Конспект урока "Системы счисления" 8 класс


Разработка цикла из 3-х внеклассных занятий по математике.
Тема: Системы счисления.
Учитель математики высшей квалификационной категории Мошурова Ирина Юрьевна.
Пояснительная записка: Цикл из трех внеклассных занятий является частью факультативного
курса в 8 классе и служит пропедевтикой следующей темы «Арифметические основы ЭВМ».
Эти уроки помогут школьникам расширить знания по математике, повысить математическую
культуру. Материал излагается в доступной и занимательной форме с привлечением
исторических фактов. Привлечение учащихся к освещению некоторых вопросов способствует
развитию у них самостоятельности, настойчивости, интереса к познанию окружающего мира.
Цель занятий:
1. Познакомить с понятиями позиционных и непозиционных систем счисления с
различными основаниями
2. Овладеть навыками перевода чисел из одной системы в другую при решении
простейших задач
3. Использовать дополнительный теоретический материал для развития познавательной
активности учащихся.
4. Формировать положительный мотив учения, развитие умений учебно-
познавательной активности учащихся
Занятие 1. Тема: Непозиционные и позиционные системы счисления.
Ход урока (урок-лекция с привлечением учащихся):
Учитель: Вам уже известно из курса изучения математики, что системой счисления
называют способ наименования и записи чисел. Системы счисления делятся на
позиционные и непозиционные. В позиционной системе место каждой цифры имеет
значение. Но начнем мы с рассмотрения непозиционных систем.
Сообщение ученика: (слайд №4) Первоначально натуральные числа изображались с
помощью нужного количества черточек или палочек. Затем для их изображения стали
использовать буквы или специальные знаки. В Древнем Новгороде использовалась
славянская система, где применялись буквы славянского алфавита. Чтобы отличить
слова от чисел над числами ставился специальный знак титло: ῀. Различные буквы
означали различное количество единиц, десятков, сотен. Например, число 231
изображали ῀СЛА: С – двести, Л тридцать, А – единица. Тысячи обозначались теми же
буквами, но впереди ставили знак ҂. Примером непозиционной системы счисления
является пришедшая из Древнего Рима римская система, в которой числа тоже
изображались буквами латинского алфавита, но характерной чертой римской системы
счисления является то, что в ней определенные буквы всегда обозначают одни и те же
числа: буква I означает единицу, V пять, X десять, L пятьдесят, C сто, D
пятьсот, M тысяча. Число 1678 запишется MDCLXXVIII значения написанных букв
при изображении числа складываются. Впрочем, чтобы уменьшить число требующихся
знаков в римской системе ввели правило: помещение меньшего числа слева от большего
означает вычитание, а справа сложение, например IX девять, XL сорок. Обоим
этим системам свойственно два основных недостатка, которые привели к их
вытеснению позиционными системами: необходимо большое число разных знаков,
особенно для изображения больших чисел; неудобство при выполнении арифметических
операций. По этим причинам римская система применяется сейчас только в тех редких
случаях, когда приходится иметь дело с небольшими числами, над которыми к тому же
не требуется выполнять арифметические действия, например, при нумерации глав в
книге, столетий.
Учитель: (слайд №5) выполним в тетрадях несколько упражнений по переводу чисел в
римскую систему счисления и из римской системы в десятичную: 1. Запишите, в каком веке
мы живем в римской нумерации (XXI). 2. Запишите в римской нумерации 2012 год
(MMXII). 3. Переведите числа из римской нумерации в десятичную систему счисления:
LVIII (58), XLI (41), CCCXXVI (326), DCCLXXXIV (784).
Сообщение ученика: (слайд№7) общепринятой и наиболее распространенной является
десятичная позиционная система счисления, которая была изобретена в Индии,
заимствована там арабами и затем через страны Ближнего Востока, Средней Азии и
Северной Африки пришла в Европу. В этой, как и в любой другой позиционной системе
счисления значение каждой цифры определяется как ей самой, так и местом (позицией),
которое она занимает в записи числа. Например, цифра 1 означает единицу. Ту же единицу
она обозначает в числе 231, 5081, так как во всех случаях стоит первая справа. Но в числе 12
цифра 1 означает один десяток, а в числе 134 означает сотню. Или, например, в записи
числа 7527 имеются две одинаковые цифры 7, но значения их различны: первая означает
7тысяч, а вторая 7единиц. Для записи любого числа в десятичной системе счисления
достаточно десяти знаков, называемых цифрами 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. В десятичной системе
каждые десять единиц любого разряда составляют одну единицу следующего по
старшинству разряда. Так, десять единиц первого разряда составляют одну единицу второго
разряда (десятков), а десять десятков составляют одну единицу третьего разряда (сотню). В
записи любая цифра означает соответствующее количество единиц того разряда, в котором
эта цифра стоит: 231 это две сотни, три десятка, одна единица, 231=100+100+10+10+10+1.
Десятичная система счисления потому и именуется десятичной, что за её основание взято
число 10. Любое число можно записать в виде суммы произведений степеней числа 10 и
некоторого коэффициента: 231=2*10
2
+3*10
1
+1*10
0
. В десятичной системе легко
выполняются и арифметические действия. Сложение многозначных чисел в позиционной
системе сводится к сложению однозначных и переносу из младшего разряда в старший, а
при вычитании, наоборот, требуется перенос из старшего разряда в младший. Умножение
многозначных чисел столбиком сводится в конечном счете к умножению однозначных и
последующему сложению.
Учитель: (слайд №8) В самом первом учебнике «Арифметика», который составил Леонтий
Магницкий в 1703 году, есть интересные примеры на умножение. Он называл их «примеры
умножения с некоим удивлением»: 777*143=111111; 777*286=222222; 777*429=333333.
Проанализируем первый пример Магницкого, для этого разложим на простые множители:
777=3*7*37 и 143=11*13. Запишем (3*37)*(7*11*13)=111*1001=111111 (умножение
любого трехзначного числа на 1001 равносильно приписыванию к этому трехзначному
числу справа такого же числа). «Арифметику» Леонтия Магницкого очень ценили.
Величайший русский ученый Ломоносов знал её превосходно и называл «вратами своей
учености».
Домашнее задание (по желанию на выбор). (слайд №10) 1.Попробуйте истолковать и
объяснить остальные «примеры с удивлением». 2. Подготовить сообщение о Леонтии
Магницком и его «Арифметике». 3. Подготовить свою автобиографию, заменив все
встречающиеся даты и числа на римскую нумерацию.
Занятие 2. Тема: Позиционные системы счисления с произвольным основанием.
Ход урока:
1. Актуализация знаний.
Учитель: Какие непозиционные системы счисления вам известны? Какой системой
счисления мы пользуемся? Как объяснить «примеры с удивлением» из «Арифметики»
Магницкого? Кто подготовил автобиографию в римской нумерации? Заслушаем сообщение
о Леонтии Магницком и его «Арифметике» (сообщение учащихся).
2. Изучению нового материала через применение опорных знаний
Учитель: Сегодня рассмотрим позиционные недесятичные системы счисления. Сколько
цифр использовалось в десятичной системе? (10) Итак, количество цифр, используемых в
данной системе, совпадает с основанием системы. Я зачитаю отрывок, а вы попробуйте
определить, в какой системе счисления записан рассказ мальчика (слайд №9).
«Я, Михаил Кузнецов, родился 104 августа 31001 года. После моего рождения, 20 ребенка в
семье, маму наградили орденом Мать героиня. Но я, конечно, понимаю, что это
обстоятельство не дает мне права задирать нос перед своими старшими братьями и
сестрами. Как и все дети, в 12 лет начал учиться в школе, учусь хорошо: почти всегда
получаю балл 10».
- Сколько цифр в данной системе? (0,1,2,3,4) Значит, это пятеричная система, то есть
основание системы число 5. Вообще, в качестве основания системы счисления можно
использовать любое число, начиная с двух. И в истории развития человеческой культуры
десятичная система не была единственной: существовали пятеричная, двенадцатеричная,
сорокаичная, шестидесятиричная. Пальцы одной руки породили пятеричную систему
счисления. Она в прошлом использовалась многими народами. В пятеричной системе
каждые 5 единиц любого разряда составляют одну единицу следующего разряда. Например,
как записать число 5 один пяток составляет одну единицу второго разряда и нет единиц
в первом разряде: 10
5
. Первые пятнадцать чисел в пятеричной системе представлены в
таблице:
Осн.10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Осн. 5
1
2
3
4
10
11
12
13
14
20
21
22
23
24
30
Любое число в пятеричной системе можно разложить на разряды для перевода в десятичную систему.
Рассмотрим на примере года рождения Миши: 31001
5
=1*5
0
+ 0*5
1
+ 0*5
2
+ 1*5
3
+ 3*5
4
= 1 + 125 + 1875 =
2001. Для выполнения арифметических действий надо знать таблицы сложения и умножения:
0
1
2
3
4
*
0
1
2
3
4
1
2
3
4
10
1
1
2
3
4
2
3
4
10
11
2
2
4
11
13
3
4
10
11
12
3
3
11
14
22
4
10
11
12
13
4
4
13
22
31
- А как же переводить числа из десятичной системы в пятеричную? Здесь существует несложный
алгоритм действий: последовательное деление числа на основание системы – число 5.
27
10
| 5 27
10
= 102
5
25 5| 5
2 5 1
0

1. Первичное осмысление и закрепление изученного материала.
- Определите, сколько детей было в семье Миши? Какие оценки получает Миша в школе?
- Попробуйте узнать, какого числа родился Миша? (104
5
= 29
10
)
- Переведите в пятеричную систему 341
10
(2331
5
), 2041
10
(2331
5
)
- Выполните действия в пятеричной системе: 10433
5
+ 31131
5
(42114
5
); 10433
5
* 4
5
(43342
5
)
4. Домашнее задание (по желанию на выбор). 1. Подготовить сообщения об
использовании различных систем счисления в современном мире. 2. Выполните действия:
4231
5
+ 310
5
; 2010
5
* 32
5
. 3. Подготовить свою автобиографию, заменив все
встречающиеся даты на числа, записанные в пятеричной системе.
Занятие 3. Тема: Позиционные системы счисления с произвольным основанием
(урок-практикум)
Заслушать сообщения учащихся о двенадцатеричной системе счисления и о шестидесятеричной
системе счисления.
Учитель: Проверим, насколько внимательны вы были. Ответим на несколько вопросов:
- Как называется единица второго разряда в двенадцатеричной системе? (дюжина)
- Что считают дюжинами? А где до сих пор применяют только шестидесятеричную систему?
- Как называется единица третьего разряда в двенадцатеричной системе? (гросс) А сколько это в
десятичной системе счисления? (100
12
= 0* 12
0
+ 0* 12
1
+ 1* 12
2
=144
10
)
- Сколько цифр необходимо для записи чисел в двенадцатеричной системе? (двенадцать:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
,10
11
), а сколько в шестидесятеричной системе? (шестьдесят: от 0 до
59
)
Решение упражнений:
1. Перевести число 1463
10
в двенадцатеричную систему счисления и выполнить проверку.
(
10
1
11
12
)
2. Перевести число 5
58
10
60
в десятичную систему счисления и выполнить проверку.
(21490
10
)
3. Расшифруйте отрывок из биографии великого русского математика Чебышева. Какая
система счисления здесь использована?
Пафнутий Львович Чебышев родился в 2111110 году. Юноша в возрасте 202 года окончил
Московский университет, а через 2 года в возрасте 211 лет опубликовал свою первую
научную работу (троичная система счисления; 2111110
3
= 1821
10
, 202
3
= 20
10
).
4. Записать число, номер месяца и год своего рождения в троичной, пятеричной и
двенадцатеричной системах.
Домашнее задание (по желанию на выбор). 1. Подготовить сообщение об использовании
двоичной системы счисления в современном мире. 2. Вычислить: 13021
4
+ 2303
4
;
21021
3
*21
3
. 3. Составить таблицы сложения и умножения в троичной системе счисления.
Литература:
1. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся.- М.:
Просвещение, 1989.
2. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Книга для учащихся – М.: Просвещение, 1990.
3. Власова Т.Г. Предметная неделя математики в школе: Библиотека учителя. Ростов н/Дону.:
Феникс, 2006.