Задачи на движение по физике 11 класс


Задачи на движение по физике.
11 класс
Задача 1
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=t
3
-4t².
Найти скорость и ускорение в момент t=5c.(Перемещение измеряется в
метрах.)
Производная от координаты по времени есть скорость, а от скорости по
времени ускорение. v(t) скорость: a(t) ускорение; t
0
=5.
V(t) = x´(t) = (t³ - 4t²)´ = 3t² - 8t. V(5) = 3 ·5² -8 ·5 = 75 -40 = 35(м/c)
A(t) = v´(t) = (3t² -8t)´ = 6t 8. a(5) = 6 ·5 8 = 30 -8 = 22(м/c).
Ответ: 35 м/с; 22 м/с
Задача 2
Вращение тела вокруг оси совершается по закону Ф(t) = 3t² -4t +2.
Найти угловую скорость w(t) в произвольный момент времени t и при t =4c.
( Ф(t) угол в радианах, w(t)- скорость в радианах в секунду, t- время в
секундах)
Скорость есть производная от расстояния по времени.
Ф(t)= 3t²- 4t + 2. w(t)= Ф´(t)= (3t² - 4t +2 =6t 4(рад/с);
w(4) = 20(рад/с).
Ответ: 20 рад
Задача 3
Маховик, задерживаемый тормозом, за время t поворачивается на угол
Ф(t) =4t- 0,3 t².
Найти: а) угловую скорость w(t) вращения маховика в момент времени t = 2с;
б)такой момент времени, когда маховик остановится (Ф(t)-угол радианах, t-
время в секундах)
Скорость- производная от расстояния по времени.
Ф(t)=4t-0,3t². w(t)=(4t-0,3t²)´=4-0,6t
1)w(2)=4-0,6·2=2,8(рад/с)
2)Маховик остановится, если w (t)= 0,т. е. 4-0,6t=0, t=4 с
Ответ: 2,8 рад/с; 4 с
Задача 4
Точка движения прямолинейно по закону X(t)=2t²+t-1.
Найти ускорение в момент времени t. В какой момент времени ускорение
будет равно:
а) 1см/c²; б)2см/с². Х(t)- перемещение в метрах, t- время в секундах)
Ускорение - вторая производная от расстояния по времени, т. е.
производная от скорости по времени.
x(t)=2t³+t-1;V(t)=(2t³+t-1) ´=6t²+1; а(t)=(6t²+1) ´=12t.
А)а(t)=1см/с², если 12t=1,т. е.t=1/12 c
Б)а(t)=2см/с², если 12t=2, т. е. t=1/6 с.
Ответ: 1/12 c; 1/6 с.
Задача 5
Точка движется прямолинейно по закону x(t)=-t³/6+3t²-5. (координата в
метрах, t- время в секундах)
Найти: а) момент времени t, когда ускорение точки равно нулю;
б) скорость движения точки в этот момент.
Скорость - производная от расстояния по времени, а ускорение производная
скорости по времени.
x(t)=-t³/6+3t²-5; v(t)=x ´(t)=-t²/2+6t; a(t)=v`(t)=-t+6
a) a(t)=0 при –t+6=0; t=6 с;
b) v(6)=-6²/2+6·6=-18+36= 18 (м/с).
Ответ: 6 с; 18 м
Задача 6
Точка движется прямолинейно по закону х(t)=t.
Покажите, что ее ускорение пропорционально кубу скорости.
x(t) = t; v(t) = x`(t)= ½·t
-
½; v³(t)= (½·t
-
½)³= 1/8·t
-
³/²
a(t) = v ´(t) = (½·t
-
½) = -¼ · t
-
³/².
Таким образом,
v³(t)/a(t) = 1/8 · t
-
³/² : (-¼ · t
-
³/²) =1/8 : (-¼) = -½
Вывод: ускорение пропорционально кубу скорости.
Задача 7
Найдите силу F, действующую на материальную точку с массой m,
движущуюся прямолинейно по закону x(t)=2t³-t² при t=2.
Ускорение – есть производная от скорости по времени.
F=m·a
x(t)=2t³-; v(t)=x'(t)=(2t³-t²)'=6t²-2t¸ a(t)=v'(t)=(6t²-2t)'=12t-2
F=m·a=m(12t-2); при t=2 F=m(12 · 2-2)=22m
Ответ: 22m
Задача 8
Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону x(t)=t²+t+1.
Координата х измеряется в сантиметрах, время t в секундах.
Найдите:
а) действующую силу; б) кинетическую энергию Е тела через 2 с. после
начала движения.
x(t)=t²+t=1; v(t)=(t²+t+1)`=2t+1 a(t)=(2t+1)´=2(c)
а)F=m·a=2 · 2 (кг · см/с²)= 4(кг · см/с²)=0,004(кг · см/с²)=0,04Н
б)Е=m·v²/2; при t=2c ; v(2)=2 · 2+1=5
E=2 · 5²/2 (кг ·см/с² )=0,0025 Дж.
Ответ: 0,04 Н; 0,0025 Дж
Задача 9
Известно, что для любой точки C стержня АВ длиной 20 см, отстоящей от
точки А на расстояние l, масса куска стержня АС в граммах определяется
по формуле m(l) = 3t² + 5l.
Найдите линейную плотность стержня: а) в середине отрезка АВ; б) в конце
В стержня.
Линейная плотность стержня d(l) есть производная от массы по длине.
m(l) = 3l² + 5l; d(l) = m´(l) = (3l² + 5l)´ = 6l + 5.
а) Линейная плотность в середине отрезка АВ = 20 см: d(10) = 6 · 10 + 5 =
65 (г/см).
б) Линейная плотность в конце В отрезка АВ: d(20) = 6 · 20 + 5 = 125
(г/см).
Ответ: 65 г/см; 125 г/см
Задача 10
По прямой движутся две материальные точки по законам x1(t) = 4t² - 3 и
x2(t) = t³.
В каком промежутке времени скорость первой точки больше скорости
второй точки?
x1(t) = 4t² - 3, значит, v1(t) = (4t² - 3) = 8t .
x2(t) = t³, значит v2(t) = (t³)´ = 3t².
Скорость первой точки больше скорости второй точки, поэтому:
8t > 3t² ,
3t/22 - 8t < 0 ,
t · (3t 8) < 0 ,
t = 0 или t =2⅔ .
0
*
*
2
2
3
t
Ответ: при t € (0 =2⅔).
Задача11
Из пункта О по двум лучам, угол между которыми 60˚, движутся два тела:
первое – равномерно со скоростью 5км/ч, которое – по закону s(t) = 2t² + t .
С какой скоростью они удаляются друг от друга? (s измеряется в километрах,
t в секундах.)
S
1
(t)=S(t)
0) 60
0
S(t)
S
2
(t)=S(t)
По теореме косинусов:
s²(t) = (5t)² + (2t² + t)² - 2 · 5t · (2t² + t) · cos60˚
= 25t² + 4t² +4t³ + +t² - 10t³ - 5t² = 4t
4
6t³ + 21t² ,
т.е. s(t) =t·√4t
2
-6t + 21, где t > 0.
v(t) = s´(t) =(t · √4t
2
-6t + 21)´=t ·√4t
2
-6t + 21 + t · (4t
2
-6t + 21)
=
4t
2
-6t + 21
+
t
· ( 8t
6 )
√4t
2
-6t + 21 1
2√4t
2
-6t + 21
8t
2
12t +42 + 8t
2
6t 16t
2
18t + 42 8t
2
9t +21
2√4t
2
-6t + 21 2√4t
2
-6t + 21 √4t
2
-6t + 21
при t > 0.