Ученики на Учителя.com


Научно - исследовательская работа по математике

1
Наполеон и математика
Выполнила: Ерохина Карина
Руководитель: Деркачева Наталья Ярославна
учитель математики
2
Оглавление
Введение ........................................................................................................................................ 3
Основная часть ........................................................................................................................ 4-7
Задача (треугольник Наполеона) ...................................................................................... 4-5
Задача (четырехугольник Наполеона) ............................................................................ 5-6
Головоломка Наполеона «Танграм» .................................................................................. 6
Заключение ................................................................................................................................... 7
Список используемой литературы
……………………………………………………………………………………………………9
Приложения ............................................................................................................................ 8-11
3
Наполеон и математика
Торт «Наполеон»
Вы можете меня спросить, а причем здесь торт?
Коржи:
250 г сливочного масла
1 ст. л. уксуса
0,75 стакана воды
400 г муки
Крем: 2,5 стакана молока
0,5 стакана сахара
5 ст.л. муки
1 яйцо
1 ч.л. ванильного сахара
Сколько интересного связано с историей возникновения этого торта или
пирожных, которые носят названия "Наполеон". О том, что торт называется «Наполеон»,
существует несколько легенд, о которых вы можете прочитать в Интернете.
Малоизвестным фактом для многих учеников является то, что французский император
Наполеон был не только великим полководцем, но и довольно
хорошим математиком.
Целью данной работы я ставлю рассмотрение геометрических
задач Наполеона, составленных им, а именно исследование
треугольника Наполеона и существования четырехугольника
Наполеона
Задачи:
изучить имеющуюся литературу по данной теме;
рассмотреть задачу Наполеона с использованием
геометрических преобразований ;
рассмотреть ситуацию, аналогичную задаче Наполеона для произвольного
параллелограмма;
рассмотреть любимую головоломку Наполеона «Танграм»
4
Новизна работы заключается в рассмотрении ещё одного удивительного факта,
касающегося не только треугольника, о котором говорится как о неисчерпаемой кладези
интересных соотношений, но и параллелограмма.
Основная часть
Напомню, что Наполеон I Бонапарт (годы жизни 1769-1821) родился в городке
Аяччо на острове Корсика в дворянской семье.
В декабре 1778 года Наполеон был принят в колледж в Отёне, главным образом с
целью обучения французскому языку. Особых успехов Наполеон добился в математике.
Благодаря победе в конкурсе «Ожерелье королевы», он был принят в Королевскую
кадетскую школу в Париже. Там он изучал следующие предметы: гидростатика,
дифференциальное исчисление, вычисление интегралов, а также государственное право.
Окончив военную школу, он стал быстро делать карьеру и в 1796 году уже был
командующим французской армией в Италии. В 1802 году он был первым консулом
Французской республики, а спустя два года, императором Франции.
Обладая аналитическим умом, он добился определенных успехов в области
математики. Своими знаниями он поражал многих великих математиков того времени. За
заслуги в математике он был избран академиком Французской академии наук и стал
магистром математики. А академиком Наполеон стал за решение нескольких довольно
сложных и красивых геометрических задач, которым я и посвящаю свою работу.
Занимаясь математикой, Наполеон доказал теорему, которая теперь называется – теорема
Наполеона: если на сторонах любого треугольника ABC построить равносторонние
треугольники, то их центры М, N, K являются вершинами равностороннего треугольника
Докажем, что соединив центры этих треугольников, получится равносторонний
треугольник ( треугольник Наполеона)
Решение с использованием геометрических преобразований
360
120
,,,
,,
угловэтихСумма
CKABNCAMB
KACKNCBNMBAM
ABCвершинами
соседнимидвумясKNMточкиСоединим
ковтреугольниннихравностороцентрыKNM
5
Задача: центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма вне его, являются
вершинами квадрата
Решение:
На сторонах параллелограмма вне его построены
квадраты. Докажите, что их центры квадратов являются
вершинами квадрата.
Доказательство. Пусть на сторонах
параллелограмма АВСД, вне его, построены квадраты,
центры которых находятся в точках О
1
, О
2
, О
3
и О
4
.
Докажем, что эти точки являются вершинами квадрата.
Отметим, что квадраты, построенные на
противоположных сторонах параллелограмма равны.
Проведем прямые О
1
О
2
, О
1
В, О
2
В, О
3
О
2
, О
3
С, О
2
С.
а) треугольники О
1
ВО
2
и О
3
СО
2
равны;
б) из равенства треугольников получаем:
О
1
О
2
=О
3
О
2
и
ВО
2
О
1
=
СО
2
О
3
;
в) известно, что
ВО
2
С=90
0
, поэтому последовательно получаем:
О
1
О
2
О
3
=
СО
2
О
3
+
СО
2
О
1
=
ВО
2
О
1
+
СО
2
О
1
==
ВО
2
С=90
0
;
ннийравностороMNK
MNKNMK
DMKDNK
катреугольни
равныхнальникчетырёхугоделитMN
60
120
2
MDNKльникчетырёхугополучаем
рисункенауказанноеположениев
плоскостивихперемещая
N CKиMAKкитреугольни
AMBNCKникашестиугольотОтрезая
AMBNCKникшестиугольВыделим
,,
,
6
г) аналогично доказывается равенство других сторон четырехугольника О
1
О
2
О
3
О
4
и
то, что все углы этого четырехугольника прямые.
Утверждение доказано.
Головоломка Наполеона «Танграм»
Танграм - это древняя китайская головоломка. В набор
головоломки "Танграм" входит квадрат, разрезанный на пять
треугольников (два больших, один средний и два маленьких),
квадрат, равный по размерам двум маленьким треугольникам,
и параллелограмм, по площади равный квадрату. Из этих
геометрических фигур головоломки "Танграм" можно
составить несколько сотен силуэтов людей, животных,
предметов домашнего обихода, игрушек, цифр, букв и т.д.
Очевидцы рассказывают, что среди прочих
математических, шахматных и тактических задач по военному
искусству император Наполеон любил задавать своим
офицерам и эту головоломку: какие плоские геометрические
фигуры можно построить из девяти предложенных в россыпь
деталей?
Это игра-головоломка, направленная на воссоздание из
геометрических фигур образных изображений. Наборы фигур представляют собой части
разрезанной фигуры: квадрата, прямоугольника и т.п. Суть игры заключается в том, чтобы
на плоскости из семи частей квадрата создавать самые разнообразные
фигуры, более сложные. Головоломка используются для улучшения
зрительной памяти.
Простую с виду задачу решить удавалось не каждому. Маршал
Даву, говорят, сумел собрать из предложенных деталей квадрат, а
Мюрат - и квадрат, и прямоугольник. Позже нашелся полковник,
построивший звезду. Но никто до сих пор не сумел построить из этих
деталей треугольник, ромб или трапецию... Да и есть ли решение
вообще?
Танграм был любимой игрой Наполеона, который, лишившись
трона, в изгнании проводил долгие часы за этой забавой, упражняя свое терпение и
находчивость.
7
Заключение
Треугольник Наполеона –уникальная фигура, так как исходный треугольник
может быть произвольным, а чтобы получить «квадрат Наполеона» нужно строить
квадраты на сторонах параллелограмма, а не произвольного четырёхугольника.
Треугольник Наполеона- красивая геометрическая задача, которая не только
украшает серьёзный предмет математику, но и может послужить дизайнерской находкой,
например для цветника на нашем пришкольном участке. Такие красивые звёзды –
«звёзды Наполеона» мы предлагаем разбить на нашем пришкольном участке в 2013
году.
Проведенная работа позволила мне познакомиться с достижениями Наполеона
Бонапарта в области геометрии. Книг об императоре очень много, в которых
рассказывается о его семье, привычках, таланте полководца, но ни слова как о
математике. Моё исследование даст возможность многим узнать Наполеона Бонапарта с
другой стороны, а мне расширить мои возможности при решении различных
геометрических задач, пополнят мой багаж малоизвестными фактами из геометрии.
8
Приложение
В Китае название “Танграм” неизвестно, а игра имеет название Чи-Чао-Ту (семь
хитроумных фигур). В книге “Китайский философский и математический транграм”
(1817 г.) слово “Танграм” — трактуется, как старинное английское слово —
обозначающие игрушка - головоломка.
Существует целый ряд версий и гипотез возникновения игры “Танграм”.
1) Наиболее распространенной и известной является та, что игра “Танграм” насчитывает
около 4000 лет. Такую дату можно прочитать у Кордемского Б.А. или Котова А.Я., а так
же у различных иностранных авторов. Мнение о танграме, как о самой древней
головоломке является весьма распространенным. Однако, это всеобщее заблуждение.
Миф об этом создал С.Лойд. В 1903 году он выпустил книгу “Восьмая книга Тана”, в
которой впервые опубликовал свою красивую версию о древнем происхождение игры.
Это и по настоящее время один из величайших розыгрышей в мире головоломок.
2) Местом где была изобретена игра, несомненно является Китай. Дата создания может
быть определенна приблизительно XVIII век. Первой известной древней книгой по
танграму является “Собрание фигур из семи частей” (Китай 1803 г.). Издана она была на
рисовой бумаге. Книги, изданные в Европе, были лишь отчасти оригинальны, а в своей
основе имели китайские источники.
Согласно легенде, Тан был легендарным китайским мудрецом, которому его
соотечественники поклонялись как божеству. Фигуры в своих семи книгах он расположил
в соответствии с семью стадиями в эволюции Земли. Его танграмы начинаются с
символических изображений хаоса и принципа “инь и ян”. Затем следуют простейшие
формы жизни, по мере продвижения по древу эволюции появляются фигуры рыб, птиц,
животных и человека. По пути в различных местах попадаются изображения того, что
создано человеком: орудию труда, мебель, одежда и архитектурные сооружения.
9
10
Список используемой литературы:
1. Задача Наполеона. Квант, № 6, 1972, Березин В.Н.
2. http://napaleon.ru/napoleon
3. Е. Андреева «Головоломка Наполеона» http://jtdigest.narod.ru/dig2_02/napol.htm
4. Н.Н.Никитин, Г.Г.Маслова. Сборник задач по геометрии. Задача № 31.
http://oldskola1.narod.ru/NiktinZ/d05.htm
5. Задача/Теорема Наполеона
http://webgrossmeister.dreamwidth.org/5035.html
6. Задача о квадрате, вписанном в окружность.
http://uchinfo.com.ua/zadachi/zadachi3.htm
7. «Математика для школьника»№2/ 2009.
8. «Я познаю мир» Детская энциклопедия: Математика под редакцией О.Г. Хинн
М: АСТ, 1997г.
11
Рецепт приготовления «Торта Наполеон»
Порций: 12
Что нужно:
вода – 0,75 стакана
мука – 400 г
уксус – 1 ст. л.
сливочное масло – 250 г
Для крема:
молоко – 2,5 стакана
яйцо – 1 шт.
ванильный сахар – 1 ч. л.
сахар – 0,5 стакана
мука – 4 ст. л.
шаг 1
Охлажденное сливочное масло нарезать маленькими кусочками и перетереть с просеянной мукой
так, чтобы смесь напоминала хлебные крошки. Смешать воду с уксусом, тонкой струйкой влить в
мучную смесь. Вымесить гладкое тесто, завернуть его в пищевую пленку и поместить в
холодильник на 40 мин.
шаг 2
Разделить тесто на 6 равных частей. Положить 1 кусок теста между 2 листами пергамента и
раскатать в круг толщиной 0,5 см; так же раскатать остальное тесто. Выпекать коржи по
отдельности в разогретой до 190°С духовке, по 20 мин. каждый. Дать остыть. Подровнять края,
крошки сохранить.
шаг 3
Приготовить крем. Вскипятить 1,5 стакана молока с сахаром. Взбить оставшееся молоко с яйцом и
мукой до образования однородной массы.
шаг 4
Осторожно ввести получившуюся смесь в кипящее молоко. Уменьшить огонь до минимума и
варить, непрерывно помешивая, 7–8 мин., до загустения крема. Снять с огня и дать полностью
остыть.
шаг 5
Смазать все коржи получившимся кремом, собрать торт. Поставить в холодильник на 12 ч.
шаг 6
Перед подачей к столу посыпать торт крошками, оставшимися от коржей.
12
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: