- Выполнили: ученики 11 «А» класса Шкабара Сергей и Малахов Егор
- Учитель-консультант: учитель высшей категории Коваленко С. В.
- МОУ «Гимназия №2 города Гурьевска»
Цели:
- более подробно, чем в школе познакомиться с Платоновыми телами и выяснить, сколько звёздчатых форм имеет икосаэдр и октаэдр;
- собрать информацию об икосаэдре и октаэдре;
- расширить математический кругозор.
- установить связь икосаэдра и октаэдра с природой;
- изготовить развёртки некоторых звёздчатых форм, их модели.
«Природа вскармливает на своём лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы»
- «Природа вскармливает на своём лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы»
- Э. Геккель
МНОГОГРАННИК - часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников, соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого смежным), причем вокруг каждой вершины существует ровно один цикл многоугольников.
- МНОГОГРАННИК - часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников, соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого смежным), причем вокруг каждой вершины существует ровно один цикл многоугольников.
- Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны (или конгруэнтны) между собой и при этом являются правильными многоугольниками.
Платоновы тела
- существует только пять правильных многогранников, гранями которых могут быть только равносторонние треугольники, квадраты и пентагоны (ПЯТИУГОЛЬНИКИ)
Формула Эйлера
- В — Р + Г = 2,
- где В, Р, Г – числа вершин, рёбер и граней многогранника соответственно.
- Эта формула связывает числа вершин, ребер и граней любого выпуклого многогранника
Числовые характеристики Платоновых тел
|
|
|
- Число граней, сходящихся в вершине, n
|
|
|
|
- Число плоских углов на поверхности (У)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Космология Платона
- Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или «стихии». Тетраэдр символизировал Огонь, так как его вершина устремлена вверх; Икосаэдр — Воду, так как он самый «обтекаемый» многогранник; Куб — Землю, как самый «устойчивый» многогранник; Октаэдр — Воздух, как самый «воздушный» многогранник. Пятый многогранник, Додекаэдр, воплощал в себе «все сущее», «Вселенский разум», символизировал все мироздание и считался главной геометрической фигурой мироздания.
ИКОСАЭДР
- Икосаэдр - (от греческого ico — шесть и hedra — грань) правильный выпуклый многогранник, составленный из 20 правильных треугольников. Каждая из 12 вершин икосаэдра является вершиной 5 равносторонних треугольников, поэтому сумма углов при вершине равна 300°. У икосаэдра 30 ребер. Сумма длин всех ребер равна 30а. Правильный икосаэдр имеет 15 осей симметрии, каждая из которых проходит через
- середины противоположных параллельных ребер. Точка пересечения всех осей симметрии икосаэдра является его центром симметрии.
Икосаэдро-додекаэдровая теория строения Земли
Существует гипотеза, по которой ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. «Лучи» этого кристалла, а точнее его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдрическую структуру Земли, проявляющуюся в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. 62 их вершины и середины ребер, называемые узлами, оказывается, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить многие непонятные явления. Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово-додекаэдровой сетки. Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник.
- Существует гипотеза, по которой ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. «Лучи» этого кристалла, а точнее его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдрическую структуру Земли, проявляющуюся в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. 62 их вершины и середины ребер, называемые узлами, оказывается, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить многие непонятные явления. Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово-додекаэдровой сетки. Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник.
Усечённый икосаэдр
-
- Усеченный икосаэдр — один из 13 архимедовых многогранников или архимедовых тел (считается, что их впервые описал Архимед). Оригинальная работа Архимеда, к сожалению, не сохранилась, и ее результаты дошли до нас, что называется, «из вторых рук».
- Сейчас доподлинно известно, что первым открыл и подробно описал архимедовы тела (не зная, конечно, что это уже было сделано Архимедом), в частности 5 усечённых Платоновых тел: усеченные тетраэдр, куб, октаэдр, додэкаэдр и, что важно непосредственно для нас, усечённый икосаэдр, Пьеро делла Франческа.
- В его рукописи «О пяти правильных телах» («Libbelus de quinque corporibus regularibus»), датированной 1480 г., обнаружено старейшее из дошедших до наших дней изображений усеченного икосаэдра.
- Усеченный икосаэдр — один из 13 архимедовых многогранников или архимедовых тел (считается, что их впервые описал Архимед). Оригинальная работа Архимеда, к сожалению, не сохранилась, и ее результаты дошли до нас, что называется, «из вторых рук».сейчас доподлинно известно, что первым открыл и подробно описал архимедовы тела (не зная, конечно, что это уже было сделано Архимедом), в частности 5 усечённых Платоновых тел: усеченные тетраэдр, куб, октаэдр, додэкаэдр и, что важно непосредственно для нас, усечённый икосаэдр, Пьеро делла Франческа.
- В его рукописи «О пяти правильных телах» («Libbelus de quinque corporibus regularibus»), датированной 1480 г., обнаружено старейшее из дошедших до наших дней изображений усеченного икосаэдра.
Изображение усечённого икосаэдра - иллюстрация Леонардо да Винчи для книги «Божественная пропорция» французского монаха и математика Луки Пачоли (1509 год). Метод жёстких рёбер.
- Изображение усечённого икосаэдра - иллюстрация Леонардо да Винчи для книги «Божественная пропорция» французского монаха и математика Луки Пачоли (1509 год). Метод жёстких рёбер.
Вирусы
- Исключительностью икосаэдра среди Платоновых тел воспользовались вирусы. По-видимому, тут все дело в экономии — экономии генетической информации.
- Дело в том, что по законам математики для построения наиболее экономичным способом замкнутой оболочки из одинаковых элементов нужно сложить из них именно икосаэдр, который мы наблюдаем у вирусов
- Так «решают» вирусы сложнейшую задачу: найти тело наименьшей поверхности при заданном объеме и притом состоящее из одинаковых и тоже простейших фигур.
-
были открыты в 1985 г. И представляют собой замкнутые модели водорода типа С60,С70,С76,С84. Молекула фуллерена С60 - усеченный икосаэдр с атомами углерода в вершинах. Он имеет 32 грани (12 пятиугольных и 20 шестиугольных), 60 вершин и 90 ребер (60 на границе пяти- и шестиугольников и 30 на границе только шестиугольников).
- были открыты в 1985 г. И представляют собой замкнутые модели водорода типа С60,С70,С76,С84. Молекула фуллерена С60 - усеченный икосаэдр с атомами углерода в вершинах. Он имеет 32 грани (12 пятиугольных и 20 шестиугольных), 60 вершин и 90 ребер (60 на границе пяти- и шестиугольников и 30 на границе только шестиугольников).
- интересны своими уникальными свойствами. Одни из них можно использовать в качестве твердой смазки. Другие царапают алмаз также легко, как алмаз - стекло.
- перспективны для использования в оптике, электронике, как основа высокопрочных материалов и т. д.
Феодарии
- Скелет одноклеточного организма феодарии (Circogonia icosahedra) по форме напоминает икосаэдр.
- Скорее всего, такая природная геометризация феодарий вызвана уникальной формой этого многогранника (напоминаем, что он имеет наибольший объём при наименьшей площади), помогающей морскому организму преодолевать давление водной толщи: большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок.
Кристаллы
- кристаллы бора имеют форму икосаэдра
Звёздчатые формы икосаэдра
- Икосаэдр имеет двадцать граней. Если каждую из них продолжить неограниченно, то тело будет окружено великим множеством отсеков - частей пространства, ограниченных плоскостями граней. Все звездчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Не считая самого икосаэдра, продолжения его граней отделяют от пространства 20+30+60+20+60+120+12+30+60+60 отсеков десяти различных форм и размеров. Большой икосаэдр состоит из всех этих кусков, за исключением последних шестидесяти.
- Кокстер доказал, что всего существует 59 звездчатых форм икосаэдра, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией.
Соединение пяти тетраэдров
- Асимметричное и скошенное положение граней этого многогранника придаёт ему необычайно привлекательный вид.
Соединение десяти тетраэдров
- Этот многогранник представляет собой комбинацию двух энантиоморфных (зеркальных) форм соединения пяти тетраэдров.
Первая звёздчатая форма икосаэдра
- Эту модель делают из 20 частей, которые склеиваются из показанных на следующем слайде заготовок. Каждая часть представляет собой невысокую треугольную пирамиду без основания.
Развёртка части первой звёздчатой формы икосаэдра.
- Развёртка части первой звёздчатой формы икосаэдра.
Вторая звёздчатая форма икосаэдра
- На этой очень красивой модели заметны пятигранные высокие пики, выступающие из впадин модели соединения десяти тетраэдров.
Слева показаны симметричные трафареты для заготовок. На чертеже показана также одна грань пятиугольного пика. Два малых треугольника внизу, отогнутые и склеенные вместе, образуют небольшой желобок. Пять таких заготовок склеиваются в пятиугольный пирамидальный пик, от основания которого отходят пять желобков.
- Слева показаны симметричные трафареты для заготовок. На чертеже показана также одна грань пятиугольного пика. Два малых треугольника внизу, отогнутые и склеенные вместе, образуют небольшой желобок. Пять таких заготовок склеиваются в пятиугольный пирамидальный пик, от основания которого отходят пять желобков.
Третья звёздчатая форма икосаэдра
- Этот весьма простой многогранник принадлежит к семейству дельтаэдров. Для дельтаэдров характерно, что все их грани представляют собой равносторонние треугольники. Каждую грань этого звёздчатого многогранника образуют три равносторонних треугольника. Сам многогранник внешне напоминает додекаэдр и даже содержит его рёбра, но на самом деле является звёздчатой формой икосаэдра.
Его можно представить себе как додекаэдр с удалёнными пятиугольными гранями, место которых заняли пятигранные впадины с правильными треугольными гранями. Что это так, подсказывает простой способ построения модели. Каждая пятигранная впадина образует одну часть: все части соединяются между собой в той же последовательности, что и при построении модели додекаэдра.
- Его можно представить себе как додекаэдр с удалёнными пятиугольными гранями, место которых заняли пятигранные впадины с правильными треугольными гранями. Что это так, подсказывает простой способ построения модели. Каждая пятигранная впадина образует одну часть: все части соединяются между собой в той же последовательности, что и при построении модели додекаэдра.
Четвёртая звёздчатая форма икосаэдра
- Эта модель представляет собой аналог скелетной модели правильного додекаэдра, роль рёбер которой выполняют наши отсеки.
- Эта модель — первый пример многогранника с открытой внутренней частью.
Пятая звёздчатая форма икосаэдра
- Многие звёздчатые формы икосаэдра внешне очень похожи на большой икосаэдр (который будет рассмотрен ниже). Пятая форма особенно интересна: она служит примером многогранника, вершины которого связаны только отсеками.
Шестая звёздчатая форма икосаэдра
- Ещё одна звёздчатая форма икосаэдра. На ней легко обнаружить 12 длинных пиков, выступающих из впадин модели дельтаэдра (третья звёздчатая форма икосаэдра)
Седьмая звёздчатая форма икосаэдра
- Этот многогранник состоит из 20 частей, каждая из которых имеет форму шестигранного невысокого пика
Восьмая звёздчатая форма икосаэдра
- На рисунке показана модель звёздчатого икосаэдра, также весьма сходного с большим икосаэдром. В действительности наш многогранник можно представить в виде большого икосаэдра с удалёнными клинообразными частями, стягивающими основания вершинных частей.
Девятая звёздчатая форма икосаэдра
- В предыдущих моделях пики были несколько короче, но эта состоит всего лишь из двенадцати таких пиков.
Десятая звёздчатая форма икосаэдра
- Дальнейшее продолжение граней икосаэдра приводит к появлению нового типа отсеков — наклонных пиков. Это единственный тип отсеков, имеющих две энантиоморфные модификации; каждая из них состоит из 60 коротких трёхгранных пирамидок.
Одиннадцатая звёздчатая форма икосаэдра
Двенадцатая звёздчатая форма икосаэдра
Тринадцатая звёздчатая форма икосаэдра
- На фотографии показана модель красивого многогранника с 12 длинными пиками, основание каждого из которых окружено пятью более короткими пиками. Эти части легко узнать — они уже встречались в предыдущих формах.
Четырнадцатая звёздчатая форма икосаэдра
- Этот многогранник, весьма эффектный благодаря оригинальным скошенным граням, обладает обычной симметрией додекаэдра, но характерен большими пятиугольными отверстиями, пронизывающими его насквозь и оставляющими как бы открытым изнутри.
Рисунок заготовки приведён слева.
- Рисунок заготовки приведён слева.
- Построение модели сопряжено с немалой ловкостью и умением работать внутри многогранника.
- . При изготовлении этой модели потребовалось известное терпение и аккуратность в работе, ибо соединение частей здесь крайне запутано и усложнено.
Пятнадцатая звёздчатая форма икосаэдра
- Этот многогранник, подобно предыдущим, обладает «кособокой симметрией» и потому весьма привлекателен. Многогранник состоит из 60 небольших пиков, расположенных так, что нутро его остаётся пустым и видно сквозь узкие щели.
Показанные на рисунке заготовки используют при построении модели. На чертеже указаны наклейки и особый разрез, который необходимо сделать на каждой заготовке. Все наклейки подгибаются, как обычно, и из заготовки склеивается небольшой пик в виде треугольной пирамиды. Пять таких пиков соединяются вместе в форме обычной пятигранной впадины, из центра которой исходят пики. При этом в разрез каждой пирамиды входит свободная наклейка соседней, которая и связывает их. Для склеивания надо либо слегка сдавить пальцами края разреза, либо прибегнуть к помощи пинцета, прижимая им наклейки к внутренней поверхности другого пика.
- Показанные на рисунке заготовки используют при построении модели. На чертеже указаны наклейки и особый разрез, который необходимо сделать на каждой заготовке. Все наклейки подгибаются, как обычно, и из заготовки склеивается небольшой пик в виде треугольной пирамиды. Пять таких пиков соединяются вместе в форме обычной пятигранной впадины, из центра которой исходят пики. При этом в разрез каждой пирамиды входит свободная наклейка соседней, которая и связывает их. Для склеивания надо либо слегка сдавить пальцами края разреза, либо прибегнуть к помощи пинцета, прижимая им наклейки к внутренней поверхности другого пика.
Большой икосаэдр
- Из описанных выше многогранников – звёздчатых форм икосаэдра, пожалуй, самым красивым и декоративным является большой икосаэдр — последний из четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера — Пуансо. Его вершины представляют собой центры правильных пятиугольных звёзд, выступающих из тела многогранника.
Сделать модель большого икосаэдра нетрудно. Заготовка для неё очень проста, и, если следовать предлагаемому методу построения, модель окажется очень прочной и жёсткой, хотя и полой внутри. Каждая часть состоит из пяти пар заготовок, соединённых в своеобразный веер. Его следует перегнуть на манер гармошки так, чтобы вниз опустились внутренние рёбра каждой пары, а соседние рёбра разных пар приподнялись.
- Сделать модель большого икосаэдра нетрудно. Заготовка для неё очень проста, и, если следовать предлагаемому методу построения, модель окажется очень прочной и жёсткой, хотя и полой внутри. Каждая часть состоит из пяти пар заготовок, соединённых в своеобразный веер. Его следует перегнуть на манер гармошки так, чтобы вниз опустились внутренние рёбра каждой пары, а соседние рёбра разных пар приподнялись.
Завершающая звёздчатая форма икосаэдра
- Показанный на фотографии многогранник — завершающая звёздчатая форма икосаэдра. Она образована присоединением к нему (икосаэдру) всех отсеков, получаемых при продолжении граней икосаэдра. Модель как бы ощетинена иглами, группирующимися по пять в красивые и отчётливо заметные гроздья. Вся модель состоит из 12 таких гроздьев.
Октаэдр
- Октаэдр – один из пяти правильных многогранников, имеющий 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин. Каждая его вершина является вершиной четырёх треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 градусов. Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.
Октаэдр в головоломках: змея Генеля
- В цепочке Генеля на 2 тетраэдра приходится один октаэдр. Так они могут заполнить пространство без пустот. Октаэдры в ней разделены на 2 части по диагональному сечению. На следующих двух слайдах представлена часть возможных состояний змеи (фигур).
Фигуры, складываемые из «змейки» Генеля:
а – октаэдр; б – «дом»; в – усеченный октаэдр; г – «мяч»; д – пирамида; е – «дзот»; ж – треснувший куб; з – «шалаш»; и – «шлем»; к – цветок; л – «шоколад»; м – соты; н – «ваза 1»; о – ваза 2»; п – «дракон»; р – кристалл; с – «шкатулка»; т – «тюльпан»; у – «большая шкатулка»; ф – «гусеницы»; х – усеченный тетраэдр; ц– «уж»; ч – «снежинка»; ш – «щетка»; щ – «пружина»; э – винт.
- а – октаэдр; б – «дом»; в – усеченный октаэдр; г – «мяч»; д – пирамида; е – «дзот»; ж – треснувший куб; з – «шалаш»; и – «шлем»; к – цветок; л – «шоколад»; м – соты; н – «ваза 1»; о – ваза 2»; п – «дракон»; р – кристалл; с – «шкатулка»; т – «тюльпан»; у – «большая шкатулка»; ф – «гусеницы»; х – усеченный тетраэдр; ц– «уж»; ч – «снежинка»; ш – «щетка»; щ – «пружина»; э – винт.
Октаэдр в изображениях на полях («круги на полях)
- Фотография Стива Александера
- Западный Овертон, 24 июня 1999 года
- Трехмерный октаэдр Овертона
- Трудность демонстрации вращающихся твердых тел в символах кругов на полях состоит в том, чтобы изобразить в двух измерениях четыре (или более) измерений. Беря из этого круга на полях только пути (убирая маленькие шестиугольники и рассматривая большие шестиугольники как точки на линиях) и сворачивая по линиям, мы получаем трехмерный октаэдр.
Октаэдр в природе: кристаллы в форме октаэдра
Алюминиево-калиевые квасцы
Флюорит
Перовскит
Шпинель
Золото
Оливин
Медный купорос
Звёздчатая форма октаэдра
- Ещё одна особенность октаэдра – его звёздчатая форма, поскольку, в отличие от других многогранников, она у него всего одна. Это геометрическое тело описал в 1619 году Иоганн Кеплер и назвал его stella octangula (восьмиугольная звезда). Звездчатый октаэдр - это восемь пересекающихся плоскостей граней октаэдра, образующих в пространстве столько же новых отсеков в форме тетраэдров, основания которых совпадают с гранями октаэдра. Его можно рассматривать как соединение двух пересекающихся тетраэдров, центры которых совпадают с центром исходного октаэдра.
Итоги
- в своей работе мы собрали довольно много интересной малоизвестной информации о Платоновых телах;
- намного больше, чем по школьной программе, узнали о них, в частности, что следует из нашей темы, об икосаэдре и октаэдре, о том, насколько часто они встречаются в живой и неживой природе;
- выяснили, что икосаэдр имеет целых 59 звёздчатых форм, а октаэдр всего одну.
- изготовили развёртки и построили модели некоторых из них.
- значительно расширили свой математический кругозор
- в дальнейшем работа будет дополнена и представлена для участия в конкурсе.
