Ученики на Учителя.com


Методические материалы "Решение задачи о скорости столкновения"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №3»
город Сафоново Смоленской области
Методические материалы
Решение задачи о скорости столкновения
подготовила
учитель математики
Кулькова Дарья Сергеевна
Сафоново
2018 г.
Решение задачи о скорости столкновения
Задачи на скорость столкновения автомобилей встречаются в
школьном курсе физики достаточно часто, однако, все они идентичные и
направлены лишь на закрепление навыков применения стандартных формул
(кинематических уравнений, закона сохранения энергии и импульса). Среди
всех задач на столкновения автомобилей, можно выделить несколько задач,
которые отличаются сложностью в решении и значимостью полученного
результата в реальной жизни.
Рассмотрим формулировку и возможные решения одной из таких
задач. Условие задачи следующее.
Два абсолютно одинаковых автомобиля движутся по проезжей части
так, как это показано на рисунке 1. Скорость первого автомобиля
, а скорость второго . В момент, когда
автомобили оказываются друг напротив друга, оба водителя одновременно
замечают дерево, лежащее на дороге, и начинают одновременно
тормозить. Водитель, управляющий первым автомобилем, успевает
затормозить за несколько миллиметров перед деревом. Требуется
определить скорость второго автомобиля в момент столкновения с
деревом.
На рисунке 1 показан момент, когда оба водителя замечают
препятствие.
Рисунок 1. Рисунок к условию задачи
чкм /90
1
=
чкм /120
2
=
Приступая к решению данной задачи, многие рассчитывают на свою
интуицию и просто находят разность скоростей. Однако ответ в 30 км/ч не
является верным. Рассмотрим правильное решение данной задачи двумя
способами.
Способ 1. Кинематический способ
Схематически нарисуем систему «Автомобиль - земля» и укажем силы,
действующие на автомобиль (рисунок 2).
Рисунок 2. Силы, действующие на автомобили
Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для каждого
автомобиля:
. (1)
При этом по закону Амонтона-Кулона имеем
и . (2)
Так как автомобили абсолютно одинаковые, и они едут по одной дороге
(считаем, что она на протяжении всего путы одинаковая по своим
свойствам), то и . С учетом этого, уравнения (1) в
проекциях на выбранные оси будут иметь вид:
• для первого тела:
;
или ;
• для второго тела:
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
тр
тр
m a F N m g
m a F N m g
= + +
= + +
1 1 1тр
FN
=
2 2 2тр
FN
=
12
m m m==
12
==
1
:0оy mg N−=
1
N mg=
;
или .
Так как массы автомобилей одинаковые, то силы нормальной реакции
опоры и двух автомобилей одинаковые. С учетом уравнения (2)
получаем, что силы трения двух автомобилей об асфальт так же одинаковые
. Подставим эти данные в уравнение второго закона
Ньютона, записанного в проекциях на ось х, и получим, что ускорения, с
которыми тормозят автомобили одинаковые .
Далее сделаем схематический рисунок условия задачи с указанием на
нем скоростей автомобилей (рисунок 3).
Рисунок 3. Схематический рисунок
Итак, имеем, что автомобили тормозят с одинаковым ускорением. При
этом путь, пройденный автомобилями до дерева, так же одинаковый.
Рассмотрим кинематику движения первого автомобиля. Так как
движение с постоянным ускорением, то (3). По определению
ускорения получаем . Так как первый автомобиль успевает
затормозить, то его конечная скорость равняется нулю .
22
:0
тр
ох ma F+=
2
:0оy mg N−=
2
N mg=
1
N
2
N
12тр тр
F F mg
==
12
a a a==
2
1
11
2
Н
at
St
=+
11
1
KH
a
t

−
=
1
0
K
=
Соответственно . Подставим данное ускорение в формулу (3)
получим:
. Откуда . (4)
Запишем аналогичные уравнения для второго автомобиля.
Путь, пройденный вторым автомобилем:
(5)
Ускорение второго автомобиля:
(6)
Подставим (6) в (5):
.
Окончательно имеем, что
. (7)
Для нахождения - скорости, с которой второй автомобиль врежется
в дерево, необходимо решить следующую систему уравнений:
.
Приравняем правые части двух равенств системы:
.
С правой части последнего равенства стоит разность квадратов, поэтому
. Откуда
1
1
H
a
t
=−
2
1
1
1
11
2
H
H
t
t
St

−


=+
11
2
H
t
S
=
2
2
22
2
Н
at
St
=+
22
2
KH
a
t

−
=
2
22
2
2
2 2 2
2 2 2 2
()
22
KH
KH
HH
t
t
t
S t t




−

−

= + = + =
22
22
22
KH
H
t


+−


2 2 2
()
2
KH
t
S

+
=
2K
1 1 1 1
1 2 2
2 2 2 2 2 2
12
1 2 2 1 2 2
1 2 2
12
2 1 2 1
( ) ( )
()
22
HH
H K H
K H H K
K H K H
H K H
HH
tt
tt
tt
tt
tt
tt


−

−
==
−=

−−

++
+
==
=

2
1 2 2
1 2 2 2 2
2 2 1
()
( )( )
H K H
H H K K H
H K H
+
= = − +
−
2 2 2
1 2 2Н Н K
=−
.
В получившуюся формулу подставим значения скоростей автомобилей:
.
Получили, что второй автомобиль врежется в лежащее на дороге
дерево со скоростью примерно в 80 км/ч. Этот ответ получился из разницы в
30км/ч между начальными скоростями автомобилей.
Способ 2. Энергетический способ
Так как первый автомобиль успевает затормозить, то это означает, что
его кинетическая энергия закончилась. Его кинетическая энергия в момент
начала торможения определяется по формуле . Кинетическая
энергия второго автомобиля в момент начала торможения равна .
В обеих формулах стоит одна и та же масса, так как массы двух автомобилей
одинаковые. Так как второй автомобиль врезается в дерево, это означает, что
он не «израсходовал» всю свою кинетическую энергию. Остаток этой
энергии . При этом справедливо равенство (по теореме об
изменении кинетической энергии) или .
Откуда .
Следует отметить, что в двух способах получена одинаковая формула
для нахождения скорости столкновения второго автомобиля.
Проведём анализ полученного числового результата. Разница в
скорости движения двух автомобилей составляла 30 км/ч (120 км/ч – 90
км/ч). При этом если первый автомобиль (скорость которого 90 км/ч)
успевает затормозить (сбросить свою скорость до нуля) перед самым
деревом, то второй автомобиль (который начал тормозить в тот же момент
что и первый на скорости 1220 км/ч) врезается в дерево со скоростью около
22
2 2 1K НН
=−
22
2
(120 / ) (90 / ) 79,4 /
K
км ч км ч км ч
= − =
2
1
1
2
H
k
m
E
=
2
2
2
2
H
k
m
E
=
2
*
2
2
2
K
k
m
E
=
*
2 2 1k k k
E E E=−
2 2 2
2 2 1
2 2 2
K H H
m m m
=−
22
2 2 1K НН
=−
80 км/ч. Таким образом, второй автомобиль не успевает сбросить даже
половину скорости первого автомобиля. Такой результат ещё раз напоминает
о необходимости соблюдения правил дорожного движения.
Решение данной задачи может быть предложено учащимся при
подготовке к олимпиаде по физике, а так же быть включено в задание
школьного этапа олимпиады школьников по физике.
Список использованной литературы
1. Савченко Н. Е. Задачи по физике с анализом их решения. – М.:
Просвещение, 2000. – 320с.
Использованные материалы и Интернет-ресурсы
1. AUTO.TUT.BY. Занимательная физика. Что происходит с машинами и
водителями при столкновении, и правда ли, что внедорожник
"безопаснее" легковушки? Интернет источник URL:
https://auto.tut.by/news/offtop/353169.html?crnd=92912
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: