Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Решение комбинированных уравнений" 11 класс

Урок математики в 11 классе: «Решение комбинированных уравнений».
Учитель : Галимова Лилия Илфаковна, Муслюмовский лицей.
Цели урока:
-обобщение и закрепление знаний по теме «Показательные уравнения и
неравенства»;
-воспитание познавательного интереса к предмету;
-формирование умений анализировать, проводить обобщение,
переносить знания в новую ситуацию.
Оборудование: урок проходит в компьютерном классе.
Ход урока:
1. Организационный момент.
2. Вводное слово учителя.
Сегодня на уроке мы рассмотрим так нестандартные, так называемые,
комбинированные уравнения вида f(x)=g(x) , где f(x) и g(x) – функции
совершенно разного типа. Например,
x
х
х
sin
2
5
, 2х+2-х
2
=
22
2
3
xx
2
cos
4
5
sin2
54
2
xx
хх
и т.д..
Запишем число и тему урока: «Решение комбинированных уравнений».
Рассмотрим уравнение
2
cos
4
5
sin2
54
2
xx
хх
.
На первый взгляд уравнение кажется неестественным, ведь оно
относится одновременно к двум большим темам «Показательная функция» и
«Тригонометрические функции», которые редко пересекаются на одном
уроке, а тем более - в одном уравнении. Но графический метод решения
уравнений, который мы будем вспоминать на этом уроке, поможет
справиться и не с такими сюрпризами. Конечно, строить графики - работа не
из самых увлекательных, особенно когда приходится находить производную
или вычислять значения функции в ряде точек. Но мы имеем возможность
строить графики практически мгновенно с помощью программы Advanced
Grapher.
3. Актуализация знаний.
Для того, чтобы успешно работать в дальнейшем, давайте вспомним
основные определения и свойства функций, ответив на следующие вопросы.
- какая зависимость между величинами называется функцией?
-а теперь давайте вспомним графики некоторых известных вам
функций (по данному графику функции назвать её уравнение указать область
определения и область значений)
-укажите примеры функций, у которых множество значений
ограничено. (показательные, тригонометрические, квадратичные, модуль,
квадратный корень и т. д.)
-даны функции: у=sin x, у=3
х
, у=х
2
+4, у=8-х
2
, у=|х|. Назовите их
наибольшие и наименьшие значения, если таковые существуют.
4. Изучение нового материала.
Вернемся к теме нашего урока: решение комбинированных уравнений.
Существуют теоремы, способные облегчить решение таких уравнений.
Сегодня мы познакомимся с одной из них.
Если на некотором промежутке I наибольшее значение функции f(x)
равно числу А, а наименьшее значение функции g(x) тоже равно числу А, то
уравнение f(x)=g(x) равносильно системе
f(x)= А
g(x)=А
на данном промежутке I.
Рассмотрим применение этой теоремы при решении уравнения
xx cos1
2
.
f(x) = x
2
+ 1, g(x) = cos x,
min f(x) = 1, max g(x) = 1
x
2
+ 1 = cos x
х
2
+1=1
х=0
cosx=1
Предложить ученикам пересказать теорему своими словами,
переформулировать теорему применительно к графикам данных функций.
5. Закрепление изученного.
Задание 1. Выберите уравнения, для которых подходит изученная
теорема:
x
2
+100=cosx, 48-x
2
=2cosx, x
2
+3=cosx+2, 2
x
=cosx, cosx=lxl+1.
x
2
+3=cosx+2, cosx=lxl+1 – решить устно.
Так как при решении уравнения мы оценивали левую и правую части,
то этот метод решения уравнений можно назвать методом оценки.
Задание 2. Вернёмся к уравнению, записанному в начале урока.
Удовлетворяет ли оно условию теоремы?
Чтобы удостовериться в этом обратимся к компьютерам и построим
графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Ведь по
графику функции легче определить, ограничена она или нет.
Для того, чтобы построить на компьютере графики функций
и
2
cos
4
5
sin
xx
у
, вспомним, как записать формулы функций в виде,
необходимом для компьютера: y=2^(x^2-4*x+5) y=sin(5*3.14*x/4)-
cos(3.14*x/2).
По построенным графикам ребята отвечают на вопросы учителя:
-какими числами ограничены графики функций по оси Оу?
-сколько общих точек имеют графики?
-удовлетворяют ли данные функции условию теоремы?
-каков корень уравнения?
Мы использовали компьютер для поиска решения данного уравнения.
Давайте теперь запишем математическое решение.
Решение: рассмотрим функции
54
2
2)(
хх
xf
и
2
cos
4
5
sin)(
xx
xg
. Функция
f(x) ограничена числом 2 снизу, т.е. для всех
 ;x
выполняется
неравенство
22
54
2
хх
. Функция g(x) ограничена числом 2 сверху, т.е.
2
2
cos
4
5
sin
xx
для всех
 ;x
. Значит уравнение равносильно системе
22
54
2
хх
2
2
cos
4
5
sin
xx
Первое уравнение имеет единственный корень х=2. Проверкой можно
убедиться, что х=2 удовлетворяет и второму уравнению. Других корней нет,
так как графики данных функций пересекаются в одной точке.
Ответ: 2.
5. Самостоятельная работа на компьютере.
Задание 3. Решите уравнение х
2
+4х+5=cos4
x. Ответ:-2.
Задание 4. Решите уравнение
222
2
322
хх
хх
. Ответ: 1.
Задание 5. Решите уравнение 4sin
х=4х
2
-4х+5. Ответ: нет решения.
Творческие задания.
Задание 6. Составить уравнение по следующим рисункам:
Задание 7. Придумать и выполнить рисунок, подходящий к условию
теоремы.
6. Подведение итогов.
А можно ли решить данные уравнения без компьютера? Как построить
график в таком случае? (с помощью производной).
Можно ли провести рассуждения без графиков? (да, опираясь на
свойства функций)
Домашнее задание: решить уравнение
222
2
322
хх
хх
без
использования графика, опираясь на свойства функций.
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: