Презентация "Графы. Поиск путей в графе" 11 класс


Подписи к слайдам:
Презентация PowerPoint

ГРАФЫ.

ПОИСК ПУТЕЙ В ГРАФЕ.

Автор: Сергеенкова И.М.,

ГБОУ Школа № 1191, г. Москва

Граф и его элементы. Основные понятия.

Граф – это совокупность объектов со связями между ними. 

Объекты рассматриваются как вершины, или узлы графа,

а связи – как дуги, или ребра.

Ребро графа называется дугой, если одна из его вершин считается начальной, другая – конечной.

Основные элементы графа состоят из вершин графа, ребер графа и дуг графа. Сочетание этих элементов определяет понятия: неориентированный граф, ориентированный граф и смешанный граф.

А

Б

В

Дуга графа

Дуга графа

ребро графа

Вершина

графа

Вершина

графа

Вершина

графа

Неориентированный граф – это граф, для каждого ребра которого несуществен порядок двух его конечных вершин.

1

2

5

4

3

6

Ориентированный граф – это граф, для каждого ребра которого существенен порядок двух его конечных вершин.

Пара вершин может соединяться двумя или более ребрами (дугами одного направления), такие ребра называются кратными.

1

2

3

5

4

Смешанный граф  – это граф, содержащий как ориентированные, так и неориентированных ребра. Любой из перечисленных видов графа может содержать одно или несколько ребер, у которых оба конца сходятся в одной вершине, такие ребра называются петлями. 

Путем в графе называют конечную последовательность вершин, в которой каждая вершина соединена ребром с последующей в последовательности вершин.

Длиной пути во взвешенном графе называют сумму длин звеньев этого пути. Количество k ребер в пути называется длиной пути. Путь называют циклом, если в нем первая и последняя вершины совпадают.

5

2

1

4

3

5

2

1

4

3

12

Задачи на поиск путей в Графе

Задача 1.

На ри­сун­ке – схема дорог, свя­зы­ва­ю­щих го­ро­да A, B, C, D, E, F, G, H, K, L, M. По каж­дой до­ро­ге можно дви­гать­ся толь­ко в одном на­прав­ле­нии, ука­зан­ном стрел­кой.

Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных путей из го­ро­да A в город M?

Решение

B

A

K

C

E

G

F

H

L

M

Решение задачи 1.

  • Нач­нем счи­тать ко­ли­че­ство путей с конца марш­ру­та – с го­ро­да М.
  • NX — ко­ли­че­ство раз­лич­ных путей из го­ро­да А в город X, N — общее число путей. В "М" можно при­е­хать из C, F, L или H, по­это­му

    N = NM = NC + NF + N H + N L (1)

C

F

H

L

M

2. Ана­ло­гич­но:

NC = NB;

NF = NE;

NH = NF + NG;

NL = NK.

C

F

H

L

M

B

E

G

K

A

3. До­ба­вим еще вер­ши­ны:

NB = NA = 1;

NE = NB + NA + NG = 1 + 1 + 2 = 4;

NG = NA + NK = 1 + 1 = 2;

NK = NA = 1.

4. Пре­об­ра­зу­ем вер­ши­ны:

NC = NB = 1;

NF = NE = 4;

NH = NF + NG = 4 + 2 = 6;

NL = NK = 1.

5. Под­ста­вим в фор­му­лу (1):

N = NК = 1 + 4 + 6 + 1 = 12

B

A

K

C

E

G

F

H

L

M

Ответ: 12

Задача 2.

На ри­сун­ке – схема дорог, свя­зы­ва­ю­щих го­ро­да А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И. По каж­дой до­ро­ге можно дви­гать­ся толь­ко в одном на­прав­ле­нии, ука­зан­ном стрел­кой.

Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных путей из го­ро­да А в город И?

Решение

A

И

Б

Д

В

Ж

З

Е

Г

Решение задачи 2.

1. Нач­нем счи­тать ко­ли­че­ство путей с конца марш­ру­та – с го­ро­да И. NX — ко­ли­че­ство раз­лич­ных путей из го­ро­да А в город X, N — общее число путей. В "И" можно при­е­хать из Д, Ж, или З, по­это­му N = NИ = NД + NЖ + N З (1)

Д

Ж

З

И

2. Ана­ло­гич­но:

NД = NБ; NЖ = NБ + NВ + NЕ; NЗ = NЖ + NЕ.

Д

Ж

З

И

3. . До­ба­вим еще вер­ши­ны:

NБ = NА = 1;

NВ = NА + NГ = 1 + 1 = 2;

NЕ = NВ + NГ = 2 + 1 = 3;

NГ = NА = 1.

Б

В

Е

Г

А

4. Пре­об­ра­зу­ем пер­вые вер­ши­ны с уче­то зна­че­ний вто­рых:

NД = NБ = 1;

NЖ = NБ + NВ + NЕ = 1 + 2 + 3 = 6;

NЗ = NЖ + NЕ = 6 + 3 = 9.

5. Под­ста­вим в фор­му­лу (1):

N = NК = 1 + 6 + 9 = 16. Ответ: 16

A

И

Б

Д

В

Ж

З

Е

Г

Задача 3.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­на схема дорог, свя­зы­ва­ю­щих го­ро­да A, B, C, D, E, F, G, H, K, L, M. По каж­дой до­ро­ге можно дви­гать­ся толь­ко в одном на­прав­ле­нии, ука­зан­ном стрел­кой.

Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных путей из го­ро­да A в город M?

Решение

B

C

D

E

F

L

G

H

K

M

A

Решение задачи 3.

1. Нач­нем счи­тать ко­ли­че­ство путей с конца марш­ру­та — с го­ро­да M. Пусть NX — ко­ли­че­ство раз­лич­ных путей из го­ро­да А в город X, N — общее число путей. В город M можно при­е­хать из L, G, F, H или K, по­это­му N = NM = NL + NG+NF+ NH + NK;(*)

2.Ана­ло­гич­но:

NL = NF+ NG = 5 + 5 = 10;

NG = NF = 5;

NH = NF = 5;

NK = NF + NE + NH = 5 + 1 + 5 = 11;

NF = NA + NB + NC + ND + NE = = 5.

3. До­ба­вим еще вер­ши­ны:

NB = NA = 1;

NC = NA = 1;

ND = NA = 1;

NE = NA = 1.

4. Под­ста­вим в фор­му­лу :

N = NM = 10 + 5 + 5 + 11 + 5 = 36.

Ответ: 36.

Решите самостоятельно:

1).

На ри­сун­ке — схема дорог, свя­зы­ва­ю­щих го­ро­да А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К, Л. По каж­дой до­ро­ге можно дви­гать­ся толь­ко в одном на­прав­ле­нии, ука­зан­ном стрел­кой.

Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных путей из го­ро­да А в город Л?

Ответ: 30

B

E

Б

Д

Е

Г

Ж

К

Л

A

2).

На ри­сун­ке — схема дорог, свя­зы­ва­ю­щих го­ро­да А, Б, В, Г, Д, Е, Ж. По каж­дой до­ро­ге можно дви­гать­ся толь­ко в одном на­прав­ле­нии, ука­зан­ном стрел­кой.

Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных путей из го­ро­да А в город Ж?

Ответ: 11

А

Б

Е

Д

Ж

В

Г

3).

На ри­сун­ке изоб­ра­же­на схема до­ро­г, свя­зы­ва­ю­щих го­ро­да A, B, C, D, E, F, G, H, K, L, M. По каж­дой до­ро­ге можно дви­гать­ся толь­ко в одном на­прав­ле­нии, ука­зан­ном стрел­кой.

Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных путей из го­ро­да A в город M?

Ответ: 12

А

М

H

B

C

D

E

K

L

F

G

Задание на дом:

На рисунке изображена схема дорог, связывающих города A, B, C, D, E, F, G, H, K, L, M. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой.

Сколько существует различных путей из города

А в город M?

B

C

D

E

F

G

H

K

L

M

А

Источники информации:

  • http://www.compress.ru/Archive/CP/2007/1/18/10.gif
  • http://kpolyakov.narod.ru/school/ege.htm
  • http://inf.reshuege.ru/test?theme=203
  • http://inf.reshuege.ru/get_file?id=3029