Презентация "Сферическая тригонометрия"

Содержание

I. Введение

II.Основная часть

1. Сферика и сферическая тригонометрия в древности

2. Геометрия Лобачевского

2.1. Лобачевский Н.И.

2.2. 5 постулат сферической тригонометрии

3. Начальные понятия сферической геометрии

4.Соответствие между сферической геометрией и планиметрией

5. Сферическая тригонометрия

6. Площади сферических многоугольников и формула Эйлера

7. Применения сферической геометрии в навигации

8. Картографические проекции

III. Заключение

IV. Список использованной литературы

ВВЕДЕНИЕ

«Напрасное старание со времен Евклида в продолжении

двух тысяч лет заставило меня подозревать,

что в самих понятиях еще не заключается той истины,

которую хотели доказать и которую проверить,

подобно другим физическим законам, могут лишь опыты,

каковы, например, Астрономические наблюдения.

В справедливости моей догадки будучи наконец убежден и

почитая затруднительный вопрос решенным вполне,

писал об этом я рассуждение в 1826 году».

(Лобачевский Н.И.)

Цели:

• 1.Показать историю зарождения, и продвижение

«сферической тригонометрии» как науки,

на протяжении большого отрезка времени.

• 2.Описать биографию Лобачевского и привести его заслуги в

науке.

• 3.Сравнение «сферической геометрии» с планиметрией.
• 4.Показать значимость этой науки в практической сфере.

СФЕРИКА  И  СФЕРИЧЕСКАЯ  ТРИГОНОМЕТРИЯ  В  ДРЕВНОСТИ  И

НА  СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ.

ЕВКЛИД (умер между 275 и 270 до н. э.), древнегреческий математик. Работал в Александрии в 3 в. до н. э. Главный труд «Начала» (15 книг), содержащий основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов, оказал огромное влияние на развитие математики. Работы по астрономии, оптике, теории музыки.

Из всех древних сочинений о сферике наибольшую роль в истории науки сыграла «Сферика» Менелая, работавшего в Александрии в I в. н. э. и обобщившего все результаты, которые были получены в этой области до него. В его сочинении не только изложена геометрия на сфере, но впервые введен сферический треугольник, последовательно доказаны теоремы, служившие базой сферической тригонометрии, и создана теоретическая основа для тригонометрических вычислений [5, 15].

Сведения о жизни Менелая крайне скудны. Известно, что в 98 г. он производил

астрономические наблюдения в Риме. «Сферика», его основное произведение, в греческом

оригинале не сохранилась и известна лишь по средневековым арабским переводам.

Теорема Менелая для плоского случая формулируется следующим образом: пусть даны

взаимно пересекающиеся прямые AB, AC, BE и CD, образующие фигуру ACGB (рис.);

тогда имеют место соотношения:

 СЕ / АЕ = СG / DG *  DB / AB,   CA / AE = CD / DG *  GB / BE

Для сферического случая в теореме фигурируют,   как   было принято в греческой тригонометрии,

хорды удвоенных дуг. Если дана фигура ACGB (рис.), образованная дугами больших кругов на

поверхности сферы, то справедливы соотношения:

хорда(2СЕ) / хорда(2АЕ) =  хорда(2CG) / хорда(2DG) *  хорда(2DB) / хорда(2АВ)

хорда(2АС) / хорда(2АЕ) =  хорда(2CD) / хорда(2DG) * хорда(2GB) / хорда(2ВЕ)

ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО

Лобачевский Николай Иванович (1792-1856), русский математик, создатель неевклидовой геометрии (геометрии Лобачевского). Ректор Казанского университета (1827-46). Открытие Лобачевского (1826, опубликованное 1829-30), не получившее признания современников, совершило переворот в представлении о природе пространства, в основе которого более 2 тыс. лет лежало учение Евклида, и оказало огромное влияние на развитие математического мышления. Труды по алгебре, математическому анализу, теории вероятностей, механике, физике и астрономии.

НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ

ГЕОМЕТРИИ.

Сферой радиуса R>0 с центром в точке О называется множество точек пространства, удаленных от точки О на расстояние R.

Рис.1 Рис.2

СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ СФЕРИЧЕСКОЙ

ГЕОМЕТРИЕЙ И ПЛАНИМЕТРИЕЙ

В планиметрии понятие прямой не определяется — это первичное понятие геометрии плоскости. Требуется, однако, чтобы для прямых на плоскости выполня­лись некоторые аксиомы. Выясним, какие из этих аксиом будут справедливы в сферической геомет­рии—для сферических прямых.

Конечно, аксиома, гласящая, что каждая прямая есть мно­жество точек, в сферической геометрии выполняется — большие окружности суть множества точек. Однако уже со следующей аксиомой: для любых двух точек А и В существует единствен­ная содержащая эти точки прямая — дело обстоит сложнее. Ес­ли точки А и В сферы не являются диаметрально противопо­ложными, то это предложение верно (объясните почему), но для диаметрально противоположных точек А и В существует бесконечно много сферических прямых, содержащих эти точки: пересечение сферы с

любой плоскостью, содержащей диаметр АВ, даст такую прямую. Можно сказать, что эта аксиома «поч­ти» выполняется на сфере. Оговорка «почти» приводит к замеча­тельным следствиям.

Т е о р е м а . Любые две различные прямые на сфере (т. е. противоположных точках сферы.

Доказательство. Если α и β — плоскости двух различных больших окружностей на сфере (О, R), то 0ϵα и Oϵβ, поэтому α и β пересекаются по некоторой прямой l, проходящей через центр сферы. Прямая l пересекается со сферой в двух диаметрально противоположных точках, которые и будут об­щими точками рассматриваемых больших окружностей.

СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ

Длины сторон и величины углов произвольного треугольника па плоскости связаны между собой определенными соотношениями, важнейшие из которых называются теоремами косинусов и синусов:

c2=a2+b2-2ab cos^C,

a/sin^A = b/sin^B = c/sin^C.

Теорема косинусов сферической тригонометрии

cosγ = cosαcosβ+sinαsinβcos^C.

Теорема Эйлера.

Если В — число вершин произ­вольного выпуклого многогранника, Р — число его ребер, Г — число граней, то эти числа всегда связаны соотношением

В—Р + Г = 2

ПРИМЕНЕНИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В НАВИГАЦИИ И КАРТОГРАФИИ

Навигация (это слово происходит от латинского navigatio — плыву на судне) — одна из наиболее древних наук. Простейшие задачи навигации, такие, например, как определение кратчай­шего маршрута, выбор направления движения, встали перед са­мыми первыми мореплавателями. В настоящее время эти же и другие задачи приходится решать не только морякам, но и летчикам, и космонавтам.

Хотя- ортодромия и является кратчайшим путем на сфере, самолеты и корабли движутся иными маршрутами. Дело в том, что ортодромия, отличная от дуги меридиан;! или экватора, пересекает различные меридианы под различными углами, и, следовательно, при движении по ортодромии приходится непре­рывно менять курс. Это, конечно, практически неосуществимо. Намного проще плавать по постоянному курсу. Кривые, которые пересекают все ме­ридианы под постоянным углом, называют локсо­дромиями (в переводе «косой бег»). На рисунке 15 показана локсодро­мия, пересекающая все меридианы под углом 70°. Конечно, при движении по локсодромиям путь удлиняется. Но если пунк­ты А и В находятся сравнительно близко друг от друга, то удлинение пути по сравнению с движени­ем по ортодромии А В довольно незначительно.

ортодромия

локсодромия

При решении многих практических задач Землю удобно считать шаром. Уменьшая этот шар пример­но в 10 млн. раз и изображая очертания материков и океанов, озер и рек и т. д., получим глобус. Но пользоваться глобусом далеко не всегда удобно. Основная задача картографии состоит в возможно более точном изображении поверхности глобуса на плоскости. При этом возникает целый ряд трудностей, которые вынуждают искать самые разные способы изображения карт.

Основную причину этих трудностей можно увидеть на на­глядном примере. Как бы мы ни пытались наложить сколь угодно малый кусочек резинового мяча или шарика для игры в пинг-понг на поверхность стола, это никак не удается сделать без разрывов, растяжений или налегания отдельных частей друг на друга. На языке математики это означает:

Если подмножество ω сферы содержит сфери­ческий сегмент, то ω нельзя отобразить на плоскую фигуру с сохранением расстояний.

Карту, выполненную в меркаторской проекции, можно полу­чить и без предварительного стереографического проектирова­ния. Покажем, например, как изготовить такую карту приэкваториальных областей Земли.

Этот способ основан на том, что цилиндрические поверхно­сти можно развернуть на плоскость. Рассмотрим цилиндр с осью l, касающийся глобуса. Срезав полярные области, можно оставшуюся часть сферы спроектировать из ее центра на по­верхность цилиндра. Разрежем цилиндрическую поверхность по образующей и развернем ее на плоскость (рис.22). Очевидно, что в результате сетка параллелей и меридианов отображается на прямоугольную сетку. Правда, углы при этом не сохраняют­ся, но можно получить и конформное отображение участка сфе­ры на плоскость — меркаторскую проекцию. Этот вид картографических проекций называют также цилиндрической равно­угольной проекцией.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

• Исаев А. Геометрия Лобачевского
• Матвиевская Г.П. Сферика и сферическая тригонометрия в древности и

на  средневековом востоке; 1979 г.

• Рудников В.А Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия; 2006г.
• Шварцбург С.И. Избранные вопросы математики; 1980 г.