Презентация "Алгебра высказываний. Решение логических задач" 10-11 класс

Скачать материал

Подписи к слайдам:

Алгебра высказываний

Решение логических задач
Автор:
Сергеев Евгений Викторович
МОУ СОШ №4 г. Миньяра Челябинской области
[email protected]
http://shk4-minyar.ucoz.ru

Задача 1: Составьте сложное высказывание в словесной форме из простых, заданных математическим формулировкам:

Высказывание А:
«Учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку»
Высказывание В:
«Учащийся Иванов любит работать на компьютере».

А  В
«Учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку и любит работать на компьютере»

А  В
«Учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку или любит работать на компьютере»

А  ¬В
«Учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку и не любит работать на компьютере»

¬(А  В)
«не (учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку и любит работать на компьютере)» ≡ «Учащийся Иванов плохо успевает по английскому языку и не любит работать на компьютере»

А → В
«учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку, поэтому он любит работать на компьютере»

А → ¬В
«учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку, поэтому он не любит работать на компьютере»

В → А
«учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку, потому, что он любит работать на компьютере»

Задача 2: Пусть p и q обозначают высказывания: p = «Я учусь в школе» q = «Я люблю информатику» составьте и запишите следующие высказывания:

¬p
¬(¬p)

«Я не учусь в школе»
«не(Я не учусь в школе)» ≡ «Я учусь в школе»
«Я учусь в школе и люблю информатику»
«Я учусь в школе и не люблю информатику»
«Я учусь в школе или люблю информатику»
«Я не учусь в школе или люблю информатику»
«Я не учусь в школе или я не люблю информатику»
«Я люблю информатику, потому, что учусь в школе»

p  q
p  ¬q

p  q
¬p  q

¬p  ¬q
q → p

Задача 3: Обозначьте элементарные высказывания буквами и запишите высказывания на формальном языке алгебры высказываний

45 кратно 3 и 42 кратно 3
45 кратно 3 и 12 не кратно 3
2 ≤ 5
если 212 делится на 3 и на 4, то 212 делится на 12
212 – трехзначное число, которое делится на 3 и на 4

А  В, где А = «45 кратно 3», В = «42 кратно 3»
А  ¬В, где А = «45 кратно 3», В = «12 кратно 3»
А  В, где А = «2 < 5», В = «2 = 5»
(A  В) → С, где А = «212 делится на 3», В = «212 делится на 4» и С = «212 делится на 12»
А  В  С, где А = «212 – трехзначное число», В = «212 делится на 3» и С = «212 делится на 4»

Задача 4: Составьте таблицу истинности для функции А  ¬В

A  ¬B
1
0
1
1

Задача 5: Какие из следующих импликаций истинны

если 2  2 = 4, то 2 < 3
если 2  2 = 4, то 2 > 3
если 2  2 = 5, то 2 < 3
если 2  2 = 5, то 2 > 3

истина
ложь
истина
истина

Таблицы истинности

Задача 6: Какие из следующих высказываний противоречивы

a = 1, a  b = 0
a = 1, a  b = 0
a = 1, a  b = 1
a = 1, a  b = 1
a = 0, a  b = 1
a = 0, a  b = 1
a = 0, a  b = 0
a = 0, a  b = 0

истина
ложь
истина
истина
ложь
истина
истина
истина

Таблицы истинности

Задача 7: Пусть: а = «7 – простое», b = «7 – составное», с = «8 – простое» и d = «8 – составное» Определите истинность высказываний

а  с
а  d
b  c
c  d

ложь
истина
ложь
ложь

а  с
а  d
b  c
c  d

истина
истина
ложь
истина

¬а
¬b
¬c
¬d

ложь
истина
истина
ложь

Задача 8: Какие из следующих высказываний истинны

истина
истина
истина
ложь
истина
истина
истина

истина
истина
истина
ложь
ложь
истина
истина

p → p
p  ¬p
¬(p  ¬p)
p  ¬p
¬p → p
p  p
(p  p) → p

¬(p  (p  ¬p))
(p → p)  ¬p
p  p  (¬p → p  p)
p  (p  ¬p)
¬(¬p → p)
¬(p  ¬p)
(p  p) → (p  p)

Задача 9: Даны значения: x = 0, y = 1, z = 1. Определите логические значения высказываний

x  (y  z)
(x  y)  z
x → (y → z)
x  y → z
(x  y)  (z  ¬y)
((x  y)  z)  ((x  z)  (y  z))

Задача 9.1: Даны значения: x = 0, y = 1, z = 1. Определите логические значения высказываний

x  (y  z)
x  (1  1)
x  1
0  1
0 (ложь)

x  (y  z)

Таблицы истинности

Задача 9.2: Даны значения: x = 0, y = 1, z = 1. Определите логические значения высказываний

(x  y)  z
(0  1)  z
0  z
0  1
0 (ложь)

(x  y)  z

Таблицы истинности

Задача 9.3: Даны значения: x = 0, y = 1, z = 1. Определите логические значения высказываний

x → (y → z)
x → (1 → 1)
x → 1
0 → 1
1 (истина)

x → (y → z)

Таблицы истинности

Задача 9.4: Даны значения: x = 0, y = 1, z = 1. Определите логические значения высказываний

x  y → z
0  1 → z
0 → z
0 → 1
1 (истина)

x  y → z

Таблицы истинности

Задача 9.5: Даны значения: x = 0, y = 1, z = 1. Определите логические значения высказываний

(x  y)  (z  ¬y)
(x  y)  (z  ¬1)
(x  y)  (z  0)
(x  y)  (z  0)
(0  1)  (1  0)
0  1
0 (ложь)

(x  y)  (z  ¬y)

Таблицы истинности

Задача 9.6: Даны значения: x = 0, y = 1, z = 1. Определите логические значения высказываний

((x  y)  z)  ((x  z)  (y  z))
((0  1)  z)  ((0  1)  (1  1))
(( 1 )  z)  (( 0 )  ( 1 ))
(1  1)  (0  1)
1  1
1 (истина)

((x  y)  z)  ((x  z)  (y  z))

Таблицы истинности

Задача 10: Упростите выражение: (А  В)  (А  ¬В)

(А  В)  (А  ¬В)
А  (В  ¬В)
А  (В  ¬В)
А  ( 1 )
А

(А  В)  (А  ¬В)

Таблицы истинности

Задача 11: Упростите выражение: (А  ¬А)  В

(А  ¬А)  В
( 1 )  В
В

(А  ¬А)  В

Таблицы истинности

Задача 12: Упростите выражение: А  (А  В)  (В  ¬В)

А  (А  В)  (В  ¬В)
А  (А  В)  ( 1 )
А  (А  В)  1 {з-н поглощения}
А  1
А

А  (А  В)  (В  ¬В)

Таблицы истинности

Задача 13: Доказать справедливость закона поглощения для дизъюнкции: А  (А  В) ≡ А по таблицам истинности

Таблицы истинности

A  B
0
0
0
1

A  (А  B)
0
0
1
1

Задача 14: Доказать справедливость закона поглощения для конъюнкции: А  (А  В) ≡ А по таблицам истинности

Таблицы истинности

A  B
0
1
1
1

A  (А  B)
0
0
1
1

Задача 15: Доказать справедливость первого закона де Моргана: ¬(А  В) ≡ ¬А  ¬В по таблицам истинности

Таблицы истинности

A  B
0
1
1
1

¬(A  B)
1
0
0
0

¬A  ¬B
1
0
0
0

Задача 16: Доказать справедливость второго закона де Моргана: ¬(А  В) ≡ ¬А  ¬В по таблицам истинности

Таблицы истинности

A  B
0
0
0
1

¬(A  B)
1
1
1
0

¬A  ¬B
1
1
1
0

Задача 17:

Составить расписание занятий так, чтобы математика была первым или вторым уроком, информатика первым или третьим уроком, а физика – вторым или третьим.
В расписании всего три урока. Сколько вариантов расписания с такими условиями можно составить?

Задача 17. Решение

Пусть:
М1 = «Математика первым уроком»
М2 = «Математика вторым уроком»
И1 = «Информатика первым уроком»
И3 = «Информатика третьим уроком»
Ф2 = «Физика вторым уроком»
Ф3 = «Физика третьим уроком»
Тогда расписание можно свести к выражению:
(М1  М2)  (И1  И3)  (Ф2  Ф3)

Задача 17. Решение. Раскрытие скобок

(М1  М2)  (И1  И3)  (Ф2  Ф3)
(М1И1  М1И3  М2И1  М2И3)  (Ф2  Ф3)
М1·И1·Ф2  М1·И3·Ф2  М2·И1·Ф2  М2·И3·Ф2   М1·И1·Ф3  М1·И3·Ф3  М2·И1·Ф3  М2·И3·Ф3
Выбираем только непротиворечивые комбинации:
Ответ:
1 вариант – Математика, Физика, Информатика
2 вариант – Информатика, Математика, Физика

М1·И1·Ф2  М1·И3·Ф2  М2·И1·Ф2  М2·И3·Ф2   М1·И1·Ф3  М1·И3·Ф3  М2·И1·Ф3  М2·И3·Ф3

Задача 18:

В одной из смежных аудиторий может быть либо кабинет информатики, либо кабинет физики.
На одной двери написано: «В одном из этих двух кабинетов точно есть кабинет информатики», а на двери другого: «Кабинет информатики не здесь».
Известно также, что высказывания на табличках тождественны.
Определить, где какой кабинет

Задача 18. Решение

Пусть: А= «Информатика в кабинете 1», В= «Информатика в кабинете 2»
Тогда: ¬А= «Физика в кабинете 1», ¬В= «Физика в кабинете 2»
Высказывание «В одном из этих двух кабинетов точно есть кабинет информатики»: Х = А  В,
Высказывание «Кабинет информатики не здесь»: Y = ¬А
Исходя из условия: X  Y, т.е.
Y = (¬X  Y)  (¬Y  X )  (¬X  Y)  (¬Y  X )  ¬Y
Заменяем X и Y их выражениями:
(¬(А  В)  ¬А)  (¬(¬А)  (А  В) )  ¬(¬А)

Задача 18. Решение (продолжение)

(¬(А  В)  ¬А)  (¬(¬А)  (А  В) )  ¬(¬А)
Упрощаем выражение:
((¬А  ¬В)  ¬А)  (А  (А  В))  А 

(¬(А  В)  ¬А)  (¬(¬А)  (А  В) )  ¬(¬А)

((¬А  ¬В)  ¬А)  (А  (А  В))  А 
((¬А  ¬А)  (¬В  ¬А))  (А  А  В  А) 
(¬А  (¬В  ¬А))  (А  В) 
¬А  (А  В) 
(¬А  А)  (¬А  В) 
¬А  В
Т.о. выражение ¬А  В соответствует высказыванию:
«Физика в кабинете 1 и информатика в кабинете 2»

Задача 19.

Следователь допрашивает Клода, Жака и Дика.
Клод утверждает, что Жак лжет, Жак обвинял во лжи Дика, а Дик призывает не слушать ни того, ни другого.
Кто из допрашиваемых говорил правду?
Решение:
Пусть показания свидетелей будут назваться буквами К, Ж и Д. Тогда известно, что:
Если Клод сказал правду (К), то Жак лжет (¬Ж), иначе (если Клод солгал, ¬К), то Жак сказал правду (Ж)
Если Жак сказал правду (Ж), тогда Дик не прав, (¬Д), иначе лжет Жак (¬Ж), а Дик – прав (Д)
Если лжет Дик (Д), то Клод и Жак правы (Ж и К), иначе последние лгут (¬(Ж и К)), а Дик – прав (Д)

Задача 19. Решение

Выразим эти высказывания на формальном языке логики:
К  ¬Ж  ¬К  Ж
Ж  ¬Д  ¬Ж  Д
Д  ¬К  ¬Ж  ¬Д  (К  Ж)
Задача будет решена, если все три высказывания будут истинны, т.е. истинна их конъюнкция:
(К·¬Ж  ¬К·Ж)  (Ж·¬Д  ¬Ж·Д)  (Д·¬К·¬Ж  ¬Д·(К  Ж))
(К·¬Ж· Ж·¬Д  К·¬Ж·¬Ж·Д  ¬К·Ж·Ж·¬Д  ¬К·Ж·¬Ж·Д) 
 (Д·¬К·¬Ж  ¬Д·К  ¬Д·Ж)
(К·¬Ж·¬Ж·Д  ¬К·Ж·Ж·¬Д)  (Д·¬К·¬Ж  ¬Д·К  ¬Д·Ж)
(К·¬Ж·¬Ж·Д·Д·¬К·¬Ж  К·¬Ж·¬Ж·Д·¬Д·Ж  К·¬Ж·¬Ж·Д·¬Д·Ж   ¬К·Ж·Ж·¬Д·Д·¬К·¬Ж  ¬К·Ж·Ж·¬Д·¬Д·Ж   ¬К·Ж·Ж·¬Д·¬Д·Ж
¬К·Ж·Ж·¬Д·¬Д·Ж  ¬К·Ж·Ж·¬Д·¬Д·Ж ≡ ¬К  ¬Д  Ж
Итак, только Жак говорил правду

(К·¬Ж  ¬К·Ж)  (Ж·¬Д  ¬Ж·Д)  (Д·¬К·¬Ж  ¬Д·(К  Ж))

Задача 20.

Нерадивый студент сдает компьютерный тест. Все ответы сводятся к ответам типа «Да» или «Нет». Один правильный ответ – один балл. Студенту известно, что:
Первый и последний ответы противоположны
Второй и четвертый ответы одинаковы
Хотя бы один из первых двух ответов – «Да»
Если четвертый ответ «Да», то пятый – «Нет»
Ответов «Да» больше, чем ответов «Нет»
Требуется получить 4 или более баллов

Задача 20. Решение