Презентация "Комбинаторика"

КОМБИНАТОРИКА

• Преподаватель ГОУ СПО ЯО Рыбинский лесхоз техникум Цветкова Е.Н.

• Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
• Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».
• Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным немецким учёным.

• Комбинаторика - важный раздел математики,
• знание которого необходимо представителям самых разных специальностей. С комбинаторными задачами приходится иметь дело физикам, химикам, биологам, лингвистам, специалистам по кодам и др.
• Комбинаторные методы лежат в основе решения многих задач теории
• вероятностей и
• ее приложений.

• <number>

• В Древней Греции

• подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слогов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей и т.д.

• Со временем появились различные игры
• (нарды, карты, шашки, шахматы и т. д.)

• В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучал, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.

• <number>

• Готфрид Вильгельм Лейбниц (1.07.1646 - 14.11.1716)

• Комбинаторику, как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666г. Он также впервые ввел термин «Комбинаторика».

• Леонард Эйлер(1707-1783)

• рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов, положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в большую и важную науку—топологию, которая изучает общие свойства пространства и фигур.

Если некоторый объект A можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить (m+n) способами.

• Если некоторый объект A можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить (m+n) способами.
• При использовании правила суммы надо следить, чтобы ни один из способов выбора объекта А не совпадал с каким-либо способом выбора объекта В.
• Если такие совпадения есть, правило суммы утрачивает силу, и мы получаем лишь (m + n - k) способов выбора, где k—число совпадений.

В коробке находится 10 шаров: 3 белых, 2 черных, 1 синий и 4 красных. Сколькими способами можно взять из ящика цветной шар?

• В коробке находится 10 шаров: 3 белых, 2 черных, 1 синий и 4 красных. Сколькими способами можно взять из ящика цветной шар?
• Решение:
• Цветной шар – это синий или красный, поэтому применим правило суммы:

Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А,В) в указанном порядке можно осуществить mn способами.

• Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А,В) в указанном порядке можно осуществить mn способами.
• При этом число способов выбора второго элемента не зависит от того, как именно выбран первый элемент.

Сколько может быть различных комбинаций выпавших

• Сколько может быть различных комбинаций выпавших
• граней при бросании двух игральных костей?
• Решение:
• На первой кости может быть: 1,2,3,4,5 и 6 очков, т.е. 6 вариантов.
• На второй – 6 вариантов.
• Всего: 6*6=36 вариантов.

• Правила суммы и произведения верны для любого количества объектов.

№1. Из города А а город В ведут 6 дорог, а из города В в город С – 3 дороги. Сколькими способами можно проехать из города А в город С?

• №1. Из города А а город В ведут 6 дорог, а из города В в город С – 3 дороги. Сколькими способами можно проехать из города А в город С?
• №2. На книжной полке стоят 3 книги по алгебре, 7 по геометрии и 2 по литературе. Сколькими способами можно взять с полки одну книгу по математике?
• №3. В меню имеется 4 первых блюда, 3 – вторых, 2 – десерта. Сколько различных обедов можно из них составить?

• « Эн факториал»-n!.

• Определение.
• Произведение подряд идущих первых n
• натуральных чисел обозначают n! и называют
• «эн факториал»: n!=1•2•3•…•(n-1)•n.

• 2!=

• 1•2=

• 2

• 3!=

• 1•2•3=

• 6

• 4!=

• 1•2•3•4=

• 24

• 5!=

• 1•2•3•4•5=

• 6!=

• 120

• 1•2•3•4•5•6=

• 720

• 7!=

• 1•2•3•4•5•6•7=

• 5040

• n!=(n-1)!•n

• Удобная формула!!!

Комбинации из n-элементов, отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов, называются перестановками.

• Комбинации из n-элементов, отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов, называются перестановками.
• Обозначаются Рn

• Перестановки

• Из чисел 1, 5, 9 составить трёхзначное
• число без повторяющихся цифр.

• 1

• 159

• 195

• 5

• 9

• 519

• 591

• 915

• 951

• 2 комбинации

• 2 комбинации

• 2 комбинации

• Всего 2•3=6 комбинаций.

Комбинации из n-элементов по k, отличающиеся друг от друга составом и порядком, называются размещениями.

• Комбинации из n-элементов по k, отличающиеся друг от друга составом и порядком, называются размещениями.

• Размещения

Комбинации из n-элементов по к, отличающиеся только составом элементов, называются сочетаниями из n -элементов по к.

• Комбинации из n-элементов по к, отличающиеся только составом элементов, называются сочетаниями из n -элементов по к.

• Сочетания

Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных.

• Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных.
• Сколькими способами это можно сделать?

• Решение:

• Надо выбрать двух человек из 20.
• Ясно, что от порядка выбора ничего не зависит, то есть
• Иванов - Петров или Петров - Иванов - это одна
• и та же пара дежурных. Следовательно, это будут сочетания из 20 по 2.

1. Сколько слов можно образовать из букв слова фрагмент, если слова должны состоять: из 8 букв; из 7 букв; из 3 букв?

• 1. Сколько слов можно образовать из букв слова фрагмент, если слова должны состоять: из 8 букв; из 7 букв; из 3 букв?
• 2. Студенту необходимо сдать 4 экзамена в течение десяти дней. Сколькими способами можно составить ему расписание экзаменов?
• 3. Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?
• 4. Сколько существует различных автомобильных номеров, которые состоят из 5 цифр, если первая из них не равна нулю? Если номер состоит из одной буквы, за которой следуют четыре цифры, отличные от нуля?
• 5. Подрядчику нужны 4 плотника, а к нему с предложением своих услуг обратились 10. Сколькими способами он может выбрать среди них четверых?
• 6. Сколькими способами можно расставить на полке семь книг
• 7. Сколько 5-буквенных слов можно образовать, используя для этого 10 различных букв.
• 8. Сколькими способами можно отобрать несколько фруктов из семи яблок, четырех лимонов и девяти апельсинов? (Фрукты одного вида считаем неразличимыми.)