Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Решаем задачи с помощью алгебры" 7 класс

Решаем задачи с помощью алгебры.
(урок изучения нового материала)
Автор: Догова Аминат Тлостанбиевна, учитель математики ГБОУ «Школа с
углубленным изучением французского языка №1265»
Содержание: Решение задач с помощью алгебры.
Цели изучения:1.Научить учащихся переводить текст задачи на язык алгебры.
Пояснить учащимся различные способы решения текстовой задачи. Обратить особое
внимание учащихся на решение задачи с помощью уравнений и на решение задачи в
общем виде, показать дополнительные возможности которые дают исследования
задач в общем виде.
2.Развивать математическую речь, логическое мышление и вычислительные навыки
учащихся.
3.Осуществление межпредметной связи алгебры с геометрией, биологией,
литературой.
Прогнозируемый результат: сформировать понимание учащимися тех
возможностей, которые достигаются при помощи науки алгебры, добиться
применения алгебры при решении задач на соотношение величин, в том числе
геометрических, межпредметных.
Ход урока
1.Организационный момент.
2.Актуализация знаний.
3.Объяснение новой темы. Решение задач.
4.Выводы.
5.Подведение итогов урока.
6.Домашнее задание.
1.Учитель: Сегодня мы начнем изучать алгебру, одну из интереснейших
предметов.
Люди, незнакомые с алгеброй, не могут
представить себе тех удивительных вещей,
которых можно достигнуть при помощи
названной науки.
Г. Лейбниц
Для начала решим несложные задачи, такие задачи мы с вами решали в 5-
6 классах, причем различными способами.
2.Задача 1.(старинная задача).
Некто подошел к клетке, в которой сидели фазаны и кролики. Сначала он
сосчитал головы, их оказалось 15. Потом он подсчитал лапки, их было 42.
Сколько кроликов и сколько фазанов было в клетке?
3.Решение: 1 способ (арифметический):
Нет сомнения в том, что у фазанов по 2 лапки, а у кроликов по 4. Значит,
каждой голове соответствует, по крайней мере, 2 лапы. Голов 15, значит
лап 2·15=30. Но на самом деле их 42. Оказались лишними 12 лап. Вспомним,
что у кроликов не по две, а по четыре лапы, следовательно, кроликов
12/2=6. Фазанов 15-6=9. Ответ: фазанов 9, кроликов 6.
Проверка: Действительно, 9 фазанов и 6 кроликов имеют 9· 2+
6·4=18+24=42 лапы, а голов 9+6=15, что соответствует условию задачи.
2 способ (с помощью уравнений):
Пусть X число кроликов, тогда (15-X) число фазанов, следовательно, всего
лапок 4·X+(15-X)·2=42,
4·X+30-2·X=42,
(4-2)·X=42-30,
2·X=12,
X=12/2,
X=6 (кроликов), 15-6=9 (фазанов).
Ответ: кроликов 6, фазанов 9.
Задача 2. Некто подошел к клетке, в которой сидели фазаны и кролики.
Сначала он сосчитал головы, их оказалось 12. Потом он подсчитал лапки,
их было 40. Сколько кроликов и сколько фазанов было в клетке?
Самостоятельно решите задачу. Какой способ решения выбран вами?
Задача 3. Сформулируйте и решите задачу о кроликах и фазанах, для
решения которой нужно использовать уравнение 4·X+(7-X)·2=24.
Задача 4.Сформулируйте и решите задачу о фазанах и кроликах для
следующих случаев:
а)16 голов и 56 лап; б)30 голов и 50 лап; в)15 голов и 55 лап.
Составим уравнения и решим их:
а) 4·X+(16-X)·2=56
б) 4·X+(30-X)·2=50
в) 4·X+(15-X)·2=55
2·X+16-X=28
2·X+30-X=25
2X+15-X=27,5
2·X-X=28-16
2·X-X=25-30
2X-X=27,5-15
X=14 (кроликов)
X=-5(кроликов)?
X=12,5(кроликов)?
16-14=2(фазанов)
Натуральных корней
уравнение не имеет, а
значит задача не
корректная.
Натуральных
корней уравнение не
имеет, а значит
задача не
корректная.
Ответ: 14 кроликов, 2
фазана.
Вывод: Задача с некоторыми числами решается (и мы это видели), а с
некоторыми не корректна!
Решим задачу в общем виде.
Задача 5. Некто подошел к клетке, в которой сидели фазаны и кролики.
Сначала он сосчитал головы, их оказалось а. Потом он подсчитал лапки, их
было, в. Сколько кроликов и сколько фазанов было в клетке?
Решение. Пусть Х- число кроликов, тогда ( а-Х)- число фазанов. Тогда 4·Х-
число кроличьих лап; 2·(а-Х)-число фазаньих лап; 4·X+(а-X)·2-общее число
лап фазанов и кроликов и это число в.
Составим уравнение: 4·X+(а-X)·2=в;
2·X+а-X=в:2;
2·X-X=в:2-а;
X=в:2-а (кроликов);
а- (в:2-а)=2·а-в:2(фазанов);
Ответ: (в:2-а) кроликов; (2·а-в:2)фазанов.
Вывод. При каких а и в задача имеет решение?
Ясно, что число голов а может быть любым натуральным числом. Число
лап в при этом также должно бить натуральным числом, но
удовлетворяющим некоторым условиям.
Во-первых, в- четное число, (в:2-а) и (2а-в:2)-натуральные числа, то есть
целые положительные числа. 2·а≤в и в≤4·а. В таком случае, говорят:
задача имеет смысл при любом натуральном а и любом четном
натуральном числе в, удовлетворяющих неравенствам 2·а≤в и в≤4·а.
Задача 6.Приведите свои примеры числовых значений а (количество голов)
и в (количество лап), при которых задача о кроликах и фазанах не имеет
решения.
Задача 7. В вольере инопланетного зверинца оказались вместе драконы:
трехголовые с четырьмя лапами и пятиглавые с шестью лапами.
Любопытный посетитель зверинца насчитал в этом вольере, а голов и в
лап. Сколько драконов каждого вида в вольере?
При каких а и в задача имеет смысл?
Решение. Пусть Х- число трехголовых с четырьмя лапами драконов, тогда
( а-Х)- число пятиглавые с шестью лапами драконов . Тогда 4·Х- число лап
трехглавых драконов; 6·(а-Х)-число лап пятиглавых драконов; 4·X+(а-X)·6-
общее число лап трехглавых и пятиглавых драконов и это число в.
4·X+(а-X)·6=в;
2·X+(а-X)·3=в:2;
2·X-3·X=в:2-3·а;
-X=в:2-3·а;
X=-(в:2-3·а) трехголовых с четырьмя лапами драконов;
а-X=а+в:2-3·а=в:2-2а пятиглавые с шестью лапами драконов;
При каких а и в задача имеет смысл?
в должно быть четным, 2а <в:2<3а
Ответ. Трехголовых драконов с четырьмя лапами (3·а-в:2); пятиглавых
драконов с шестью лапами (в:2-2·а), в должно быть четным, 2а <в:2<3а.
4.Выводы: Переход от задач с числовыми данными к задачам с буквенными
данными позволяет проводить более глубокие исследования и это
облегчает решение задач с числовыми данными. Решение задач в общем
виде дает возможность решения большого числа однотипных задач
«Решая задачи только с числами, а не с
буквенными данными, мы лишаемся
возможности поучительного исследования
формулы и упускаем ценную проверку
результатов исследования »
Д. Пойя
Рассмотрим некоторые геометрические задачи о площадях фигур.
Задача 8.Составьте выражение для вычисления площади фигуры,
изображенной на рисунке
Данная фигура состоит из3различных
элементов: квадрата со стороной х см; пяти
прямоугольников со сторонами 1сми х см; трех
квадратиков со сторонами 1см
Решение:
S=X²+5·X+3 (см²). Ответ. X²+5·X+3 см².
Задача 9. Даны выражения:
а)8х+3; б)х·х+5х+3; в)х²+2х+3(х+1);
г)х(х+5)+3; д)х²+5х; е)(х+3)(х+2).
Какие из этих выражений задают площадь фигуры, изображенной на
рисунке 1?
х
х
1
1
1
1
1
Рис. 1
Задача 10. а)Запишите выражение для нахождения площади фигуры,
изображенной на рисунке 2.
х
х
1
1
1
1
1
рис.2
б) Объясните, как переставить составляющие части данной фигуры,
чтобы получить прямоугольник. Составьте выражение для нахождения
площади этого прямоугольника.
в) Сравните два полученных выражения, составленных для вычисления
площадей данных фигур. равны ли их значения при любом значении
стороны квадрата х?
Сравните свои рассуждения со следующими:
Решение: а) Площадь фигуры, изображенной на рисунке 2, равна X²+5X+4.
б) Из частей данной фигуры можно получить прямоугольник со сторонами
X+1 и X+4. Его площадь равна (X+1)·(X+4) (рис.3).
х
х
1
1
1
1
рис.3
в) Так как площади полученного прямоугольника и исходной фигуры равны,
то (X+1)·(X+4)= X²+5X+4.
Задача 11. На рис. 4 изображен квадрат со стороной х. Из него удалены
три закрашенных прямоугольника указанных размеров. Вычислите общую
площадь закрашенных прямоугольников. Верно ли, что площадь не
закрашенной части квадрата можно найти с помощью выражений(х-1)(х-
2) и х²-3х+2?
1
1
х
Рис.4
Задача 12. Используя квадраты и прямоугольники, изображенные на рис. 5,
постройте фигуру, площадь которой равна 2х²-3х+4. Найдите периметр
этой фигуры.
Составьте несколько фигур, имеющих заданную площадь, но различные
периметры.
Задача 13. Придумайте задания, для решения которых целесообразно
использовать буквенные обозначения.
5.Рассмотренные задачи о кроликах с фазанами, несколько задач о
площадях фигур разные, но в их решениях есть нечто общее. Этим общим
является использование алгебраических выражений, уравнений и
неравенств, то есть применение специального языка- языка алгебры.
6.Дома решить №№1-5, практикум.
7. Выставление оценок учащимся, принимавшим участие в обсуждении и
решении задач.
1
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: