Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Использование формул сокращенного умножения при решении задач" 7 класс

Конспект урока по математике в 7 классе
учителя математики МКОУ Краснореченской ООШ Саниной Зои Ивановны
Тема урока: «Использование формул сокращенного умножения при решении задач».
Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны знать следующие темы:
«Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений», «Разложение на множители с
помощью формул квадрата суммы и квадрата разности», «Умножение разности двух выра-
жений на их сумму», «Разложение разности квадратов на множители», «Разложение на
множители суммы и разности кубов», владеть навыками работы с формулами
сокращенного умножения.
Цели урока: 1) образовательная: закрепление знаний и умений по данной теме;
формирование умения свободно преобразовывать выражения с помощью формул
сокращенного умножения;
2) воспитательная: воспитание чувства взаимопомощи, самоконтроля,
интереса к решению примеров, математической культуры;
3) развивающая: развитие внимательности, логического мышления, умения
систематизировать и применять полученные знания.
Оборудование: написанные на доске примеры для устной и самостоятельной работы,
листы с заданиями (без решений), учебники.
Тип Урока: урок-смотр знаний.
ХОД урока
1. Устная работа
1. При записи формул сокращенного умножения были допущены
ошибки. Найдите и исправьте их. (слайд №5)
1) (а+в)
2
=а
2
+ав+в
2
.
Ответ: (а+в)
2
= а
2
+2ав+в
2
.
2) (а-с)
2
= а
2
-2ав+в
2
.
Ответ: (а-в)
2
= а
2
-2ав+в
2
.
3) а
2
-в
2
= (а-2в)(а-в).
Ответ: а
2
-в
2
=(a-в)(а+в).
4) а
З
+в
З
= (а+в)(а
2
+2ав+в
2
).
Ответ: а
З
+в
З
=(а+в)(а
2
-ав+в
2
).
5) а
З
-в
З
= (а + в)(а
2-
аав +в
2
).
Ответ: а
З
-в
З
= (а-в)(а
2
+ав+в
2
).
2. Составьте из предложенных одночленов выражения так, чтобы их можно было
разложить по формулам сокращенного умножения.
Потом получившиеся многочлены преобразуйте. (слайд №7)
81а
2
, 4у
2
, 8ав, -18ав, 16а
2
, 28ху, в
2
, 49х
2
Решение: 81а
2
-18ав + в
2
= (9а -в)
2
,
4y
2
+ 28ху+ 49х
2
=(2у+ 7х)
2
,
16а
2
+8ав+в
2
= (4а +в)
2
3. В таблицах представлены выражения, которые после перемножения образуют сумму и
разность кубов. Подберите к каждому выражению из первой таблицы выражение из второй
таблицы. Составьте и преобразуйте получившиеся выражения. (слайд №8)
1)
(а
2
-в)
(а+3)
(х + 1)
(2 - х)
2)
(4 + 2х + х
2
)
(x
2
-x+1)
(а
2
-2а+9)
(а
4
+а
2
в+в
2
)
Решение: (а
2
-в)(а
4
+а
2
в+в
2
) = а
6
-в
З
,
(2 -х)(4+2х+х
2
) = 8-х
3
,
(х+ l)(х
2
-х+ 1) = х
З
+ 1,
(а + 3)(а
2
- 2а +9) = а
3
+ 27.
4. Докажите, что значение выражения (а+4)(а-4)-(а-5)(а+5) ( слайд №9)
не зависит от значения переменной.
Доказательство: (а+4)(а-4)-(а-5)(а+5) = а
2
-16-(а
2
-25) =а
2
-16 - а
2
+ 25 = 9
Следовательно, значение выражения (а + 4)( а - 4) - (а - 5)( а + 5) не
зависит от значения переменной. .
Делаем зарядку. ( слайд №10)
II. Выполнение заданий
1. Представьте в виде произведения: (слайд № 11)
1) т
I2
+з
3
8
п
I5
.
Решение: m
l2
+ з
3
8
п
I5
= (m
4
)
3
+(
3
2
п
5
)
3
=(т
4
+
3
2
п
5
)( т
8
-
3
2
т
4
п
5
+п
1
0)
Ответ: (т
4
+
3
2
п
5
)( т
8 -
3
2
т
4
п
5
+п
IO
).
2) l
61
64
a
18
-в
6
.
Решение: l
61
64
a
l8
-в
6
= (
5
4
а
6
)
3
-(b
2
)
3
=(
5
4
а
6
-в
2
)(
25
16
a
l2
+
5
4
а
6
в
2
+в
4
) .
Ответ: (
5
4
а
6
-в
2
)(
25
16
a
12
+
5
4
а
6
в
2
+в
4
).
2. Некоторое целое число нужно возвести в квадрат, потом из него вычесть данное число,
увеличенное в 16 раз. Если к получившемуся выражению добавить 64, то в итоге получится
ноль. Найдите это число. (слайд № 12)
Решение: обозначим неизвестное число за х. Тогда по условию задачи составим
следующее выражение:x
2
-16х + 64 = о. Решим получившееся уравнение:
x
2
- 16х + 64 = о;
(х – 8)
2
= о; х - 8 = о; х = 8.
Следовательно, задуманное число равно 8. Ответ: 8.
3. При каком значении а удвоенное произведение двух членов а + 1
и а - 1 меньше суммы их квадратов на 7?
Решение: составим по условию задачи неравенство и решим его.
2(а+1)(а-1) <(а+1)
2
+(а-1)
2
+7;
2(а
2
-1) <(а
2
+2а+1)+(а
2
-2а+1)+7;
2а
2
- 2 < а
2
+ 2а + 1 + а
2
– 2а + 1 + 7;
2а
2
- 2 < 2а
2
+ 9;
2а
2
- 2а
2
< 9 + 2;
О < 11
Следовательно, при любом значении а выполняется условие задачи.
Ответ: при всех а.
4. Найдите два целых последовательных нечетных числа, произведение которых равно
-1. Известно, что одно из них на 2 единицы больше другого.
Решение: обозначим за х одно из нечетных чисел. Тогда второе последовательное
нечетное число равно х + 2. По условию задачи произведение чисел равно -1.
Составим и решим уравнение.
х(х + 2) = -1; х
2
+ 2х + 1 = 0; (х + 1)
2
= 0; x + 1 = 0; х = -1.
Значит, одно из чисел равно -1, тогда второе: х + 2 = -1 + 2,= 1.
Ответ: -1,1.
III. Устная работа
1. (Данное задание можно подготовить на карточках.) Саша получил на уроке оценку.
В качестве ответа на вопрос Пети об отметке он использовал задачу.
Сумма квадрата оценки и числа 25 равна произведению оценки и числа 10.
Найдите ошибки, которые допустил в решении Петя, и помогите ему узнать,
какую оценку получил Саша.
Решение Пети: обозначим за х оценку, которую получил Саша на уроке. Составим и
решим уравнение по условию задачи.
x
2
+ 25 = 10 х;
х
2
+ 10х + 25 = о;
(х + 2)
2
= о;
х + 2 = о; х = -2.
Получилось, что Саша на уроке получил оценку «-2» ( слайд №14)
Правuльное решение: ошибка возникла при решении самого уравнения. Петя забыл
поменять знак на противоположный при перенесении множителя 10х. Он неправильно
преобразовал левую часть уравнения по формуле сокращенного умножения.
Правильный вариант:
x
2
+ 25 = 10х;
x
2
- 10х + 25 = о;
(х- 5)
2
= о;
х- 5 = о; х = 5.
Следовательно, Саша получил на уроке оценку «5».
Ответ: оценка «5».
2. Один ученик высказал предположение, что любое число равно числу, в 2 раза
большему его. В качестве доказательства он привел такой пример. Пусть х - любое
число. Возьмем тождество х
2
- х
2
= х
2
- x
2
.
Правую его часть разложим на множители по формуле разности квадратов, а в левой
части вынесем х за скобки. В итоге получим, что(х - х)( х + х) = х( х - х). После
упрощения данного тождества получается 2х = х. Мы понимаем, что такого быть не
может. Тогда найдите ошибку. .
Отврт: ошибка заключается в том, что ученик при упрощении делит тождество на.(х -
х). А этого делать нельзя, так как х - х = о. ( слайд №15)
IV. Выполнение заданий ( слайд №16)
1. Разность двух чисел равна 79. Уменьшаемое представляет собой квадрат суммы
неизвестного числа и 6. Вычитаемое - разность квадратов неизвестного числа и 5.
Найдите это число.
Решение: обозначим неизвестное число за х. Тогда уменьшаемое будет равно (х + 6 )
2
, а
вычитаемое - х
2
- 5
2
. По условию задачи разность двух чисел равна 79.
Составим и решим уравнение:
(х+6)
2
-(х
2
-5
2
) = 79;
x
2
+12х+36- x
2
+25 = 79;
12х+61=79; 12х=79-61; 12х= 18; х= 1,5. Следовательно, неизвестное
число равно 1,5. Ответ: 1,5.
2. Какими должны быть значения а и в, чтобы выполнялось тождество
а
3
+ а
2
в + ав
2
= а
2
в + ав
2
+ в
3
?
Решение: вынесем в левой и правой части тождества общие множители:
а(а
2
+ав +в
2
) = в(а
2
+ав +в
2
).
Перенесем из правой части тождества выражение в левую часть и снова вынесем
общий множитель за скобки:
а(а
2
+ав +в
2
)-в(а
2
+ав +в
2
) = о;
(а-в)(а
2
+ав+в
2
)=0.
Левая часть тождества представляет собой разность кубов:
а
3
- в
3
=0.
Так как разность кубов равна 0, то а и в могут быть любыми одинаковыми числами с
противоположными знаками.
Ответ: любые числа с противоположными знаками.
3. Докажите, что значение выражения 173
3
+ 327
3
делится на 100.
Доказательство: выражение представляет собой сумму кубов. Преобразуем его: 173
3
+
327
3
= (173 + 327)(173
2
– 173*327 + 327
2
) = 500(173
2
-173*327 +327
2
)
В данном выражении 500 делится на 100, значит, значение выра жения делится на 100.
( слайд №18)
V. Самостоятельная работа (задания на листах)
Вычислите значение выражения (52 - 32)
2
, используя минимум две формулы
сокращенного умножения.
Решение: сначала используем формулу разности квадратов (а
2
- в
2
)=(а - в)(а+в)
Получим: (5
2
-3
2
)
2
= ((5-3)(5+3))
2
= (2*8)
2
= 16
2
. Затем представим число 16 в виде 16 = 20 -
4 и применим формулу квадрата разности (а- в)
2
=а
2
-2ав+в
2
.
Получим: (20-4)
2
=20
2
-2*20*4+4
2
=400-160+16=256.
Ответ:256.
VI. Заключительная часть.
1. Какая цель стояла перед вами в начале урока ?
2. Вам было на уроке : легко, обычно, трудно?
3. Довольны ли вы своей работой на уроке?
Домашнее задание:
№495(б,г), №496(а,б), №498(а,б), 499(в,г), №505.
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: