Презентация "Сфера" 11 класс

• Презентация
• по теме СФЕРА

• Геометрия –11 класс

• ГБОУ №1392 им. Д. Рябинкина
• Давтян Римма Артемовна

План презентации

• Определение сферы, шара.
• Уравнение сферы.
• Взаимное расположение сферы и плоскости.
• Площадь сферы.
• Обобщение

Окружность и круг

• Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

• r

• d

• r

• Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии r от данной точки.

• r – радиус;

• d – диаметр

• Определение сферы

• R

• Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии (R) от данной точки (центра т.О).

• Сфера – тело полученное в результате вращения полуокруж-ности вокруг её диаметра.

• т. О – центр сферы

• О

• D – диаметр сферы – отрезок, соединяющий любые 2 точки сферы и проходящий через центр.

• D = 2R

• Параллель (экватор)

• меридиан

• диаметр

• R – радиус сферы – отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром.

Шар

• Тело, ограниченное сферой, называется шаром.
• Центр, радиус и диаметр сферы являются также центром, радиусом и диаметром шара.
• Шар радиуса R и центром О содержит все точки пространства, которые расположены от т. О на расстоянии, не превышающем R.

Исторические сведения о сфере и шаре

• Оба слова «шар» и «сфера» происходят от греческого слова «сфайра» - мяч.
• В древности сфера и шар были в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом вызывали образ сферы.
• Пифагорейцы в своих полумистических рассуждениях утверждали, что сферические небесные тела располагаются друг от друга на расстоянии пропорциональном интервалам музыкальной гаммы. В этом усматривались элементы мировой гармонии. Отсюда пошло выражение «музыка сферы».
• Аристотель считал, что шарообразная форма, как наиболее совершенная, свойственна Солнцу, Земле, Луне и всем мировым телам. Так же он полагал, что Земля окружена рядом концентрических сфер.
• Сфера, шар всегда широко применялись в различных областях науки и техники.

Как изобразить сферу?

• R

• 1. Отметить центр сферы (т.О)

• 2. Начертить окружность с центром в т.О

• 3. Изобразить видимую вертикальную дугу (меридиан)

• 4. Изобразить невидимую вертикальную дугу

• 5. Изобразить видимую гори-зонтальную дугу (параллель)

• 6. Изобразить невидимую горизонтальную дугу

• 7. Провести радиус сферы R

• О

Уравнение окружности

• следовательно уравнение
• окружности имеет вид:
• (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2

• С(х0;у0)

• М(х;у)

• х

• у

• О

• Зададим прямоугольную систему координат Оxy

• Построим окружность c центром в т. С и радиусом r

• Расстояние от произвольной т. М (х;у) до т.С вычисляется по формуле:

• МС = (x – x0)2 + (y – y0)2

• МС = r , или МС2 = r2

Задача 1. Зная координаты центра С(2;-3;0), и радиус сферы R=5, записать уравнение сферы.

• Решение
• так, как уравнение сферы с радиусом R и центром в точке С(х0;у0;z0) имеет вид (х-х0)2 + (у-у0)2 + (z-z0)2=R2, а координаты центра данной сферы С(2;-3;0) и радиус R=5, то уравнение данной сферы (x-2)2 + (y+3)2 + z2=25
• Ответ: (x-2)2 + (y+3)2 + z2=25

Уравнение сферы

• (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2

• х

• у

• z

• М(х;у;z)

• R

• Зададим прямоугольную систему координат Оxyz

• Построим сферу c центром в т. С и радиусом R

• МС = (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2

• МС = R , или МС2 = R2

• C(x0;y0;z0)

• следовательно уравнение
• сферы имеет вид:

Взаимное расположение окружности и прямой

• r

• d

• Если d < r, то прямая и окружность имеют 2 общие точки.

• d= r

• d> r

• Если d = r, то прямая и окружность имеют 1 общую точку.

• Если d > r, то прямая и окружность не имеют общих точек.

• Возможны 3 случая

Взаимное расположение сферы и плоскости

• α

• C(0;0;d)

• В зависимости от соотношения d и R возможны 3 случая…

• х

• у

• z

• O

• Введем прямоугольную систему координат Oxyz

• Построим плоскость α, сов-падающую с плоскостью Оху

• Изобразим сферу с центром в т.С, лежащей на положительной полуоси Oz и имеющей координаты (0;0;d), где d - расстояние (перпендикуляр) от центра сферы до плоскости α .

Сечение шара плоскостью есть круг.

• α

• C(0;0;d)

• Сечение шара плоскостью есть круг.

• х

• у

• z

• O

• r

• Взаимное расположение сферы и плоскости

• Рассмотрим 1 случай

• d < R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность радиусом r.

• r = R2 - d2

• М

• С приближением секущей плоскости к центру шара радиус круга увеличивается. Плоскость, проходящая через диаметр шара, называется диаметральной. Круг, полученный в результате сечения, называется большим кругом.

• α

• C(0;0;d)

• d = R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют одну общую точку

• х

• у

• z

• O

• Взаимное расположение сферы и плоскости

• Рассмотрим 2 случай

• α

• C(0;0;d)

• d > R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

• х

• у

• z

• O

• Взаимное расположение сферы и плоскости

• Рассмотрим 3 случай

Задача 2. Шар радиусом 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найти радиус сечения.

• Дано:
• Шар с центром в т.О
• R=41 дм
• α - секущая плоскость
• d = 9 дм

• М

• К

• О

• R

• d

• Найти: rсеч = ?

• Решение:
• Рассмотрим ∆ОМК – прямоугольный
• ОМ = 41 дм; ОК = 9 дм; МК = r, r = R2 - d2
• по теореме Пифагора: МК2 = r2 = 412- 92 = 1681 - 81=1600 отсюда rсеч = 40 дм

• Ответ: rсеч = 40 дм

• r

Площадь сферы

• Площадь сферы радиуса R: Sсф=4πR2

• Сферу нельзя развернуть на плоскость.

• Опишем около сферы многогранник, так чтобы сфера касалась всех его граней.

• За площадь сферы принимается предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани

• т.е.: Площадь поверхности шара равна учетверенной площади большего круга

• Sшара=4 Sкруга

Задача 3. Найти площадь поверхности сферы, радиус которой = 6 см.

• Дано:
• сфера
• R = 6 см
• Найти:
• Sсф = ?

• Решение:
• Sсф = 4πR2
• Sсф = 4π 62 = 144π см2
• Ответ: Sсф = 144π см2

Обобщение

• определением сферы, шара;
• уравнение сферы;
• взаимное расположение сферы и плоскости;
• площадь поверхности сферы.