Конспект урока "Теорема синусов. Решение треугольников" 9 класс
Тема урока: «Теорема синусов. Решение треугольников»
(Учебник «Геометрия» А. В. Погорелов. 9класс)
Цели урока:
• Обучающие:
-систематизировать знания по применению теоремы косинусов при решении
задач;
-формировать умения оперировать ранее полученными знаниями для
доказательства новой теоремы, рассуждать по аналогии, обобщать и делать
выводы;
-научить применять полученные знания при решении задач.
• Развивающие:
-развивать образное мышление, способствующее наиболее успешному
освоению сложного материала;
- развивать логическое мышление при решении геометрических задач.
• Воспитывающие:
- пробудить интерес к изучению геометрии;
- прививать навыки самопознания, самообучения.
Ход урока.
I.Оргмомент
- Наш урок хотелось бы начать словами великого поэта:
«Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии»
(А.С. Пушкин)
На прошлом уроке мы попытались творчески подойти к запоминанию
теоремы косинусов. Тем самым проиллюстрировали слова А.С. Пушкина,
что к сложному геометрическому материалу всегда можно подобрать свой
«ключик», с помощью которого нам станут доступны любые познания,
только для этого нужно иметь большое желание и вдохновение.
II. Проверка усвоения ранее пройденного материала
1.Давайте вспомним, как мы с вами попытались «примерить» теорему
косинусов к прямоугольному треугольнику. Что у нас получилось?
c
2
=a
2
+b
2
+ 2ab cosɤ, так как ɤ=90˚, то cos 90˚=0
c
2
=a
2
+b
2
+0
c
2
=a
2
+b
2
– теорема Пифагора
Объясните постановку знаков «±» в теореме косинусов.
1ученик: Жила-была гипотенуза, лежала под крышей своего дома и
радовалась (рис.1-а), что свою длину легко может найти с помощью
прямоугольной крыши, т.е. c
2
=a
2
+b
2
Решила она поменять крышу на высокую (рис.1-б) с острым углом.
Лежит гипотенуза и думает: «А вдруг ветер подует, крышу разрушит и меня
раздавит, а затраты на высокую крышу большие. Чтобы вернуться к
прежнему размеру, нужно крышу укоротить».
c
2
=a
2
+b
2
- 2ab cosɤ (рис.1-в)
Опять гипотенуза не унимается: «А если крышу с тупым углом
сделать(рис. 1-г)?» Примерила к себе, и видит, что неудобно, тесно под
такой крышей. Поэтому решила, что срочно прибавлять нужно, поднимать
крышу: c
2
=a
2
+b
2
+ 2ab cosɤ.(рис.1-д)
Вывод: С тех пор, если угол противолежащий стороне острый, то 2ab
cosɤ отнимают, а если угол тупой, то 2ab cos ɤ прибавляют.
2 ученик: (рис.2)
cos (180˚-α)= - cos α
c
2
=a
2
+b
2
-2ab cos (180˚-α) = c
2
=a
2
+b
2
-2ab(-cos α) = a
2
+b
2
+2ab cos ɤ.
Вывод: Если градусная мера угла больше 90˚, то в теореме знак минус
меняется на плюс.
2. Перед вами различные треугольники. В каких случаях мы сможем
применить теорему косинусов и что с помощью нее мы сможем найти?
(Рис.3)
Учащиеся устно обосновывают свой выбор (рис.3-а,в,г), записывают
формулы вычисления стороны или угла.
Вывод: Для применения теоремы косинусов необходимы следующие
данные:
-величины трех сторон;
-две стороны и угол между ними.
В задаче (рис.3-б) нет необходимого набора данных, позволяющих
решить задачу. Как же быть в этом случае? (Можно решить задачу с
использованием синуса угла, если в треугольнике провести высоту).
III. Работа над новым материалом
Сегодня на уроке нам предстоит познакомиться еще с одной теоремой,
применение которой возможно при решении задач, в которых необходимо
найти стороны или углы треугольника.
1.Теорема (синусов): стороны треугольника пропорциональны
синусам противолежащих углов.
sinsinsin
cba
Как вы думаете, что лежит в основе доказательства данной теоремы?
(Работа с прямоугольным треугольником, так как нахождение синус угла
изучалось при работе с прямоугольным треугольником). Какие треугольники
мы знаем? (прямоугольные, остроугольные, тупоугольные). Изобразите все
эти три вида. Как находится синус острого угла в прямоугольном
треугольнике?
sin α=
гипотенузу
катет
(противолежащий)
В прямоугольном треугольнике: sin α=
c
a
или c=
sin
a
Почему отношение катета к противолежащему углу у нас получилось равно
гипотенузе (с)? (По теореме синусов:
sin
a
=
sin
с
.) Как объяснить наше
равенство? (sin 90˚=1)
1
с
=
sin
a
2. Давайте рассмотрим остроугольный треугольник (рис.4-а). Какие
преобразования необходимо выполнить, чтобы найти путь к доказательству
теоремы? (Провести высоту, получатся два прямоугольных треугольника).
Чем является высота в этих треугольниках? (Высота является общей
стороной (катетом))
Катет = гипотенуза∙sin (противолежащего угла)
∆ ВDC: h=a∙ sin β
∆ CDA: h=b∙ sin α
а ∙sin β=b∙ sin α,
sin
a
=
sin
b
Аналогичные действия выполняются, если высота будет проведена к
другой стороне треугольника. В результате мы получим доказательство
теоремы:
sinsinsin
cba
3. В тупоугольном треугольнике попытайтесь прийти к доказательству
самостоятельно (рис.4-б).
4.Проверка доказательства теоремы для тупоугольного треугольника.
Какие дополнительные знания потребовались вам для доказательства?
(понятие смежного угла и его свойство; sin(180˚-α)=sin α)
5.Давайте данную теорему рассмотрим иначе, как интересную сказку.
Ведь не забывайте:
«Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей
скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить
приключение».
(В. Произволов)
Прежде чем начать нашу историю, необходимо еле заметными
линиями начертить остроугольный треугольник и обозначить все стороны и
углы (чтобы избежать дальнейшей буквенной путаницы) (рис.5-а). Наша
история начинается:
Жил-был катет. Хорошо жил, так как у него был обогреватель марки
«sinɤ», который обогревал его от пяток до головы. Особенно катету нравился
самый длинный тепловой лучик, который ласково гладил его по голове,
согревал голову (рис.5-б). Он даже имя ему дал «а». И так у катета вся жизнь
была связана с лучиком и обогревателем.
Катет = а∙ sinɤ
Однажды катет задумался: «А нельзя ли еще приобрести себе
обогреватель? А то нос мерзнет». Купил он новый обогреватель марки «sin
α», подключил его и не нарадуется. Теперь самый длинный лучик ему и нос
согрел, а в благодарность лучик получил имя «с» (рис.5-в).
c sin α= Катет = а sinɤ
Живет катет, в лучах обогревателя наслаждается теплом. Обогреватели
его не только согрели со всех сторон, а и насквозь всего прогрели (рис.5-г).
Прошли тепловые лучи сквозь катет и разделили друг друга на части. Так
обогреватель марки «sin α» поделил драгоценный лучик «a» на части, а
«sinɤ» - поделил «с» С тех пор
sinsinsin
cba
Сказка ложь, да в ней намек, добрым молодцам урок!
Если сложно запомнить трудную информацию, попытайтесь творчески
подойти к ее запоминанию, а для этого можно придумать свою
увлекательную историю.
IV. Закрепление материала
Давайте рассмотрим, в каких случаях уместно применение теоремы
синусов, для этого мы должны знать:
-две стороны и угол, лежащий напротив одной из них;
-два угла и сторону, лежащую напротив одного из них
Вернемся к треугольникам, которые были предложены в начале урока.
Треугольник, изображенный на рисунке 3-б, не был использован, так как
применить в решении теорему косинусов мы не смогли. Возможно ли в этом
случае применить теорему синусов? Каким образом? Что мы сможем найти в
этом случае? (найдем угол α, затем сможем найти угол ɤ и сторону с)
Решение данной задачи у доски с подробным комментированием.
V. Обобщение
Давайте вспомним, какой путь в познании материала мы проделали,
пока достигли теоремы синусов. Рисуется лестница (рис.6), ведущая к
теореме, и вспоминается изученный материал.
VI.Домашнее задание
Теорема синусов с доказательством, решить задачу (рис.3-в) с
использованием теоремы синусов
VII. Рефлексия
Оцени качество своих познаний на уроке с помощью смайликов (рис.7):
А) Все легко и понятно
Б) Кажется, что-то понял
В) Трудно, ничего не понял
Смайлики вывешиваются на доске при выходе из класса.
Приложение
Рис. 2
В С
В В В
А
А С А С А С
а) б) в) г)
Рис.3
6
7
20
8
75
60˚
35
120˚
40˚
7
23
130˚
а)
б)
а
в
с
а
в
с
с
- 2ab cosɤ
в)
г)
д)
+ 2ab cosɤ
Рис.1
а) б)
Рис.4
Рис.5
а
sin ɤ
б)
в)
sin ɤ
а
с
sin α
а)
г)
с
а
sin ɤ
sin α
Рис.6
Все легко и понятно
Кажется, что-то понял
Трудно, ничего не понял
Рис.7
прямоугольный
треугольник
Sin α
Sin (180˚-α) = sin α
Таблица
В.М. Брадиса
Теорема
синусов
