Презентация "Основы логики. Методы решение логических задач"

Методы Решения логических задач Учитель высшей категории МБОУ СОШ №26 с. Краснокумского Георгиевского района Ставропольского края Шишкин Владимир Васильевич «Логика – бог мыслящих». Леон Фейхтвангер Цель: познакомиться с методами решения логических задач. Краткий исторический экскурс.

Слово "логика" греческого происхождения. Логика как наука основана Аристотелем (384-320 гг до н.э.), который был необыкновенной фигурой в целой плеяде блестящих греческих ученых. Он был последователем Платона и посещал его Академию в Афинах. После смерти Платона (347 г.до н.э.) Аристотель покинул Афины. Он вернулся туда 12 лет спустя и основал свою школу - Лицей. Одним из учеников Аристотеля был Александр Великий.

Логика Аристотеля является скорее частью философии, но эта часть - основа всех наук. В своем выдающемся произведении "Аналитики" Аристотель создал и проверил около 20 схем рассуждений, которые назвал силлогизмами. Процитируем самый известный силлогизм: "Сократ - человек; все люди смертны; значит Сократ смертен". После Аристотеля силлогизмы и их трансформации стали основой дедуктивных рассуждений.

Краткий исторический экскурс.

Готфрид Лейбниц в начале 18 века сделал попытку создать формальную логическую систему, введя законы сочетания высказываний. Он высказал идею о том, что рассуждения могут быть сведены к механическому выполнению определенных действий по установленным правилам: "Можно придумать некий алфавит человеческих мыслей, и с помощью комбинации букв этого алфавита и анализа слов, из них составленных, все может быть открыто и разрешимо". Но эти работы не были опубликованы, и лишь в 19 веке Джордж Буль и Август де Морган основали математическую логику, независимую от философии.

Краткий исторический экскурс.

Известнейшие работы Джорджа Буля (1815-1864): "Формальная логика", "Исследование законов мысли". Буль вводит в логику алгебраическую структуру, называемую сегодня кольцо Буля, две операции, свойства которых в чем-то подобны свойствам операции с числами (например, 1+0=1), и в чем-то расходятся с ними (например, 1+1=1). Это позволило описать логику высказываний как формальную алгебраическую структуру.

Краткий исторический экскурс.

Огастес (Август) де Мо́рган, ввел кванторы (не называя их) и сделал попытку формального определения структур, продолжив работу, начатую Булем.

Целесообразно повторить:

• Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения (КОНЪЮНКЦИИ), истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.
• Составное высказывание, образованное в результате логического сложения (ДИЗЪЮНКЦИИ), истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.
• Логическое отрицание (ИНВЕРСИЯ) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным.
• Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (ИМПЛИКАЦИИ), ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки (первого высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание)
• Составное высказывание, образованное с помощью логической операции тождества(ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ) истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны

Целесообразно повторить:

Закон тождества A=A

Закон непротиворечия A&¬A=0

Закон исключенного третьего Av¬A=1

Закон двойного отрицания ¬¬A=A

Законы де Моргана ¬(¬Av¬B)=¬A&¬B; ¬(¬A&¬B)=¬Av¬B

Закон коммутативности

Закон ассоциативности

Закон

дистрибутивности

Логическое умножение	Логическое сложение
A&B=B&A	AvB=AvB

Логическое умножение	Логическое сложение
(A&B)&C=A&(B&C)	(AvB)vC=Av(BvC)

Дистрибутивность умножения относительно сложения	Дистрибутивность сложения относительно умножения
ab+ac=a(b+c) (A&B)v(A&C)=A&(BvC)	(AvB)&(AvC)=Av(B&C)

Устные задания. Вася забыл пароль к Windows XP, но помнил алгоритм его получения из строки подсказки «23ABN12QR8N»: если последовательности символов «AB» и «QR» поменять местами, а затем из получившейся строки удалить все символы «N», то полученная последовательность и будет паролем. Определите пароль:

• 23AB12QR8
• 23QR12AB8
• 23QRAB8
• 23QR128

Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F: Какое выражение соответствует F? 1)¬X  ¬Y  ¬Z 2) X  Y  Z 3) X  Y  Z 4) ¬X  ¬Y  ¬Z

X	Y	Z	F
1	0	0	1
0	0	0	1
1	1	1	0

X	Y	Z	F	¬X  ¬Y  ¬Z	X  Y  Z	X  Y  Z	¬X  ¬Y  ¬Z
1	0	0	1	0 ×	0 ×	1	1
0	0	0	1	–	–	0 ×	1
1	1	1	0	–	–	–	0

Для какого имени истинно высказывание ¬(ПЕРВАЯ БУКВА СОГЛАСНАЯ  ВТОРАЯ БУКВА СОГЛАСНАЯ)  ПОСЛЕДНЯЯ БУКВА ГЛАСНАЯ? Запишем в виде логических операций: ¬ (сс ) гл 1). Роман 2). Юнона 3). Андрей 4). Кристина Методы решения логических задач:

• Метод рассуждений;
• Метод таблиц;
• Метод графов;
• Метод блок-схем;
• Метод кругов Эйлера - Венна;
• С помощью алгебры логики;
• Итоги

Метод рассуждений. Задача. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: «Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский. Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложно. Какой язык изучает каждый из молодых людей. Решение. А = « Вадим изучает китайский»; В = «Сергей не изучает китайский»; С = «Михаил не изучает арабский». Если верно А, то верно и В. То есть А ложно. Если верно В, то А и С ложные утверждения (неверно, т.к. никто не изучает китайский). Таким образом, вено С, а А и В ложные утверждения. Ответ: Сергей изучает китайский, Михаил – японский, а Вадим – арабский языки. Метод рассуждений. Задача. Цепочка из трех бусин, помеченных латинскими буквами, формируется по следующему правилу. В конце цепочки стоит одна из бусин A, B, C. На первом месте – одна из бусин B, D, C, которой нет на третьем месте. В середине – одна из бусин А, C, E, B, не стоящая на первом месте. Какая из перечисленных цепочек создана по этому правилу? 1) BCB 2) EAC 3) BCD 4) CBB Решение. У1: третья бусина – A, B или C 1) BCB не выполняется У3 У2: первая бусина – B, D или C 2) EAC не выполняется У2 У3: первая и третья бусины – разные 3) BCD не выполняется У1 У4: вторая бусина – A, B, C или E 4) CBB все условия выполняются У5: первая и вторая бусины – разные Ответ: 4 Метод таблиц. Задача. На пяти железнодорожных путях стоят 5 поездов. Петров – машинист поезда, отправляющегося в 12.00, этот поезд зеленого цвета. В составе поезда, стоящего по центру, 12 вагонов. Сидоров - машинист поезда, отправляющегося в 12.45. Волков – машинист в поезде с 15 вагонами, его поезд сразу слева от поезда зеленого цвета. Сразу правее поезда, имеющего синий цвет, стоит поезд, отправляющийся в Киров. Кузьмин – машинист поезда, едущего в Саратов. Рядом с составом черного цвета – состав с 14 вагонами. Поезд на Иркутск отходит в 13.00. В 12.20 отправляется поезд с машинистом Поповым и он непосредственно справа от поезда до Кирова. Состав с 16 вагонами направляется в Харьков. Рядом с поездом, который отправляется в 12.20, поездной состав с 13 вагонами. Крайний состав окрашен в красный цвет. Состав с 12 вагонами отправляется в 12.30. Составы красного и черного цвета стоят рядом. Поезд, следующий до Харькова, отходит в12.00. Какой состав пестрый? Какой поезд едет в Петербург? Решение: Пронумеруем условия задачи.

• Петров – машинист поезда, отправляющегося в 12.00, этот поезд зеленого цвета.
• В составе поезда, стоящего по центру, 12 вагонов.
• Сидоров – машинист поезда, отправляющегося в 12.45.
• Волков – машинист в поезде с 15 вагонами, его поезд сразу слева от поезда зеленого цвета.
• Сразу правее поезда, имеющего синий цвет, стоит поезд, отправляющийся в Киров.
• Кузьмин – машинист поезда, едущего в Саратов.
• Рядом с составом черного цвета – состав с 14 вагонами.
• Поезд на Иркутск отходит в 13.00.
• В 12.20 отправляется поезд с машинистом Поповым и он непосредственно справа от поезда до Кирова.
• Состав с 16 вагонами направляется в Харьков.
• Рядом с поездом, который отправляется в 12.20, поездной состав с 13 вагонами.
• Крайний состав окрашен в красный цвет.
• Состав с 12 вагонами отправляется в 12.30.
• Составы красного и черного цвета стоят рядом.
• Поезд, следующий до Харькова, отходит в12.00.

	Петров	Сидоров	Волков	Кузьмин	Попов
Харьков
Иркутск
Киров
Саратов
Петербург
12.00
12.20
12.30
12.45
13.00
12 вагонов
13 вагонов
14 вагонов
15 вагонов
16 вагонов
Чёрный
Синий
Красный
Зелёный
Пёстрый

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

Задача.

Четверо друзей Алексей, Олег, Игорь и Семен занимались в разных спортивных секциях. Один из них играл в баскетбол, второй — в волейбол, третий — в футбол, а четвертый — в теннис. У них были и различные увлечения: один из них любил кино, другой — театр, третий — эстраду, а четвертый — цирк. Известно, что Алексей не играет ни в волейбол, ни в баскетбол. Олег играет в футбол и любит театр. Семен не играет в волейбол. Тот из ребят, который играет в волейбол, любит ходить в кино, а тот, кто играет в баскетбол, не любит цирк. В какую секцию ходит и чем увлекается каждый из друзей?

Решение.

• Алексей не играет ни в волейбол, ни в баскетбол.
• Олег играет в футбол и любит театр.
• Семен не играет в волейбол.
• Тот из ребят, который играет в волейбол, любит ходить в кино.
• Тот, кто играет в баскетбол, не любит цирк.

Баскетбол	Волейбол	Футбол	Теннис		Кино	Театр	Эстрада	Цирк
0	0	0	1	Алексей	0	0	0	1
0	0	1	0	Олег	0	1	0	0
0	1	0	0	Игорь	1	0	0	0
1	0	0	0	Семен	0	0	1	0

Ответ: Алексей занимается теннисом и любит ходить в цирк, Олег увлекается

театром и занимается футболом, Игорь – волейбол и кино, Семён – баскетбол и эстрада.

Метод таблиц.

Метод графов. Задача. Четыре футбольных команды: итальянская команда «Милан», испанская – «Реал», российская – «Зенит», английская – «Челси» встретились в групповом этапе лиги чемпионов по футболу. Их тренировали тренеры из этих же четырех стран: итальянец Антонио, испанец Родриго, русский Николай, англичанин Марк. Известно, что национальность у всех четырех тренеров не совпадала с национальностью команд. Требуется определить тренера каждой команды, если известно: а) Зенит не тренируется у Марка и Антонио. б) Милан обещал никогда не брать Марка главным тренером.

Италия «Милан»

Испания «Реал»

Россия «Зенит»

Англия «Челси»

Италия Антонио

Испания Родриго

Россия Николай

Англия Марк

Ответ.

Российская команда «Зенит» тренируется у испанца Родриго; итальянская команда «Милан» тренируется у русского Николая; английская команда «Челси» тренируется у итальянца Антонио; испанская команда «Реал» тренируется у англичанина Марка.

Метод блок – схем. Задача. Имеются два сосуда — трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 литров воды. В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду. Решение.

• НБ — наполнить больший сосуд водой из-под крана;
• НМ — наполнить меньший сосуд водой из-под крана;
• ОБ — опорожнить больший сосуд, вылив воду в раковину;
• ОМ — опорожнить меньший сосуд, вылив воду в раковину;
• Б→М — перелить из большего в меньший, пока больший сосуд не опустеет или меньший сосуд не наполнится;
• М→Б — перелить из меньшего в больший, пока меньший сосуд не опустеет или больший сосуд не наполнится.
Выделим три команды: НБ, Б→М, ОМ.
• Две вспомогательные команды: Б = 0 ? — посмотреть, пуст ли больший сосуд;
• М = З ? — посмотреть, наполнен ли малый сосуд.
Последовательность выполнения команд: Б→М выполнять ОМ всякий раз, как меньший сосуд оказывается наполненным НБ всякий раз, как больший сосуд будет опорожнен

Б	0	5	2	2	0	5	4	4	1	1	0	5	3	3	0	0
М	0	0	3	0	2	2	3	0	3	0	1	1	3	0	3	0

Результаты выполнения команд по блок – схеме:

Ответ: из таблицы видно, как наполнить определенное количество воды. А для наполнения 8 литров необходимо наполнить оба сосуда .

Метод кругов Эйлера - Венна.

Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят лилии, а пятеро — фиалки.

И только у двоих есть и лилии и фиалки. Угадайте, сколько у меня подруг?

Л - 6

Ф - 5

2

6-2=

4

4

5-2=

3

3

Всего 4+2+3=9

Каждая семья из нашего дома выписывает газету или журнал, или и то и другое. 75 семей выписывают газеты,

27 семей – журналы. Лишь 13 семей и журналы, и газеты.

Сколько семей в доме?

Г-75

Ж-27

13

75-13=

62

62

27-13=

14

14

62+13+14= 89 семей

С помощью алгебры логики. Задача. Составить расписание занятий так, чтобы математика была первым или вторым уроком, информатика первым или третьим уроком, а физика – вторым или третьим. В расписании всего три урока. Сколько вариантов расписания с такими условиями можно составить? Решение. М1 = «Математика первым уроком» М2 = «Математика вторым уроком» И1 = «Информатика первым уроком» И3 = «Информатика третьим уроком» Ф2 = «Физика вторым уроком» Ф3 = «Физика третьим уроком» Расписание: (М1  М2)  (И1  И3)  (Ф2  Ф3) =(М1  М2)  (И1  И3)  (Ф2  Ф3) = (М1И1  М1И3  М2И1  М2И3)  (Ф2  Ф3) = М1·И1·Ф2  М1·И3·Ф2  М2·И1·Ф2  М2·И3·Ф2  М1·И1·Ф3  М1·И3·Ф3  М2·И1·Ф3  М2·И3·Ф3 Ответ: 1 вариант – Математика, Физика, Информатика 2 вариант – Информатика, Математика, Физика Задача. Следователь допрашивает Клода, Жака и Дика. Клод утверждает, что Жак лжет, Жак обвинял во лжи Дика, а Дик призывает не слушать ни того, ни другого. Кто из допрашиваемых говорил правду? Решение:

• К  ¬Ж  ¬К  Ж
• Ж  ¬Д  ¬Ж  Д
• Д  ¬К  ¬Ж  ¬Д  (К  Ж)
(К·¬Ж  ¬К·Ж)  (Ж·¬Д  ¬Ж·Д)  (Д·¬К·¬Ж  ¬Д·(К  Ж)) ≡ (К·¬Ж· Ж·¬Д  К·¬Ж·¬Ж·Д  ¬К·Ж·Ж·¬Д  ¬К·Ж·¬Ж·Д)  (Д·¬К·¬Ж  ¬Д·К ¬Д·Ж)≡ (К·¬Ж·¬Ж·Д  ¬К·Ж·Ж·¬Д)  (Д·¬К·¬Ж  ¬Д·К  ¬Д·Ж) ≡ К·¬Ж·¬Ж·Д·Д·¬К·¬Ж  К·¬Ж·¬Ж·Д·¬Д·К  К·¬Ж·¬Ж·Д·¬Д·Ж  ¬К·Ж·Ж·¬Д·Д·¬К·¬Ж  ¬К·Ж·Ж·¬Д·¬Д·К  ¬К·Ж·Ж·¬Д·¬Д·Ж ≡ ≡ ¬К  ¬Д  Ж Ответ: правду говорил Жак.

Итоги

• Идея метода рассуждений состоит в том, что мы проводим рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и приходим к выводу, который и будет являться ответом задачи.
• Идея метода таблиц состоит в том, чтобы оформлять результаты логических рассуждений с помощью таблицы.
• Основой применения графов для решения логических задач служит выявление и последовательное исключение возможностей, заданных в условии. Основное преимущество – это наглядность.
• Идея метода блок – схем состоит в следующем: описать последовательность выполнения операций, определить порядок их выполнения и фиксировать состояния.
• Идея метода кругов Эйлера - требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи. Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Но иногда с помощью арифметических действий задачу решить гораздо легче.
• При решении задач с помощью алгебры логики обычно используется следующая схема решения:
• изучается условие задачи;
• вводится система обозначений для логических высказываний;
• конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи;
• определяются значения истинности этой логической формулы;
• из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введённых логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении.