Презентация "Уравнение плоскости" 10-11 класс

Б

О

Г

Ц

П

Р

С

Ъ

Т

Ь

Т

К

А

В

Е

О

Ч

Э

Л

С

Уравнение плоскости Преподаватель математики Семяшкина Ирина Васильевна ГПОУ «Ижемкий политехнический техникум» Цель:

• познакомить учащихся с понятием уравнения плоскости и её особыми случаями задания;
• Выработать практические навыки по изучаемой теме при решении задач.

Проверка готовности.

Какой алфавит используют для обозначения плоскости?

Сколько точек достаточно, чтобы обозначить плоскость?

Как обозначают плоскость?

Как могут располагаться плоскости по отношению друг к другу?

Греческий, латинский

3

(аксиома А1)

, (ABC)

Параллельно, пересекаться, совпадать

Общее уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0

где А, В, С, D – числовые коэффициенты

Уравнения координатных плоскостей x = 0, плоскость Оyz y = 0, плоскость Оxz z = 0, плоскость Оxy Особые случаи уравнения:

• D = 0  Ax+By+Cz = 0
плоскость проходит через начало координат.
• А = 0  Ву + Cz +D = 0
плоскость параллельна оси Ох.
• В = 0  Ах + Cz +D = 0
плоскость параллельна оси Оу.
• C = 0  Ax+By+D = 0
плоскость параллельна оси Oz.

Особые случаи уравнения:

• А = В = 0  Сz + D = 0
плоскость параллельна плоскости Оху.
• А = С = 0  Ву + D = 0
плоскость параллельна плоскости Охz.
• В = C= 0  Ах+D = 0
плоскость параллельна плоскости Оуz.

Особые случаи уравнения:

• A = D = 0  By+Cz = 0
плоскость проходит через ось Ox.
• B = D = 0  Ax + Cz = 0
плоскость параллельна оси Оy.
• C = D = 0  Ах + By = 0
плоскость параллельна оси Оz.

Две плоскости в пространстве:

• совпадают, если существует такое число k, что

• параллельны, если существует такое число k, что

• В остальных случаях плоскости пересекаются.

Алгоритм составления уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору Итак, пусть  произвольная плоскость в пространстве. Всякий перпендикулярный ей ненулевой вектор называется вектором нормали к этой плоскости.

n1

n2



Алгоритм составления уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору Если известна какая-нибудь точка плоскости M0 и какой-нибудь вектор нормали к ней, то через заданную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данному вектору. Общее уравнение плоскости будет иметь вид:

n (A;B;C)

M0

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

Чтобы получить уравнение плоскости, имеющее приведённый вид, возьмём на плоскости произвольную точку M(x;y;z). Эта точка принадлежит плоскости только в том случае, когда вектор перпендикулярен вектору (рис), а для этого, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, т.е. Чтобы получить уравнение плоскости, имеющее приведённый вид, возьмём на плоскости произвольную точку M(x;y;z). Эта точка принадлежит плоскости только в том случае, когда вектор перпендикулярен вектору (рис), а для этого, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, т.е. Вектор задан по условию. Координаты вектора найдём по формуле : Теперь, используя формулу скалярного произведения векторов , выразим скалярное произведение в координатной форме:

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору . Используем формулу A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

Решение:

Ответ: 5x + y - 4z - 3=0

Уравнение плоскости, проходящей через три точки После раскрытия определителя это уравнение становится уравнением общего вида.

Пусть даны три различные точки, не лежащие на одной прямой.

Используя выражение смешанного произведения в координатах, получим уравнение плоскости:

Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, не лежащие на одной прямой: ; и .

Решение:

Ответ: -4y + 2z - 2=0

При равенстве нулю свободного коэффициента D уравнения общего уравнения плоскости уравнение определяет

• Плоскость, параллельную координатной плоскости Oxy
•  Плоскость, проходящую через начало координат
•  Полуплоскость
•  Линию пересечения плоскостей

ПРОВЕРИМ, ЧТО МЫ ЗАПОМНИЛИ….

Вектор нормали это…

• Всякий ненулевой вектор
• Всякий перпендикулярный ненулевой вектор
• Всякий перпендикулярный плоскости ненулевой вектор
• Всякий перпендикулярный плоскости вектор

Общее уравнение плоскости это…

• Ax+By+Cz=0

• Ax+By+Cz=D

• Ax+By+Cz+D=0

• A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

Домашнее задание

• рассмотреть другие способы нахождения уравнения плоскости;
• Решить задачу: В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 сторона основания равна 4, и диагональ боковой грани равна 5. Написать уравнение плоскостей А1В1E и плоскости основания призмы.

Используемые ресурсы:

• ПЛОСКОСТИ http://kramshifer.Ub.Ua/ru/board/view/38313/
• ГЛАДЬ РЕКИ http://www.Raschetrasstoyanie.Com/%D0%A2%D0%BE%D0%BB%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%9B%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%B8/%D1%84%D0%BE%D1%82%D0%BE
• ПЛОСКИЕ КАМНИ http://aqueouspic.Ru/smotret-komedii-romanticheskie-onlajn.Html
• ШАХМАТНАЯ ДОСКА http://www.1chess.Ru/index.Php?Show_aux_page=45
• СМАЙЛИКИ http://www.baby.ru/blogs/post/314439509-43854232/

ЕЩЁ

ПОДУМАЙте...

Правильно!!!

Z

Y

X

O

Плоскость Oхy

Z

Y

X

O

Плоскость Oхz

Z

Y

X

O

Плоскость Oyz

Z

Y

X

O

Плоскость параллельная

плоскости Охy

Плоскость параллельная

плоскости Охz

Z

Y

X

O

Z

Y

X

O

Плоскость параллельная

плоскости Оyz

Z

Y

X

O

Плоскость параллельная

Оси ох

СПАСИБО СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ