Презентация "Координаты вектора" 9 класс

МЕТОД КООРДИНАТ

Координаты вектора

Учитель математики

ОГАОУ АФ «Энергомаш» г.Шебекино

Озорнина Наталья Николаевна

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Док-во:

Лемма. Если векторы а и b коллинеарны и а = 0, то существует такое число k, что b = ka.

k =

IbI

IaI

Т.к. k≥0, то kab

a  b

a  b

k = -

IbI

IaI

Т.к. k<0, то kab

IkaI = IkI • IaI =

IbI

IaI

• IaI = IbI

b = ka

IkaI = IkI • IaI =

IbI

IaI

• IaI = IbI

b

a

ka

k =

IbI

IaI

b

a

ka

k =-

IbI

IaI

b = ka

OP = 3a +2b

N

M

P

Пусть a и b – два данных вектора. Если вектор p представлен в виде p = xa + yb, где x и y некоторые числа, то говорят, что вектор p разложен по векторам a и b. Числа x и y называются коэффициентами разложения.

а

b

О

b

а

b, a – неколлинеарные векторы

OP = OM + ON

OM = 3a

ON = 2b

M

p

p

Теорема. Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Док-во:

p

b

a

1) p коллинеарен b

По лемме о коллинеарных векторах p = yb, где y –некоторое число

p = 0•a + y•b

O

B

A

a

b

Теорема. Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Док-во:

2) p не коллинеарен ни a, ни b

p

a

b

O

b

p

a

A1

P

B

A

OA = a

OP = p

OB = b

p = OA1 + A1P

OA1 = xa A1P = yb

p = xa + yb

a = -

(y - y1)

(x - x1)

b

Теорема. Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Док-во:

Доказательство единственности разложения

p = xa + yb

p = x1a + y1b

xa + yb = x1a + y1b

Противоречие

x – x1 = 0

y – y1 = 0

x – x1 = 0 y – y1 = 0

x = x1 y = y1

xa - x1a =y1b - yb

(x - x1) a + (y - y1) b=0

Следовательно a и b коллинеарны

Теорема доказана

a = kb

Пусть

ФИЗМИНУТКА

ПОПРОБУЙТЕ ПОВТОРИТЬ ЗА НИМ!!!

X

Y

A

B

C

D

F

E

К

2

4

-2

-4

-6

-2

-4

0

2

4

По рисунку определите координаты точек

М

X

Y

0

Отложим от начала координат О единичные векторы i и j так, чтобы направление вектора j cовпало с направлением оси Ox, а направление вектора j – с направлением оси Oy. Векторы i и j назовем координатными векторами.

A

С

i

j

5i

-3j

ОА{3;2}

В

ВС{-3;5}

Начертите прямоугольную систему координат. Постройте векторы с началом в точке О, заданные координатами a{4;0}, b{3;-2}, c{5;5}, d{-6;-3}, e{-4;1},

a

b

c

d

e

X

Y

X

Y

A

i

j

C

B

O

OC = OA + OB

OA = 2i

OB = -2,5j

OC = 2i-2,5j

i, j – координатные векторы

OC {2,-2,5}