радиуса вписанной окружности
15
Для вычисления радиуса вписанной окружности r воспользуемся формулой вычисления
p
=
a
+
b
+
c
площади треугольника
S= pr
, где
2
,
r
=
S
=
84
=
4
(
см
)
p 21
4) Вычисление наибольшего угла треугольника.
Мы знаем, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол. В нашем
В. Его можно найти
случае, наибольшая сторона АС, значит, наибольший угол
используя формулу для вычисления площади треугольника
S
=
1
sin В
sin B
=
2 S
=
2
84
=
12
В
=
arcsin
2
. Отсюда
ac 1314 13 13
,
5) Вычисление радиуса описанной окружности.
Вычислить радиус описанной окружности около треугольника можно использую теорему синусов
a
=
b
=
c
=
2 R
sin α
S
=
abc
sin β
sin γ
или формулу для вычисления площади треугольника
4 R
, где R – радиус, описанной около треугольника окружности.
R=
b
=
1513
=
65
( см )
По теореме синусов имеем:
2 sin B
212
8
, используя формулу площади
R=
abc 131415 65
треугольника:
4 S
=
484
=
8
( см)
6) Вычисление длины медианы треугольника.
Построим медиану BF и вычислим ее длину mb .
m
=
1
2
(
a
2
+
c
2
)
b
2
=
1
2
(
14
2
+
13
2
)
15
2
=
505
b
2 2 2
.
12
16
2
6
7) Вычисление длины биссектрисы треугольника.
Построим биссектрису BE =Lb.
l
=
ab
(
a
+
b
+
c
)(
a
+
b
c
)
=
13
14
(
13
+
14
+
15
)(
13
+
14
15
)
=
13
14
42
12
=
28
13
(
см
)
c
a
+
b
13
+
14
27 9
8) Вычисление расстояния между точкой пересечения медиан G и центром
описанной окружности О
о
.
Обозначим G – точку пересечения медиан треугольника АВС, О
о
- центр описанной
окружности.
GO
2
a
2
+
b
2
+
c
2
65
2
13
2
+
14
2
+
15
2
4225
169
+
196
+
225
4225
590
=R
o
9
=
(
8
)
9
=
64
9
=
4
9
=
¿
4225959064
=
3802537760
=
265
,
649
GO
=
265
24
.
649 649
9) Вычисление расстояния между центрами вписанной О
в
и описанной окружностей О
о
.
Мы знаем, что центр вписанной окружности О
в
- это точка пересечения биссектрис, а
центр описанной окружности О
о
точка пересечения серединных перпендикуляров.
О
в
О
о
2
=
R
2
2
Rr
,
где R – радиус описанной окружности
r радиус вписанной окружности
17
О
в
О
о
=
65
8