Презентация "Подготовка к ЕГЭ. Задания типа С5 по Математике повышенного уровня сложности с решениями"

ПОДГОТОВКА К ЕГЭ. ЗАДАНИЯ ТИПА С5 ПО МАТЕМАТИКЕ ПОВЫШЕННОГО УРОВНЯ СЛОЖНОСТИ С РЕШЕНИЯМИ

• Подготовка к ЕГЭ.

• Макарова Татьяна Павловна,
• учитель математики
• ГБОУ СОШ №618 г. Москвы

Задача 1. Найти все значения a, при каждом из которых уравнение имеет ровно 8 решений.

• Решение.
• 1. Преобразуем уравнение
• 2. Если , то уравнение имеет два корня, отличающихся знаком.
• Если ,то имеется ровно один корень .
• Если , то корней нет. Поэтому для выполнения условия задачи, необходимо и достаточно, чтобы было
• положительно при n=0,1,2,3 и отрицательно при n=4,5,k
• 3. Получаем систему неравенств:
• Ответ: .

Алгоритм решения задач с параметром графическим методом

• 1. Преобразовываем исходное условие задачи к системе неравенств, в которых неизвестное выражается через параметр, или, наоборот, параметр выражается через неизвестное.
• 2. Вводим систему координат (а;х), если мы неизвестное выражали через параметр, или (х;а) , если, наоборот, параметр выражали через неизвестное.
• 3. Изображаем в выбранной координатной плоскости фигуру, которая задается множеством решений системы неравенств.
• 4. «Сканируем» эту фигуру, двигаясь вдоль оси параметра и определяем, при каких значениях параметра выполняются заданные в задаче условия.
• 5. Записываем ответ.

Задача 2. Найдите все значения a, при каждом из которых функция имеет более двух точек экстремума.

• Решение.
• 1. Функция f имеет вид:

• а) при

• , поэтому ее график есть часть параболы

• б) при

• , поэтому ее график есть часть параболы с

• Все возможные виды графика функции f(x) показаны на рисунках:

• с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x=5;

• ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x=3.

Задача 2. Найдите все значения a, при каждом из которых функция

• 2) График обеих квадратичных функций проходят через точку (a2;f(a2)) .
• 3) Функция y=f(x)имеет более двух точек экстремума, а именно – три, в единственном случае (рис. 1):
• Ответ:

• имеет более двух точек экстремума.

Задача 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

• имеет единственное решение.

• Решение. Преобразуем исходную систему

• .

• Уравнение (y-4)(x+y-5)=0 задает пару пересекающихся прямых y=4 и y=5-x.

• Система

• задает части этих прямых, расположенные правее прямой x=2,т.е. лучи BD и СЕ (без точек B и С), см. рис.

• Уравнение y=ax+1 задает прямую m с угловым коэффициентом a, проходящую через точку A(0;1). Следует найти все значения a, при каждом из которых прямая m имеет единственную общую точку с объединением лучей BD и CE.
• Прямая AB задается уравнением y=1,5x+1. Поэтому при
• прямая m не пересечет ни луч BD, ни луч CE.

• б) Прямая AC задается уравнением y=x+1 Поэтому при
• прямая m пересечет луч BD, но не пересечет луч CE.

• в) При 0<a<1 прямая m пересечет и луч BD, и луч CE.
• г) При

• прямая m пересечет только луч CE, а при она не

• пересечет ни луч BD, и ни луч CE.
• Ответ.

Задача 4. Найдите все значения а, такие, что уравнение |x+3| - 1=|2x - a| имеет единственное решение.

• Решение. Решим с помощью графиков.

• Для выполнения условия задачи вершина графика правой части уравнения должна находиться в точке
• х = -2 или х = -4.

• Т.е.

• Ответ: - 8 и – 4.

Задача 5. Найдите все значения а, при каждом из которых функция f(x)= x2 + 4x + |x2 – 1,5x – 1| принимает только неотрицательные значения.

• Решение. x2 – 1,5x – 1 =0 , x = 2; - 0,5.
• 1)

• Т.к. ветви параболы f(x)направлены вверх, вершина у = - 5/8 для выполнения
• условия задачи необходимо и достаточно, чтобы

• 2)

• График функции f(x)– возрастающая прямая, таким образом, для выполнения
• Условия задачи необходимо и достаточно, чтобы f(-0,5) 0

Задача 6. Найдите все значения р, при каждом из которых для любого q система имеет решения.

• Решение.
• График функции, заданной первым уравнением – окружность радиуса 1 с
• центром в начале координат. График функции, заданной вторым уравнением
• должен пересекать эту окружность при любом q, т.е. при любом угле наклона
• прямых этой ломаной.

• Нетрудно видеть, что это условие для любого угла наклона выполняется при сдвиге вершины ломаной по оси у не более чем на единицу вниз или вверх .

• Ответ:

Задачи для самостоятельного решения:

• 2. При каких a уравнение имеет ровно 8 корней?
• Ответ:
• 3. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение
• 3x + |2x + |a-x|| = 7|x+2| имеет хотя бы один корень.
• Ответ:

• Найдите все положительные значения a , при каждом из которых система уравнений
• имеет единственное значение

• 4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
• 4х - ∣3х - ∣х + а∣∣ = 9∣х - 3∣ имеет два корня.

Для успешного решения задач типа С5 необходимо:

• Уметь решать уравнения и неравенства
• Решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения, их системы
• Решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков; использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод
• Решать рациональные, показательные и логарифмические неравенства, их системы

Источники:

• 1. http://alexlarin.narod.ru
• 2. http://www.akipkro.ru/
• 3. http://4ege.ru/matematika/
• 4. http://www.ctege.info/content/
• 5. http://seklib.ru/
• 6. http://mathege.info/category/zadaniya-ege/c5-zadanie-ege/
• 7. ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания. Под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В., М.: Экзамен, 2011.(сборник 1)
• 8. ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания. Под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В., М.: Экзамен, 2011.(сборник 2)
• 9. ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания. Под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В., М.: Экзамен, 2011.(сборник 3)
• 11. Математика. Диагностические работы в формате ЕГЭ., М.: МЦНМО, 2011 - 36 с.