Системы координат и их применение
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Школа №107»
Системы
координат и
их применение
подготовила
учитель математики
Жилина Татьяна Анатольевна
г. Ростов-на-Дону
2017
«И совсем не исключено, что здесь скрывается
какая-то тайна, которую нам предстоит
раскрыть»
Ч. Пирс
Когда читаешь в газете сообщение о запуске нового спутника, обращаешь внимание на
слова: «Спутник вышел на орбиту, близкую к расчётной». Подумаем, как можно рассчитывать,
то есть изучать в числах, орбиту спутника – некоторую линию. Ведь для этого надо уметь
переводить на язык чисел геометрические понятия и в первую очередь уметь определять
положение точки в пространстве (или на плоскости, или на поверхности Земли и так далее) с
помощью чисел. Метод координат – это способ определять положение точки или тела с
помощью чисел или других символов. Числа, с помощью которых определяется положение
точки, называются координатами точки. Если указан способ, позволяющий установить
положение точек плоскости или пространства, то говорят, что введена система координат.
В школе изучаются прямоугольные декартовые координаты на прямой, на плоскости и в
пространстве.
Точка на прямой имеет одну координату, модуль которой равен расстоянию от точки до
начала координат О. Знак координаты зависит от положения точки относительно начала
координат.
Рис.1
Точка на координатной плоскости имеет две координаты: абсциссу и ординату.
Рис.2
Точки в координатном пространстве имеет три координаты: абсциссу, ординату и аппликату.
Рис.3
Данная система координат получила своё название от французского учёного Рене Декарта
(1596г. – 1650 г.), впервые применившего эту систему координат. 8 июня 1637 г. вышел в свет
научный трактат Рене Декарта «Рассуждения о методе, позволяющем направить разум и
отыскивать истину в науках», который Рене Декарт назвал методом координат. Этот метод
обессмертил имя Рене Декарта в большей степени, чем его другие открытия, ибо в нём великий
учёный установил тесную связь геометрии и алгебры посредством метода координат. Этот метод
позволяет решать алгебраические задачи с помощью геометрии и, наоборот, использовать
алгебраические уравнения при решении геометрических задач. Впоследствии, координатный
метод плодотворно развивался и принёс значительный эффект в процесс обучения математики.
Меня тоже заинтересовал этот метод и я решил много задач, в которых использовал этот метод.
Наиболее интересной из них оказалась алгебраическая задача: «При каких а система уравнений
имеет единственное решение?»
(х+2)²+у²=1
(х-3)²+у²-4у=(а-2)(а+2)
Преобразуем данные выражения:
(х+2)²+у²=1
(х-3)²+у²-4у=а²-4
(х+2)²+у²=1
(х-3)²+(у-2)²=а²
Графиками данных уравнений являются окружности; центром первой является точка А (-2;0) и
радиусом 1. Графиком уравнения (х-3)²+(у-2)²=а² является окружность с центром в точке В (3;2)
и радиусом |а|. Построив графики данных уравнений и проведя линию центров, можно заметить,
что решениями данной системы уравнений являются точки пересечения линии центров и
окружности (х+2)²+у²=1. Получаем, что единственное решение система уравнений имеет при
|а|=√29±1 или а=±(√29±1);
Рис.4
Ответ: а=±(√29±1)
Координатную плоскость можно использовать для выполнения различных рисунков
начинающим художникам. Зная координаты точек на координатной плоскости можно рисовать
различные фигуры. Например, если на координатой плоскости построить и соединить данные
точки в таком порядке:
(7:1), (6;1,5), (6;2,5), (7;3), (6;5,5), (4;5), (3,5;6), (2;8), (2;10), (3;9), (4;11), (6;12), (8;14), (8;12),
(9;11), (9,5;9), (12,5;8), (12;10), (12,5;12), (13;13), (14;15), (15;13), (15;9), (14;7), (13,5;6), (13,5;3),
(13;2), (11;1), (10;1), (10;2), (11;2,5), (11;3), (10,5;4), (9;4), (9;2), (7;1).
А затем не соединяя построить точки (5;6), (3;5,5), (4,5;4), (9;9), (9,5;11), (11;9,5) соединить с
точкой (7;7,5), то получится котёнок (Рис.5).
Рис. 5
Проделав ту же операцию с точками (0;10), (0,5;12), (2;14), (3;14), (4;13), (4;11), (3;7), (3;5), (4;6),
(6;7), (15;7), (13;5), (17;7), (17;6), (16;5), (17;5), (15;3), (17;3), (20;4), (18;1), (14;0), (10;0), (6;1),
(1;0), (0;1), (0;4), (3;11), (3;12), (2;11), (1;11), (0;10) мы получим лебедя. А у этого лебедя будут
глаза, если мы добавим точку (1,5;12) (Рис.6).
Рис. 6
Декартовые координаты позволяют находить длину отрезка по координатам его концов,
середину отрезка, расстояние между двумя точками, строить графики функций, задавать линии
уравнениями. Эта система координат наиболее употребляема.
Однако в отдельных случаях при рассмотрении специальных задач могут оказаться более
удобными и другие системы. Другая, но очень похожая на Декартовую систему координат,
называется аффинной или косоугольной системой координат. Отличие от декартовой
заключается в том, что оси не расположены перпендикулярно, а расположены под углом α
(0<α<180) (Рис. 7), и чтобы найти координаты произвольной точки (например, А) нужно
проводить не перпендикуляры, а параллельные прямые относительно другой оси
(Рис.7).
Аффинная система координат так же широко применяется в практике решения
геометрических задач. Приведём пример: нужно найти длину отрезка СN в треугольнике ABC,
если известно, что D – середина медианы AM, BD=BM, AN=а, где N- точка пересечения AB и
CD.
(Рис.8)
Решение: Введём аффинную систему координат. N- начало координат. Следовательно,
N(0;0).
a – единичный отрезок
Ось х совпадает с NC
Ось y совпадает с AB
А(0;-а)
DBM равнобедренный. Так как BD=DM, следовательно,
1 =
2
ADB =
DMC по первому равенству треугольников
DB=MC - по условию
AD=DM - по условию
ADB = 180
0
–
2
DМС = 180
0
–
1, а так же
1 =
2, то
ADB =
DМС, следовательно,
3 =
4
3 =
5 – вертикальные. Следовательно,
4 =
5.
Следовательно,
AND равнобедренный
AN=ND=a
D(a;0)
D –середина AM, найдём координаты точки M(
y
х
1
1
;
)
а=
2
0
1
х
0=
2
1
у
а
а
х
2
1
а
у
1
);2( ааМ
Точка В лежит на оси у, следовательно, её абсцисса равна 0
Точка С лежит на оси х, следовательно, её ордината равна 0
Найдём абсциссу точки С - х
2
2а=
2
х0
2
4а = х
2
х
2
= 4а
Следовательно, С(4а;0)
Так как С лежит на оси х, то NC=4а
Ответ: NC=4а
С помощью аффинной системы координат можно выполнять те же операции, что и в
декартовой системе координат. Эти системы координат очень похожи, но есть системы сильно
отличающиеся от предыдущих двух. Например, полярная. Интересно, можно ли в ней делать то
же самое, что и в декартовой: искать координаты точек, строить графики, решать
геометрические задачи? В отличие от декартовой системы координат, в полярной одна ось –
полярная (обозначается, как луч ОР (Рис.9 )), а положение произвольной точки определяет
расстояние р =ОА (где О - полюс, А – произвольная точка) и угол φ =АОР, то есть угол между
ОА и полярной осью ОР
(Рис.9)
Заметим еще одно немаловажное отличие от декартовой системы координат – р не может
быть отрицательным.
Значит, если взять произвольную точку в полярной системе координат, то её положение
можно определить однозначно: угол φ определяет направление луча ОА, а отрезок р – положение
точки на луче. Однако однозначно определяется лишь расстояние р: существует бесчисленное
множество полярных углов, отличных друг от друга на 2Пк, где к – любое целое число
(например,
,
3
2
2
3
2
, 4
3
2
…..)
Поэтому в качестве полярного угла для определения координат точки выбирают
наименьший угол с полярной осью и ОА (-
)
На первый взгляд кажется, что декартовая и полярная системы координат несовместимы,
но это не так. Давайте попытаемся установить связь между координатами точки А в полярной и
декартовой системах координат. Для этого совместим полюс с началом координат, а полярную
ось с осью х.
(Рис.10)
Проведём их точки А перпендикуляр к лучу ОР и соединим полюс с точкой. Далее
рассмотрим получившийся треугольник. По теореме Пифагора:
=
y
х
2
2
Кроме того:
sin
y
y
=
sin
cos
x
x
cos
tg
x
y
Перейдём к построению графиков функций в полярной системе координат. Простейшим
графиком в декартовой системе координат является график функции y = х. Давайте построим
аналогичный график в полярной системе координат. Он примет вид
Будем строить его по точкам. (Важно заметить, что углы в полярной системе координат
измеряются не в градусах, а в радианах. Один радиан примерно равен
547157
0
или
2
360
)
Если φ = ½π, то р = ½π
φ = π, то р = π
φ = 3/2π, то р = 3/2π
Иными словами: при увеличении угла растёт расстояние до полюса. Данный график примет вид:
(Рис.11)
Заметим, что у нас получилась спираль. В математике и физике данная спираль называется
спиралью Архимеда, по имени учёного, впервые получившего данную спираль. Данную спираль
можно построить и в декартовой системе координат, воспользовавшись вышеперечисленными
формулами перехода.
=
y
х
2
2
tg
x
y
x
y
arctg
y
х
2
2
=
x
y
arct g
Более сложная функция – логарифмическая, задаваемая уравнением
a
Для построения данной кривой нужно заметить , что при увеличении степени числа а на
определённое число b (например, π/2), то р увеличится в
a
b
Поэтому отложим на полярной сои отрезок р = 1 (так как аº =1).
Теперь начнём построение «по точкам». На перпендикулярной к оси прямой (угол между прямой
и полярной осью равен π/2) отложим отрезок
a
2
. Повторим это действие, только не
относительно полярной оси, а данного перпендикуляра, то есть φ = π, р =а в степени π и так
далее до бесконечности. Теперь соединим данные точки и получим логарифмическую спираль,
как бы накручивающуюся на окружность с радиусом 1 и с центром в полюсе 0
(Рис.12 )
Заметим, что такой вид, как на рисунке спираль принимает только при а > 1. При а = 1 она
принимает вид окружности с центром в полюсе и радиусом = 1, так как 1 в любой степени равно
1. При а < 1 график совсем не похож на график при а > 1. В данном случае спираль не будет
навёртываться на окружность, а наоборот не будет выходить за её пределы, а навёртываться она
будет на полюс.
(Рис.13)
Особое внимание логарифмической спирали уделил Я. Бернулли, называющий её «Spira
minbilis» - дивная спираль.
Помимо этих двух спиралей существуют и другие, например, гиперболическая спираль.,
задаваемая функцией π = а/φ. Для построения этой спирали (большинство графиков в полярной
системе координат имеют вид спирали) нужно заметить, что перпендикуляр, опущенный из
любой точки А, принадлежащей спирали, по длине меньше а.
Докажем это:
а = р · sinφ и р=а/φ
или а = а/φ · sinφ
1= sinφ/φ или sinφ=φ
(Рис.14)
То есть это возможно при φ=0. А так как на ноль делить нельзя, то утверждение доказано.
Нужно заметить, что при увеличении φ, р стремительно уменьшается.
Строя график, получаем спираль:
(Рис.15)
Графиком функции р=φ² является квадратичная спираль. Для того, чтобы образно
редставить эту спираль, возьмём теннисный мячик и намажем его мелом. Потом положим его
рядом с центром вращающейся грампластинки. Если проигрыватель будет стоять под углом 90°
относительно горизонта, то скатываясь с неё, шарик будет оставлять за собой след вида
квадратичной спирали. (При равномерном вращении грампластинки).
(Рис.16)
Рассмотрим уравнение вида р=а· sinrφ, где а и r –произвольные числа.
Графиком этой функции является (во всех случаях) роза. Не удивляйтесь, это не настоящая роза,
а кривая в виде цветка. Эти «розы» были открыты итальянским геометром Гвидо Ганди (1671г. –
1742 г.). Он и начал исследовать их. Приведём пример «роз»
(Рис.17)
Построение этих кривых выполняется обычно «по точкам», постепенно подставляя вместо φ
значения от 0 до 2π. Полученные кривые называются четырех-, трёх- и пяти-лепестковыми
«розами». Кроме рассмотренных выше систем координат есть и другие, применяющиеся не
только в математике, но и в других науках (например, в географии).
Людям нужна была карта, по которой можно было бы ориентироваться, безопасно плавать
и самое главное – разложить её на столе. Учёные долго мучались над этой задачей. У разных
учёных получались разные картографические проекты Земли. Но наиболее приемлемой
оказалась прямоугольная меркаторская проекция. Она была предложена в 1569 г. лондонским
картографом Герардом Меркатором (1512 г. – 1594 г.) и явилась крупнейшим открытием , во
многом способствовавшим успешному развитию мореплавания и картографии. Если посмотреть
на глобус, то можно заметить, что его поверхность покрывает сеть меридианов и параллелей.
Меридианы, то есть окружности, идущие с севера на юг сходятся у полюсов, а расстояние между
параллелями, то есть окружностями, проходящими с востока на запад параллельно экватору,
остаются неизменными. Поместим такой глобус внутрь цилиндра так, чтобы последний своей
образующей касался экватора, а его ось совпадала с осью Земли. Спроецируем из центра глобуса
изображение земных меридианов и параллелей на поверхность этого цилиндра, а затем разрежем
его по образующей и развернём на плоскости. Получим прямоугольную цилиндрическую
проекцию Меркатора, которая называется прямоугольной цилиндрической системой координат.
(Рис.18)
На Земле известны географические координаты: широта, долгота, но положение
произвольной точки А относительно Земли можно определить тремя координатами: расстоянием
от центра Земли , широтой и долготой того места на Земле. В геометрии сходно определяются
сферические координаты, но немного иначе. Первая сферическая координата называется
склонением. Она аналогична земной широте. Отсчитывается склонение по дуге окружности,
проходящей через полюсы мира и светила, координаты которого мы определяем. Такие
окружности называют кругами склонения. В астрономических справочниках склонение принято
обозначать буквой «дельта» (d). Вторая координата в сферической системе координат
напоминает долготу. Она носит название прямого восхождения и отсчитывается по кругу
небесного экватора в направлении против часовой стрелки. Началом отсчёта служит некоторая
фиксированная точка на небесном экваторе.
Как и географические, сферические координаты не зависят ни от времени суток, ни от
времени года. Это объясняется тем, что точка отсчёта прямого восхождения жёстко «закреплена»
на небесной сфере и вращается вместе с ней.
Своеобразные координаты используются в шахматах, где положение фигуры на доске
определяется с помощью буквы и числа. Вертикальные ряды клеток обозначаются буквами
латинского алфавита, горизонтальные ряды – цифрами. Каждой клетке доски соответствует
буква, указывающая вертикальный ряд в котором стоит клетка, и цифра, указывающая
горизонтальный ряд.
С помощью систем координат можно играть. Я придумал баллистическую игру. Изобразим
на клетчатой бумаге систему координат, причудливый пейзаж и два города глупцов,
враждующих между собой.
(Рис.19)
В пределах каждого города установлены стартовые площадки и, на которых стоят пушки,
из которых неразумные жители враждующих городов обстреливают друг друга. Вооружение
каждого города составляет пушка и бесчисленное множество снарядов с разными начальными
скоростями.
Первый игрок выбирает определённый снаряд (а точнее начальную скорость снаряда в
километрах в секунду (1 единичный отрезок равен 1 километру)) и угол обстрела, не
превышающий 90
о
, и производит выстрел. Известно, что уравнение траектории снаряда имеет
вид:
22
0
2
0
cos2v
gx
xtgyy
Графиком данной функции является парабола, поэтому, строя приблизительный график данной
функции (можно даже по одной вершине) выясняется, попал игрок во вражеский город или нет.
Игрок, первый попавший во вражеский город, выигрывает. Сопротивление воздуха в этой игре
не учитывается.
Координаты, применяемые в математике, позволяют определять с помощью чисел
положение любой точки пространства, или плоскости, или линии. Это даёт возможность
«шифровать» различного рода фигуры, записывать их при помощи чисел.
Особенно важен метод координат тем, что он позволяет применять современные машины
не только в различного рода расчетах, но и к решению геометрических задач, к исследованию
любых геометрических объектов и соотношений.
Использованная литература:
1. Виленкин Н.Я. «Множества на координатной плоскости»
2. Гельфандт И.М. «Метод координат»
3. Говоров В.М. «Сборник конкурсных задач»
4. Понтрягин Л.С. «Знакомство с высшей математикой»
5. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике «Решение задач».
6. Аксёнова М.Д. «Энциклопедия для детей ( Т. 11. Математика)»
