Конспект урока "Влияние коэффициентов а, b и с на расположение графика квадратичной функции" 9 класс
У р о к 17.
Влияние коэффициентов а, b и с на расположение
графика квадратичной функции
Цели: продолжить формирование умения строить график квадратичной функции и перечислять ее
свойства; выявить влияние коэффициентов а, b и с на расположение графика квадратичной функции.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Определите, график какой функции изображен на рисунке:
а)
у = х
2
– 2х – 1;
у = –2х
2
– 8х;
у = х
2
– 4х – 1;
у = 2х
2
+ 8х + 7;
у = 2х
2
– 1.
б)
у = х
2
– 2х;
у = – х
2
+ 4х + 1;
у = –х
2
– 4х + 1;
у = –х
2
+ 4х – 1;
у = – х
2
+ 2х – 1.
III. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. № 127 (а).
2. № 129.
1
2
1
2
1
2
Р е ш е н и е
Прямая у = 6х + b касается параболы у = х
2
+ 8, то есть имеет с ней только одну общую точку в том
случае, когда уравнение 6х + b = х
2
+ 8 будет иметь единственное решение.
Это уравнение является квадратным, найдем его дискриминант:
х
2
– 6х + 8 + b = 0;
D
1
= 9 – (8 – b) = 1 + b;
D
1
= 0, если 1 + b = 0, то есть b = –1.
О т в е т: b = –1.
3. Выявить влияние коэффициентов а, b и с на расположение графика функции у = ах
2
+ bх + с.
Учащиеся обладают достаточными знаниями, чтобы выполнить это задание самостоятельно.
Следует предложить им все полученные выводы занести в тетрадь, при этом выделив «основную»
роль каждого из коэффициентов.
1) Коэффициент а влияет на направление ветвей параболы: при а > 0 – ветви направлены вверх, при а
< 0 – вниз.
2) Коэффициент b влияет на расположение вершины параболы. При b = 0 вершина лежит на оси оу.
3) Коэффициент с показывает точку пересечения параболы с осью ОУ.
После этого можно привести пример, показывающий, что можно сказать о коэффициентах а, b и с по
графику функции.
Значение с можно назвать точно: поскольку график пересекает ось ОУ в точке (0; 1), то с = 1.
Коэффициент а можно сравнить с нулем: так как ветви параболы направлены вниз, то а < 0.
Знак коэффициента b можно узнать из формулы, определяющей абсциссу вершины параболы: т =
, так как а < 0 и т = 1, то b> 0.
4. Определите, график какой функции изображен на рисунке, опираясь на значение коэффициентов а,
b и с.
а)
у = –х
2
+ 2х;
у = х
2
+ 2х + 2;
у = 2х
2
– 3х – 2;
у = х
2
– 2.
Р е ш е н и е
По изображенному графику делаем следующие выводы о коэффициентах а, b и с:
а > 0, так как ветви параболы направлены вверх;
b ≠ 0, так как вершина параболы не лежит на оси ОУ;
с = –2, так как парабола пересекает ось ординат в точке (0; –2).
Всем этим условиям удовлетворяет только функция у = 2х
2
– 3х – 2.
б)
у = х
2
– 2х;
у = –2х
2
+ х + 3;
у = –3х
2
– х – 1;
у = –2,7х
2
– 2х.
Р е ш е н и е
По изображенному графику делаем следующие выводы о коэффициентах а, b и с:
а < 0, так как ветви параболы направлены вниз;
2
b
а
1
2
b ≠ 0, так как вершина параболы не лежит на оси ОУ;
с = 0, так как парабола пересекает ось ОУ в точке (0; 0).
Всем этим условиям удовлетворяет только функция у = –2,7х
2
– 2х.
5. По графику функции у = ах
2
+ bх + с определите знаки коэффициентов а, b и с:
а) б)
Р е ш е н и е
а) Ветви параболы направлены вверх, поэтому а > 0.
Парабола пересекает ось ординат в нижней полуплоскости, поэтому с < 0. Чтобы узнать знак
коэффициента b воспользуемся формулой для нахождения абсциссы вершины параболы: т = .
По графику видно, что т < 0, и мы определим, что а > 0. Поэтому b > 0.
б) Аналогично определяем знаки коэффициентов а, b и с:
а < 0, с > 0, b < 0.
Сильным в учебе учащимся можно дать дополнительно выполнить № 247.
Р е ш е н и е
у = х
2
+ рх + q.
а) По теореме Виета, известно, что если х
1
и х
2
– корни уравнения х
2
+
+ рх + q = 0 (то есть нули данной функции), то х
1
· х
2
= q и х
1
+ х
2
= –р. Получаем, что q = 3 · 4 = 12 и р = –
(3 + 4) = –7.
б) Точка пересечения параболы с осью ОУ даст значение параметра q, то есть q = 6. Если график
функции пересекает ось ОХ в точке (2; 0), то число 2 является корнем уравнения х
2
+ рх + q = 0.
Подставляя значение х = 2 в это уравнение, получим, что р = –5.
2
b
а
в) Своего наименьшего значения данная квадратичная функция достигает в вершине параболы,
поэтому , откуда р = –12. По условию значение функции у = х
2
– 12х + q в точке x = 6 равно
24. Подставляя x = 6 и у = 24 в данную функцию, находим, что q = 60.
IV. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Постройте график функции у = 2х
2
+ 4х – 6 и найдите, используя график:
а) нули функции;
б) промежутки, в которых у > 0 и y < 0;
в) промежутки возрастания и убывания функции;
г) наименьшее значение функции;
д) область значения функции.
2. Не строя график функции у = –х
2
+ 4х, найдите:
а) нули функции;
б) промежутки возрастания и убывания функции;
в) область значения функции.
3. По графику функции у = ах
2
+ bх + с определите знаки коэффициентов а, b и с:
В а р и а н т 2
1. Постройте график функции у = –х
2
+ 2х + 3 и найдите, используя график:
а) нули функции;
б) промежутки, в которых у > 0 и y < 0;
в) промежутки возрастания и убывания функции;
6
2
p
г) наибольшее значение функции;
д) область значения функции.
2. Не строя график функции у = 2х
2
+ 8х, найдите:
а) нули функции;
б) промежутки возрастания и убывания функции;
в) область значения функции.
3. По графику функции у = ах
2
+ bх + с определите знаки коэффициентов а, b и с:
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Опишите алгоритм построения квадратичной функции.
– Перечислите свойства функции у = ах
2
+ bх + с при а > 0 и при а < 0.
– Как влияют коэффициенты а, b и с на расположение графика квадратичной функции?
Домашнее задание: № 127 (б), № 128, № 248.
Д о п о л н и т е л ь н о: № 130.
