Контрольные и самостоятельные работы по геометрии для 10-11 классов
Контрольные и самостоятельные работы
по геометрии
для 10-11 классов
средней (полной) общеобразовательной школы
Подготовила
учитель математики
МБОУ Алексеево-Лозовская СОШ
Шконда И.А.
2014– 2015 учебный год
* Алексеево-Лозовская средняя общеобразовательная школа.
Кабинет математики
* Рабочая программа по геометрии. 10-11 класс.
Учитель высшей категории И. А. Шконда
2
.
Контрольные и самостоятельные работы по всем темам курса геометрии 10-11 го класса.
Контрольные и самостоятельные работы по всем темам курса геометрии 10-11 го класса средней
общеобразовательной школы разработаны в двух вариантах.( по УМК Л.С. Атанасян; мет.
пособие С.М.Саакян, В.Ф.Бутузов) Общее число контрольных работ в 10 классе – 4;
самостоятельных работ 6. В 11 классе число контрольных работ– 5; самостоятельных работ -5.
Время, отводимое на каждую контрольную работу, – 1 час; самостоятельную работу 15-20
минут.
Контрольные работы 10 класс
1. Контрольная работа № 1 «Параллельность прямой и плоскости».
2. Контрольная работа № 2. «Параллельность плоскостей».
3. Контрольная работа № 3 «Перпендикулярность прямых и плоскостей».
4. Контрольная работа № 4 «Многогранники».
Самостоятельные работы 10 класс
1. Самостоятельная работа № 1«Аксиомы стереометрии и их следствия»
2. Самостоятельная работа № 2«Параллельность прямых; прямой и плоскости
3. Самостоятельная работа № 3«Перпендикулярность прямой и плоскости»
4. Самостоятельная работа № 4 « Перпендикуляр и наклонная»
5. Самостоятельная работа № 5«Понятие многогранника. Призма»
6. Самостоятельная работа № 6«Пирамида»
11 класс
1. Контрольная работа № «Координаты точки и координаты вектора»
2. Контрольная работа № 2 «Скалярное произведение векторов. Движения»
3. Контрольная работа № 3 «Цилиндр, конус и шар»
4. Контрольная работа № «Объём призмы, цилиндра, пирамиды и конуса»
5. Контрольная работа № 5 «Объём шара и площадь сферы».
Самостоятельные работы 11 класс
1. Самостоятельная работа № 1 «Координаты точки и координаты вектора».
2. Самостоятельная работа № 2 «Скалярное произведение векторов».
3. Самостоятельная работа № 3 «Цилиндр».
4. Самостоятельная работа № 4 «Объём прямоугольного параллелепипеда».
5. Самостоятельная работа № 5 «Объём наклонной призмы, пирамиды и конуса».
Литература:
1. Геометрия 10-11. Авторы: А.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.В. Кадомцев .
2. Изучение геометрии в 10-11 классах. Авторы: С.М.Саакян, В.Ф. Бутузов
* Алексеево-Лозовская средняя общеобразовательная школа. Кабинет математики
* Рабочая программа по геометрии. 10-11 класс. Учитель высшей категории И. А. Шконда
3
Контрольные и самостоятельные работы по геометрии в 10 классе
Контрольная работа № 1
«Параллельность прямой и плоскости»
ВАРИАНТ 1
ВАРИАНТ 2
1. Основание AD трапеции ABCD лежит в плоскости α. Через
точки В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α
в точках E и F соответственно.
а) Каково взаимное расположение прямых EF и АВ?
б) Чему равен угол между прямыми EF и АВ, если угол АВС
равен 150
0
? Ответ обоснуйте.
2. Дан пространственный четырёхугольник ABCD, в котором
диагонали АС и BD равны. Середины сторон этого четырёхугольника
соединены последовательно отрезками.
а) Выполните рисунок к задаче.
б) Докажите, что полученный четырёхугольник – ромб.
1. Треугольники АВС и ADC лежат в разных плоскостях и имеют
общую сторону АС. Точка Р – середина стороны AD, точка К – середина
DC.
а) Каково взаимное расположение прямых РК и АВ?
б) Чему равен угол между прямыми РК и АВ, если угол АВС
равен 40
0
и угол ВСА равен 80
0
? Ответ обоснуйте.
2. Дан пространственный четырёхугольник ABCD, М и N –
середины сторон АВ и ВС соответственно, точка Е принадлежит стороне
CD, точка К принадлежит стороне DA, DE : EC = 1 : 2, DK : KA = 1 : 2.
а) Выполните рисунок к задаче.
б) Докажите, что четырёхугольник MNEK – трапеция.
Контрольная работа № 2
«Параллельность прямых и плоскостей»
ВАРИАНТ 1
ВАРИАНТ 2
1. Прямые a и b лежат в параллельных плоскостях α и β. Могут
ли эти прямые быть: а) параллельными; б) скрещивающимися? Сделайте
рисунок для каждого возможного случая.
2. Через точку О, лежащую между параллельными плоскостями α
и β, проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскости α и β в
точках А
1
и А
2
соответственно, прямая m – в точках В
1
и В
2
. Найдите
длину отрезка А
2
В
2
, если А
1
В
1
= 12 см, В
1
О : ОВ
2
= 3 : 4.
3. Изобразите параллелепипед ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
и постройте его
сечение плоскостью, проходящей через точки M, N и К, являющиеся
серединами рёбер АВ, ВС и DD
1
.
1. Прямые a и b лежат в пересекающихся плоскостях α и β. Могут
ли эти прямые быть: а) параллельными; б) скрещивающимися? Сделайте
рисунок для каждого возможного случая.
2. Через точку О, лежащую между параллельными плоскостями α
и β, проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскости α и β в
точках А
1
и А
2
соответственно, прямая m – в точках В
1
и В
2
. Найдите
длину отрезка А
1
В
1
,если А
2
В
2
= 15 см, ОВ
1
: ОВ
2
= 3 : 5.
3. Изобразите тетраэдр DABC и постройте его сечение
плоскостью, проходящей через точки M и N , являющиеся серединами
рёбер DС и ВС, и точку К, принадлежащую прямой DA, такую, что АК :
КD = 1 : 3.
Контрольная работа № 3
«Перпендикулярность прямых и плоскостей»
* Алексеево-Лозовская средняя общеобразовательная школа. Кабинет математики
* Рабочая программа по геометрии. 10-11 класс. Учитель высшей категории И. А. Шконда
4
ВАРИАНТ 1
ВАРИАНТ 2
1. Диагональ куба равна 6 см. Найдите:
а) ребро куба;
б) косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из
его граней.
2. Сторона AB ромба ABCD равна а, один из углов ромба равен
60
0
. Через сторону AB проведена плоскость α на расстоянии а/2 от точки
D.
а) Найдите расстояние от точки С до плоскости α.
б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла DАВМ,
где М принадлежит плоскости α.
в) Найдите синус угла между плоскостью ромба и плоскостью α.
1. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит
квадрат, диагональ параллелепипеда равна см, а его измерения
относятся как 1 : 1 : 2. Найдите:
а) измерения параллелепипеда;
б) синус угла между диагональю параллелепипеда и
плоскостью его основания.
2. Сторона квадрата ABCD равна а. Через сторону AD
проведена плоскость α на расстоянии а/2 от точки В.
а) Найдите расстояние от точки С до плоскости α.
б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла
ВАDМ, где М принадлежит плоскости α.
в) Найдите синус угла между плоскостью квадрата и
плоскостью α.
Контрольная работа № 4
«Многогранники»
ВАРИАНТ 1
ВАРИАНТ 2
1. Основанием пирамиды DABC является правильный треугольник
ABC, сторона которого равна а. Ребро DА перпендикулярно к плоскости
ABC, а плоскость BCD составляет с плоскостью ABC угол 30
0
. Найдите
площадь боковой поверхности пирамиды.
2. Основанием прямого параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
является
ромб ABCD, сторона которого равна а и угол равен 60
0
. Плоскость АC
1
D
1
составляет с плоскостью основания угол 60
0
. Найдите:
а) высоту ромба;
б) высоту параллелепипеда;
в) площадь боковой поверхности параллелепипеда;
г) площадь поверхности параллелепипеда.
1. Основанием пирамиды МABCD является квадрат ABCD,
ребро МD перпендикулярно к плоскости основания, AD = DМ = а.
Найдите площадь поверхности пирамиды.
2. Основанием прямого параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
является параллелограмм ABCD, стороны которого равны 2а и ,
острый угол равен 45
0
. Высота параллелепипеда равна меньшей высоте
параллелограмма. Найдите:
а) меньшую высоту параллелограмма;
б) угол между плоскостью АВС
1
и плоскостью основания;
в) площадь боковой поверхности параллелепипеда;
г) площадь поверхности параллелепипеда.
Самостоятельная работа № 1
«Аксиомы стереометрии и их следствия»
62
2a
* Алексеево-Лозовская средняя общеобразовательная школа. Кабинет математики
* Рабочая программа по геометрии. 10-11 класс. Учитель высшей категории И. А. Шконда
5
ВАРИАНТ 1
ВАРИАНТ 2
1. Даны четыре точки, из которых три лежат на одной прямой.
Верно ли утверждение, что все четыре точки лежат в одной плоскости?
Ответ обоснуйте.
2. а) Докажите, что все вершины четырёхугольника ABCD лежат
в одной плоскости, если его диагонали АС и BD пересекаются.
б) Вычислите площадь четырёхугольника, если его диагонали
АС и BD взаимно перпендикулярны, АС = 10 см, BD = 12 см.
1. Даны две пересекающиеся прямые. Верно ли утверждение, что
все прямые, пересекающие данные, лежат в одной плоскости? Ответ
обоснуйте.
2. а) Дан прямоугольник ABCD, О – точка пересечения его
диагоналей. Известно, что точки А, В и О лежат в плоскости α.
Докажите, что точки С и D также лежат в плоскости α.
б) Вычислите площадь прямоугольника, если АС = 8 см, <
АОВ = 60
0
.
Самостоятельная работа № 2
«Параллельность прямых, прямой и плоскости»
ВАРИАНТ 1
ВАРИАНТ 2
Дан треугольник АВС, Е є АВ, К є ВС,
ВЕ : ВА = ВК : ВС = 2 : 5.
Через прямую АС проходит плоскость α,
не совпадающая с плоскостью треугольника АВС.
а) Докажите, что ЕК || α.
б) Найдите длину отрезка АС, если ЕК = 4 см
Дан треугольник АВС, М є АВ, К є ВС,
ВМ : МА = 3 : 4.
Через прямую МК проходит плоскость α,
параллельная прямой АС.
а) Докажите, что ВС : ВК = 7 : 3.
б) Найдите длину отрезка МК, если АС = 14 см.
* Алексеево-Лозовская средняя общеобразовательная школа. Кабинет математики
* Рабочая программа по геометрии. 10-11 класс. Учитель высшей категории И. А. Шконда
6
Самостоятельная работа № 3
«Перпендикулярность прямой и плоскости»
ВАРИАНТ 1
ВАРИАНТ 2
1. Прямая АВ перпендикулярна плоскости α, М и К –
произвольные точки плоскости α. Докажите, что АВ перпендикулярна
прямой МК.
2. Треугольник АВС правильный, точка О – его центр. Прямая ОМ
перпендикулярна к плоскости АВС.
а) Докажите, что МА = МВ = МС.
б) Найдите МА, если АВ = 6 см, МО = 2 см.
1. Прямая МА перпендикулярна к плоскости треугольника АВС.
Докажите, что МА перпендикулярна прямой ВС.
2. Четырёхугольник АВСD – квадрат, точка О – его центр.
Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости квадрата.
а) Докажите, что МА = МВ = МС = MD.
б) Найдите МА, если АВ = 4 см, ОМ = 1 см
Самостоятельная работа № 4
«Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью»
ВАРИАНТ 1
ВАРИАНТ 2
Из точки М проведён перпендикуляр МВ, равный 4 см, к плоскости
прямоугольника АВСD. Наклонные МА и МС образуют с плоскостью
прямоугольника углы 45
0
и 30
0
соответственно.
а) Докажите, что треугольники МАD и МСD прямоугольные.
б) Найдите стороны прямоугольника.
в) Докажите, что треугольник ВDС является проекцией
треугольника МDС на плоскость прямоугольника, и найдите его площадь.
Из точки М проведён перпендикуляр МD, равный 6 см, к
плоскости квадрата АВСD. Наклонная МВ образует с плоскостью
квадрата угол 60
0
.
а) Докажите, что треугольники МАВ и МСВ прямоугольные.
б) Найдите сторону квадрата.
в) Докажите, что треугольник АВD является проекцией
треугольника МАВ на плоскость квадрата, и найдите его площадь.
* Алексеево-Лозовская средняя общеобразовательная школа. Кабинет математики
* Рабочая программа по геометрии. 10-11 класс. Учитель высшей категории И. А. Шконда
7
Самостоятельная работа № 5
«Понятие многогранника. Призма»
ВАРИАНТ 1
ВАРИАНТ 2
Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна а,
диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 45
0
. Найдите:
а) диагональ призмы;
б) угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани;
в) площадь боковой поверхности призмы;
г) площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через
сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего
основания.
Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна а и
образует с плоскостью боковой грани угол 30
0
. Найдите:
а) сторону основания призмы;
б) угол между диагональю призмы и плоскостью основания;
в) площадь боковой поверхности призмы;
г) площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через
диагональ основания параллельно диагонали призмы.
Самостоятельная работа № 6
«Пирамида»
ВАРИАНТ 1
ВАРИАНТ 2
Высота правильной треугольной пирамиды равна , радиус
окружности, описанной около её основания, . Найдите:
а) апофему пирамиды;
б) угол между боковой гранью и основанием;
в) площадь боковой поверхности;
г) плоский угол при вершине пирамиды.
Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна ,
высота пирамиды равна . Найдите:
а) сторону основания пирамиды;
б) угол между боковой гранью и основанием;
в) площадь поверхности пирамиды;
г) расстояние от центра основания пирамиды до плоскости
боковой грани
3a
a2
a2
2a
* Алексеево-Лозовская средняя общеобразовательная школа. Кабинет математики
* Рабочая программа по геометрии. 10-11 класс. Учитель высшей категории И. А. Шконда
8
Контрольные и самостоятельные работы по геометрии в 11классе
Контрольная работа № 1
«Координаты точки и координаты вектора»
ВАРИАНТ 1
ВАРИАНТ 2
1. ВАРИАНТ 1
1. Найдите координаты вектора , если А(5; −1; 3), В(2; −2; 4).
2. Даны векторы . Найдите .
3. Изобразите систему координат Oxyz и постройте точку
А(1; −2; −4). Найдите расстояние от этой точки до координатных плоскостей.
1. Найдите координаты вектора , если С(6; 3; −2), D(2; 4; −5).
2. Даны векторы . Найдите .
3. Изобразите систему координат Oxyz и постройте точку
В(−2; −3; 4). Найдите расстояние от этой точки до координатных
плоскостей.
Контрольная работа № 2
«Скалярное произведение векторов. Движения»
ВАРИАНТ 1
ВАРИАНТ 2
1. Вычислите скалярное произведение векторов и , если
, угол между векторами и
равен 60
0
, .
2. Дан куб ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
. Найдите угол между прямыми AD
1
и
ВМ, где М – середина ребра DD
1
.
3. При движении прямая а отображается на прямую а
1
, а
плоскость α – на плоскость α
1
. Докажите, что, если а||α, то а
1
||α
1
.
1. Вычислите скалярное произведение векторов и , если
, , угол между векторами и
равен 60
0
, .
2. Дан куб ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
. Найдите угол между прямыми АС и
DC
1
.
3. При движении прямая а отображается на прямую а
1
, а
плоскость α – на плоскость α
1
. Докажите, что, если , то .
Контрольная работа № 3
«Цилиндр, конус и шар»
→
AB
3;4;1,2;1;3 −− cb
cb
−2
→
CD
4;2;3,2;1;5 −− ba
ba
2−
m
n
cbam
−+= 2
,3,2,2 ==−= baban
a
b
bcac
⊥⊥ ,
m
n
cbam
+−= 2
2,3,2 ==−= baban
a
b
bcac
⊥⊥ ,
⊥a
11
⊥a
* Алексеево-Лозовская средняя общеобразовательная школа. Кабинет математики
* Рабочая программа по геометрии. 10-11 класс. Учитель высшей категории И. А. Шконда
9
ВАРИАНТ 1
ВАРИАНТ 2
ВАРИАНТ 1
1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь основания
цилиндра равна см
2
. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
2. Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения
равен 120
0
. Найдите: а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей
через две образующие, угол между которыми равен 30
0
; б) площадь
боковой поверхности конуса.
3. Диаметр шара равен 2т. Через конец диаметра проведена плоскость
под углом 45
0
к нему. Найдите длину линии пересечения сферы этой
плоскостью
ВАРИАНТ 2
1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого
равна 4 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
2. Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая
наклонена к плоскости основания под углом 30
0
. Найдите: а)
площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две
образующие, угол между которыми равен 60
0
; б) площадь боковой
поверхности конуса.
3. Диаметр шара равен 4т. Через конец диаметра проведена
плоскость под углом 30
0
к нему. Найдите площадь сечения шара
этой плоскостью.
Контрольная работа № 4
«Объём призмы, цилиндра, пирамиды и конуса»
ВАРИАНТ 1
ВАРИАНТ 2
1. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а
двугранный угол при основании равен 60
0
. Найдите объём пирамиды.
2. В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит
прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий угол
равен 60
0
. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с
плоскостью её основания угол 45
0
. Найдите объём цилиндра.
1. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 6
см и составляет с плоскостью основания угол 60
0
. Найдите объём
пирамиды.
2. В конус вписана пирамида. Основанием пирамиды служит
прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий
угол равен 30
0
. Боковая грань пирамиды, проходящая через данный
катет, составляет с плоскостью основания угол 45
0
. Найдите объём
конуса.
16
* Алексеево-Лозовская средняя общеобразовательная школа. Кабинет математики
* Рабочая программа по геометрии. 10-11 класс. Учитель высшей категории И. А. Шконда
10
Контрольная работа № 5
«Объём шара и площадь сферы»
ВАРИАНТ 1
ВАРИАНТ 2
1. Диаметр шара равен высоте конуса, образующая которого
составляет с плоскостью основания угол 60
0
. Найдите отношение объёмов
конуса и шара.
2. Объём цилиндра равен см
3
, площадь его осевого сечения –
48 см
2
. Найдите площадь сферы, описанной около цилиндра.
1. В конус, осевое сечение которого есть правильный
треугольник, вписан шар. Найдите отношение площади сферы к
площади боковой поверхности конуса.
2. Диаметр шара равен высоте цилиндра, осевое сечение
которого есть квадрат. Найдите отношение объёмов шара и цилиндра.
96
* Алексеево-Лозовская средняя общеобразовательная школа. Кабинет математики
* Рабочая программа по геометрии. 10-11 класс. Учитель высшей категории И. А. Шконда
11
Самостоятельные работы 11класс
Самостоятельная работа № 1
«Координаты точки и координаты вектора»
ВАРИАНТ 1
ВАРИАНТ 2
1. Даны векторы и . Найдите координаты
вектора .
2. Даны векторы . Найдите координаты
вектора .
3. Найдите значения и , при которых векторы и
коллинеарны.
1. Даны векторы и . Найдите координаты
вектора .
2. Даны векторы . Найдите
координаты вектора .
3. Найдите значения и , при которых векторы и
коллинеарны.
Самостоятельная работа № 2
«Скалярное произведение векторов»
ВАРИАНТ 1
ВАРИАНТ 2
ВАРИАНТ 1
1. Даны векторы и . Вычислите .
2. Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если
.
ВАРИАНТ 2
1. Даны векторы и . Вычислите .
2. Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если
.
3;4;2 −a
− 1;
2
1
;3b
bac
+=
4;3;0,0;6;3,0;2;1 −−− cba
cbap
−−=
3
1
2
m
n
1;;6 na
2;16;mb
1;3;1 −−a
0;2;1−b
bac
−=
1;0;3,0;1;3,6;4;2 −−− cba
cbap
−+−= 2
2
1
m
n
2;;4 ma −
nb ;6;2 −
kjia
+−= 32
kib
24 −=
ba
( ) ( )
( )
( )
22;1;3,0;2;0,22;0;0,0;1;3 DCBA
kjia
425 +−=
kjb
23 +=
ba
( ) ( ) ( ) ( )
2;6;14,4;6;12,4;2;8,8;4;6 −−−− DCBA
* Алексеево-Лозовская средняя общеобразовательная школа. Кабинет математики
* Рабочая программа по геометрии. 10-11 класс. Учитель высшей категории И. А. Шконда
12
Самостоятельная работа № 3
«Цилиндр»
ВАРИАНТ 1
ВАРИАНТ 2
АРИАНТ 1
1. Развёртка боковой поверхности цилиндра является квадратом,
диагональ которого равна 10 см. Найдите площадь боковой поверхности
цилиндра.
2. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности
основания дугу в 120
0
. Высота цилиндра равна 5 см, радиус цилиндра
см. Найдите площадь сечения.
1. Развёртка боковой поверхности цилиндра является
прямоугольником, диагональ которого равна 8 см., а угол между
диагоналями 30
0
. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
2. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, есть
квадрат. Эта плоскость отсекает от окружности основания дугу в 90
0
.
Радиус цилиндра равен 4 см. Найдите площадь сечения.
Самостоятельная работа № 4
«Объём прямоугольного параллелепипеда»
ВАРИАНТ 1
ВАРИАНТ 2
1. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2,5 см, 5 см
и 5 см. Найдите ребро куба, объём которого в два раза больше объёма
данного параллелепипеда.
2. Найдите объём прямой призмы АВСА
1
В
1
С
1
, если угол АСВ
равен 90
0
, угол ВАС равен 30
0
, АВ = а, СВ = ВВ
1
.
1. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 см, 6 см
и 6 см. Найдите ребро куба, объём которого в три раза больше объёма
данного параллелепипеда.
2. Найдите объём прямой призмы АВСА
1
В
1
С
1
, в которой угол
АСВ равен 90
0
, АВ = ВВ
1
= а, АС = СВ.
Самостоятельная работа № 5
«Объём наклонной призмы, пирамиды и конуса»
ВАРИАНТ 1
Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым
ребром l = 10 см, если боковое ребро составляет с плоскостью основания
угол, равный 30
0
.
ВАРИАНТ 2
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, если её
высота Н = 10 см, а двугранный угол при основании равен 60
0
.
32
