Олимпиада по математике 9 класс
Олимпиада по математике 9 класс
№1. Найти значение выражения при a = 2014
(1+
(1+
(1+
(1+
(1+
(1-
№2 Дана прямая MP и точки А и В по разные стороны от неё. На прямой MP
найти такую точку С, чтобы биссектриса угла АСВ лежала на прямой MP.
№3. Найдите действительные решения уравнения:
= 82
№4. Докажите, что треугольник со сторонами
, 13 тупоугольный.
№5. Коммерсант Вася занялся торговлей. Каждое утро он покупает товар на
некоторую часть имеющихся у него денег (возможно, на все имеющиеся у
него деньги). После обеда он продает купленный товар в 2 раза дороже, чем
купил. Как нужно торговать Васе, чтобы через 5 дней у него было ровно 25
000 рублей, если сначала у него была 1000 рублей?
Ответы олимпиадных заданий 9 класс
Решение №1: Применяя формулу (x-y)(x+y)=
-
последовательно для последних
двух множителей, в результате получим: (1-
(1+
=1-. При а = 2014,
1-= 1 - 2014= - 2013
Решение №2: Пусть точка В ближе к прямой МР, чем точка А. Найдем точку Вꞌ-
симметричную В относительно прямой МР. Дальнейшее ясно из чертежа. Исследование:
1) если АD = OB, то нет решения; 2) если Вꞌ =А, то МР- серединный перпендикуляр и
решений бесконечно много; 3) в остальных случаях единственное решение.
А
Вꞌ
М С О D Р
В
Решение №3 Обозначим х + 1 = у, тогда х + 2 = у + 1, х = у – 1. Исходное уравнение
примет вид (у + 1)
4
+ (у – 1)
4
= 82. у
4
+ 6у
2
– 40 = 0, откуда у
2
= - 10 (это уравнение не
имеет корней) или у
2
= 4. Тогда у = - 2 или у = 2. Следовательно, х + 1 = - 2 или х + 1 =
2. В итоге получаем корни 1 и – 3.
Решение №4: Рассмотрим прямоугольные треугольники АВС и АСD со сторонами АС=5,
СВ= 5, СD=10. По теореме Пифагора АВ=
, AD=
. Но
<
=13.
Поэтому для отрезка АК=13 точка К располагается по отношению к точке В правее, чем
точка D. Треугольник АВК имеет стороны
и 13 и является, очевидно,
тупоугольным.
А
5
С D
5 В 5
Решение №5. Один из вариантов следующий. Первые четыре дня Вася должен покупать
товар на все имеющиеся у него деньги. Тогда через четыре дня у него будет 16 000 рублей
(1000 → 2000 → 4000 → 8000 → 16 000). На пятый день он должен купить товар на
9 000 рублей. У него останется 7 000 рублей. После обеда он продаст товар за 18 000
рублей, и у него станет ровно 25 000 рублей.
