Презентация "Основы логики" 11 класс
Подписи к слайдам:
ПОДГОТОВКА К ЕГЭ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
ПРИОРИТЕТ ВЫПОЛНЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ
A11 Вариант 2008_04_30
A9 (базовый уровень, время – 2 мин)
- Тема «Основы логики»
- Ведущие мастер-класса:
- Соколова Светлана Александровна, учитель информатики МБУ школы № 90
- Банникова Ольга Алексеевна, учитель информатики МБУ гимназии № 77
- г. Тольятти
- Логика – наука о формах и способах мышления. Основными формами мышления являются понятие, суждение, умозаключение.
- Понятие – это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта.
- Высказывание – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о реальных предметах, их свойствах и отношениях между ними.
- Высказывание может быть либо истинно, либо ложно.
- Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (вывод).
- Логика — это наука, изучающая законы и формы мышления.
- Алгебра логики — это математический аппарат, с помощью которого записывают (кодируют), упрощают, вычисляют и преобразовывают логические высказывания.
- Высказывание — это повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. При этом считается, что высказывание удовлетворяет закону исключенного третьего, т.е. каждое высказывание или истинно, или ложно и не может быть одновременно и истинным, и ложным.
- Если высказывание:
- истинно - его значение равно 1 (True, T);
- ложно - 0 (False, F).
- ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АЛГЕБРЫ
- ЛОГИКИ
- Высказывание не может быть выражено повелительным или вопросительным предложением, так как оценка их истинности или ложности невозможна.
- Для образования сложных высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок И, ИЛИ и частицей НЕ. Значение истинности сложных высказываний зависит от истинности входящих в них простых высказываний и объединяющих их связок.
- В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно оно или ложно.
- Поэтому высказывание можно представить некоторой переменной величиной, значением которой может быть 0 или 1.
- Если высказывание:
- истинно - его значение равно 1 (True, T),
- ложно - 0 (False, F).
- Простые высказывания назвали логическими переменными, а сложные высказывания логическими функциями. Значения логической функции также только 0 или 1. Для простоты записи высказывания обозначаются латинскими буквами А, В, С.
- Пример простых высказываний:
- A = “2+2=4” – истинно,
- B = “Земля не вертится” – ложно.
- В основе булевой алгебры лежат 16 основных функций. Наиболее часто применяемые из них:
- логическое отрицание (инверсия) – «не»; ¬ ; ¯ ;
- логическое умножение (конъюнкция) – «и»; &; ^ ; • ;
- логическое сложение (дизъюнкция) – «или»; +; ;
- логическое следование (импликация) –
- логическая операция эквивалентности – ~ ; ; ;
- функция Вебба (отрицание дизъюнкции) – ИЛИ-НЕ;
- функция Шеффера (отрицание конъюнкции) – И-НЕ;
- сложение по модулю 2 (М2).
- Приведенные функции можно свести в таблицу истинности:
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Логическое отрицание (инверсия):
- в естественном языке соответствует словам
- неверно, что... и частице не;
- в языках программирования Not.
- Обозначение ¬ A; Ā.
- Таблица истинности:
- Диаграмма Эйлера-Венна
- Ā
- A
|
|
|
|
|
|
- Логическое сложение (дизъюнкция):
- в естественном языке соответствует союзу или;
- в языках программирования Or.
- Обозначение +; v .
- Таблица истинности:
- Диаграмма Эйлера-Венна
- B
- A
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Логическое умножение (конъюнкция):
- в естественном языке соответствует союзу и;
- в языках программирования And.
- Обозначение &; ^ ; ∙ .
- Таблица истинности:
- Диаграмма Эйлера-Венна
- A
- B
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Логическое следование (импликация) - логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющимся ложным тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки(первого высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание). В естественном языке
- соответствует обороту
- «если ..., то ...».
- Обозначение .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Логическое следование соответствует высказыванию
- не A или B
- Сравним таблицы истинности:
- Логические выражения, у которых последние столбцы истинности совпадают, называются равносильными.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Логическая операция эквивалентности (равнозначность) - логическое равенство образуется соединением двух простых высказываний в одно с помощью оборота речи
- «... тогда и только тогда, когда …».
- Обозначение ~ ; ; .
- Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности, истинно
- тогда и только тогда, когда оба высказывания
- одновременно либо ложны, либо истинны.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Логическое отрицание (инверсия) – «не»; ¬ ; ¯ .
- Логическое умножение (конъюнкция) – «и»; &; ^ ; ∙ .
- Логическое сложение (дизъюнкция) – «или»; +; .
- Логическое следование (импликация) –
- Логическая операция эквивалентности – ~ ; ; .
- Для изменения указанного порядка могут использоваться скобки.
- Таблица истинности определяет истинность или ложность логической функции при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний.
- Правила построения таблиц истинности.
- Подсчитать количество переменных n в логическом выражении.
- Определить количество строк в таблице, которое равно m=2n
- Подсчитать количество операций в логическом выражении и определить количество столбцов в таблице: k = количество переменных (n) + количество операций.
- Ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов.
- Заполнить столбцы логических переменных наборами значений.
- Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя базовые логические операции в соответствии с установленной в п. 4 последовательностью.
- Пример. Определить истинность формулы F=((C B) B)^ (A^ B) B
- Формула является тождественно истинной, если все значения строк результирующего столбца будут равны 1.
- 1 шаг. Определяем количество строк в таблице: m=23=8
- 2 шаг. Определяем количество столбцов в таблице:
- k=3+5=8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 0
- 1
- 1
- 1
- 0
- 1
- 1
- 1
- 1
- 0
- 1
- 1
- 1
- 0
- 1
- 1
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 1
- 1
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 1
- 1
- 1
- 1
- 1
- 1
- 1
- 1
- 1
- 1
- 1
- Для какого из указанных значений X истинно высказывание
- ¬((X > 2)→(X > 3))?
- 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
- Определим порядок действий: сначала вычисляются результаты отношений в скобках, затем выполняется импликация (поскольку есть «большие» скобки), затем – отрицание (операция «НЕ») для выражения в больших скобках.
- ¬((X > 2)→(X > 3))
- Решение (Вариант 1. Прямая подстановка)
- 2) Выполняем операции для всех приведенных возможных ответов (1 обозначает истинное условие, 0 – ложное); определяем результаты сравнения в двух внутренних скобках:
- 1
- 1
- 1
- 0
- 0
- 0
- 1
- 0
- Таким образом, ответ – 3.
- Решение (Вариант 1. Прямая подстановка)
- Можно «забыть» отрицание (помните, что правильный ответ – всего один!)
- Можно перепутать порядок операций (скобки, «НЕ», «И», «ИЛИ», «импликация»)
- Нужно помнить таблицу истинности операции «импликация», которую очень любят составители тестов.
- Этот метод проверяет только заданные числа и не дает общего решения, то есть не определяет все множество значений X, при которых выражение истинно.
- Обозначим простые высказывания буквами:
- A = X > 2, B = X > 3
- Тогда можно записать все выражение в виде:
- ¬(A → B) или
- Выразим импликацию через «НЕ» и «ИЛИ»:
- A → B = ¬A + B = ¬A B или
- Раскрывая по формуле де Моргана, получаем:
- ¬(¬A B)= A ¬B или
- Таким образом, данное выражение истинно только тогда, когда A истинно (X > 2), а B – ложно (X ≤ 3),
- то есть для всех X, таких что 2 < X ≤ 3
- Таким образом, ответ – 3.
- Нужно помнить законы логики (например, формулы де Моргана).
- При использовании формул де Моргана нужно не забыть заменить «И» на «ИЛИ» и наоборот.
- Нужно не забыть, что инверсией (отрицанием) для выражения X > 3 является X ≤ 3, а не X < 3
- В данном случае, наверное, проще первый вариант решения (прямая подстановка всех предложенных ответов).
- Второй вариант позволяет не только проверить заданные значения, но и получить общее решение – все множество X, для которых выражение истинно; это более красиво для человека, обладающего математическим складом ума.
- Перепишем заданное выражение в других обозначениях: A ¬(¬B C) =
- Применим формулу де Моргана, а затем закон двойного отрицания:
- Перепишем ответы в других обозначениях:
- ¬A ¬B ¬C =
- A ¬B ¬C =
- A B ¬C =
- A ¬B C =
- Таким образом, правильный ответ – 3 .
- Серьезные сложности представляет применяемая в заданиях ЕГЭ форма записи логических выражений, поэтому рекомендуется сначала внимательно перевести их в удобный вид; потом сразу становится понятно.
- При использовании законов де Моргана часто забывают, что нужно заменить «И» на «ИЛИ» и «ИЛИ» на «И».
- Иногда для решения нужно упростить не только исходное выражение, но и заданные ответы, если они содержат импликацию или инверсию сложных выражений.
- Перепишем заданное выражение в других обозначениях: A ¬(¬B C) =
- Перепишем ответы в других обозначениях:
- ¬A ¬B ¬C =
- A ¬B ¬C =
- A B ¬C =
- A ¬B C =
- Для доказательства равносильности двух логических выражений достаточно показать, что они принимают равные значения при всех возможных комбинациях исходных данных.
- Поэтому можно составить таблицы истинности для исходного выражения и всех ответов и сравнить их.
- Здесь 3 переменных, каждая из которых принимает два возможных значения (всего 8 вариантов).
- 1
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 1
- 1
- 1
- 1
- 1
- 1
- 1
- 0
- 1
- 1
- 1
- 1
- 1
- 1
- 1
- 1
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 1
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- Таким образом, правильный ответ – 3 .
- Исходное выражение истинно только тогда, когда и , то есть только при (в таблице истинности одна единица, остальные – нули)
- 7) Выражение истинно, если хотя бы одна из переменных равна нулю, то есть, оно будет ложно только при (в таблице истинности один нуль, остальные – единицы).
- Аналогично выражение ложно только при , а в остальных случаях – истинно.
- Выражение истинно только при ,а в остальных случаях – ложно.
- Выражение истинно только при
- , а в остальных случаях – ложно.
- Сравнительно большой объем работы.
- Очевидно, что проще использовать первый вариант решения (упрощение исходного выражения и, если нужно, ответов), но для этого нужно помнить формулы.
- Если формулы забыты, всегда есть простой (хотя и более трудоемкий) вариант решения через таблицы истинности.
- Укажите значения переменных К, L, M, N, при которых логическое выражение
- (¬(М L) К) → (¬К ¬М) N)
- ложно.
- Ответ запишите в виде строки из 4 символов: значений переменных К, L, М и N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что К=1, L=1, M=0, N=1.
- B4 (высокий уровень)
- Запишем уравнение
- (¬(М L) К) → (¬К ¬М) N) = 0, используя более простые обозначения операций:
- Из таблицы истинности операции «импликация» следует, что это выражение ложно тогда и только тогда, когда одновременно и
- Первое равенство выполняется тогда и только тогда, когда К=1 и . Отсюда следует , что может быть только при
- Таким образом, три переменных мы уже определили: К = 1 , М = 0, L = 0
- Из второго условия, , при К=1 и М=0 получаем N = 0
- Таким образом, правильный ответ для К, L, М и N соответственно – 1000
- Переменные однозначно определяются только для ситуаций «сумма = 0» (все равны 0) и «произведение = 1» (все равны 1), в остальных случаях нужно рассматривать разные варианты.
- Не всегда выражение сразу распадается на 2 (или более) отдельных уравнения, каждое из которых однозначно определяет некоторые переменные.
- Возможные проблемы
- Запишем уравнение
- (¬(М L) К) → (¬К ¬М) N) = 0, используя более простые обозначения операций:
- Заменим импликацию по формуле :
- Раскроем инверсию сложного выражения по формуле де Моргана:
- Упростим выражение
- Тогда получим:
- Мы получили уравнение вида «сумма = 0», в нем все слагаемые должны быть равны нулю.
- Поэтому сразу находим
- Таким образом, правильный ответ для К, L, М и N соответственно – 1000
- Этот способ работает всегда и дает более общее решение; в частности, можно легко обнаружить, что уравнение имеет несколько решений (тогда оно не сведется к форме «сумма = 0» или «произведение = 1»).
- Замечание
- Нужно помнить правила преобразования логических выражений и хорошо владеть этой техникой.
- Сколько различных решений имеет уравнение
- ((K L) → (L M N)) = 0
- где K, L, M, N – логические переменные?
- В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
- B4 (высокий уровень)
- Перепишем уравнение, используя более простые обозначения операций:
- ((K + L) → (L · M · N)) = 0.
- Из таблицы истинности операции «импликация» следует, что это равенство верно тогда и только тогда, когда одновременно
- K + L = 1 и L · M · N = 0.
- Из уравнения следует, что хотя бы одна из переменных, K или L равна 1 или обе вместе; поэтому рассмотрим три случая.
- K = 1 и L = 0; K = 1 и L = 1; K = 0 и L = 1.
- Если K = 1 и L = 0, то второе равенство L · M · N = 0 выполняется при любых М и N; поскольку существует 4 комбинации двух логических переменных (00, 01, 10 и 11), имеем 4 разных решения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Решение
- Если K = 1 и L = 1, то второе равенство L · M · N = 0 выполняется при М · N = 0; существует 3 таких комбинации (00, 01 и 10), имеем еще 3 решения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Решение
- Если K = 0 и L = 1 (из первого уравнения); при этом второе равенство L · M · N = 0 выполняется при М · N = 0; существует 3 таких комбинации (00, 01 и 10), имеем еще 3 решения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Всего получаем: 4 + 3 + 3 = 10 решений.
- Решение
- Лучше начинать с того уравнения, где меньше переменных.
- Есть риск потерять какие-то решения при переборе вариантов.
- Возможные проблемы
- Логическое выражение ¬ Y ¬ ((X Y ) ^ ¬ Y) ^X ^ ¬ Y максимально упрощается до выражения:
- 1) X ^Y 2) ¬Y 3) X 4) 1
- ¬ Y ¬ ((X Y ) ^ ¬ Y) ^X ^ ¬ Y =
- ¬ Y ¬ (X ^¬ Y Y ^¬ Y) ^X ^ ¬ Y =
- ¬ Y ¬ (X ^¬ Y0) ^X ^ ¬ Y =
- ¬ Y ¬ (X ^¬ Y) ^X ^ ¬ Y =
- ¬ Y (¬ X ¬ ¬Y) ^X ^ ¬ Y =
- ¬ Y (¬ X Y) ^X ^ ¬ Y =
- ¬ Y (¬ X Y) ^X ^ ¬ Y =
- ¬ Y (¬ X ^X ^ ¬ Y Y ^X ^ ¬ Y) =
- ¬ Y (0^ ¬ Y X ^ 0) =
- ¬ Y 0 = ¬ Y
- Правильный ответ – 2
- Логическое выражение ¬ (X Y ) ¬X ^ Y X Y максимально упрощается до выражения:
- 1) 0 2) 1 3) X 4) ¬ X ^Y
- ¬ (X Y ) ¬X ^ Y X Y =
- ¬ X ^ ¬ Y ¬X ^ Y X Y =
- ¬ X ^ ¬ Y ¬X ^ Y X Y =
- ¬ X ^ ( ¬ Y Y) X Y =
- ¬ X ^ 1 X Y =
- ¬ X X Y =
- ¬ X X Y =
- 1 Y =
- 1 Y = 1
- Правильный ответ – 2
- Покажем области, определяемые выражениями:
- A
- B
- С
- A
- B
- С
- Покажем области, определяемые выражениями:
- A
- B
- С
- C
- A
- B
- A
- B
- С
- A
- B
- С
- A
- B
- С
- A
- B
- С
- Покажем области, определяемые выражениями:
- B
- ¬ A
- X
- ∙
-
- 6
- B
- ¬ A
- X
-
-
- 5
- A
- B
- Ā
- A
- B
- Ā
- A
- B
- Ā
- A
- B
- Ā
- Высказывания A, B, C истинны для точек, принадлежащих соответственно для круга, треугольника и прямоугольника. Для всех точек выделенной на рисунке области истинно высказывание:
- не B и A и не C
- A и C и не B
- не B и A или не C
- C и A или не B
- Высказывания A, B, C истинны для точек, принадлежащих соответственно для круга, треугольника и прямоугольника. Для всех точек выделенной на рисунке области истинно высказывание:
- не B и A и не C
- A и C и не B
- не B и A или не C
- C и A или не B
- - A
- - B
- - C
- 1 шаг. A и C
- 2 шаг. A и C и не B
- Варианты ответа:
- не B и A и не C
- A и C и не B
- не B и A или не C
- C и A или не B
- Правильный ответ – 2
- Высказывания A, B, C истинны для точек, принадлежащих соответственно для круга, треугольника и прямоугольника. Для всех точек выделенной на рисунке области истинно высказывание:
- не A и не C и B
- не A или не C или B
- не (B и A) и C
- B и (C или не A)
- - A
- - B
- - C
- 1 шаг. B и C
- 2 шаг. B и не A
- Варианты ответа:
- не A и не C и B
- не A или не C или B
- не (B и A) и C
- B и (C или не A)
- Правильный ответ – 4
- 3 шаг. (B и C) или (B и не A)
- 4 шаг. B и (C или не A )
- Высказывания A, B, C истинны для точек, принадлежащих соответственно для круга, треугольника и прямоугольника. Для всех точек выделенной на рисунке области истинно высказывание:
- C и не A или не B
- не (C или B и A)
- (B или C) и (C или не A)
- B и C или C и не A
- - A
- - B
- - C
- 1 шаг. не A и C
- 2 шаг. B и C
- Варианты ответа:
- C и не A или не B
- не (C или B и A)
- (B или C) и (C или не A)
- B и C или C и не A
- Правильный ответ – 4
- 3 шаг. (не A и C) или (B и С)
- Высказывания A, B, C истинны для точек, принадлежащих соответственно для круга, треугольника и прямоугольника. Для всех точек выделенной на рисунке области истинно высказывание:
- C и (B или не A)
- B и C или не C и A
- C или не A и не B
- C и не A или B и C
- - A
- - B
- - C
- 1 шаг. B и C
- 2 шаг. A и не C
- Варианты ответа:
- C и (B или не A)
- B и C или не C и A
- C или не A и не B
- C и не A или B и C
- Правильный ответ – 2
- 3 шаг. (B и C) или (A и не C )
- Высказывания A, B, C истинны для точек, принадлежащих соответственно для круга, треугольника и прямоугольника. Для всех точек выделенной на рисунке области истинно высказывание:
- C и не A и не B
- B и не A или C и не B
- не (B и A) и не C
- C и B или не A
- - A
- - B
- - C
- 1 шаг. C и не B
- 2 шаг. B и не A
- Варианты ответа:
- C и не A и не B
- B и не A или C и не B
- не (B и A) и не C
- C и B или не A
- Правильный ответ – 2
- 3 шаг. (C и не B) или (B и не A)
- В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу. Для обозначения логической операции «ИЛИ» в запросе используется символ |, а для логической операции «И» – &.
- 1) принтеры & сканеры & продажа
- 2) принтеры & продажа
- 3) принтеры | продажа
- 4) принтеры | сканеры | продажа
- 1) принтеры & сканеры & продажа
- 2) принтеры & продажа
- 3) принтеры | продажа
- 4) принтеры | сканеры | продажа
- Меньше всего результатов выдаст запрос с наибольшими ограничениями – первый (нужны одновременно принтеры, сканеры и продажа).
- На втором месте – второй запрос (одновременно принтеры и сканеры).
- Далее – третий запрос (принтеры или сканеры).
- Четвертый запрос дает наибольшее количество результатов (принтеры или сканеры или продажа).
- Таким образом, верный ответ – 1234 .
- Нужно внимательно читать условие, так как в некоторых задачах требуется перечислить запросы в порядке убывания количества результатов, а в некоторых – в порядке возрастания.
- Можно ошибиться в непривычных значках: «И» = &, «ИЛИ» = |.
- Можно перепутать значение операций «И» и «ИЛИ», а также порядок выполнения цепочки операций (сначала – «И», потом – «ИЛИ»).
- Для сложных запросов не всегда удается так просто расположить запросы по возрастанию (или убыванию) ограничений.
- Запишем все ответы через логические операции.
- 2. Покажем области, определяемые этими выражениями, на диаграмме с тремя областями:
- Сравнивая диаграммы, находим последовательность областей в порядке увеличения. Таким образом, верный ответ – 1234.
- A
- B
- С
- A
- B
- С
- A
- B
- С
- A
- B
- С
- Получается громоздкий рисунок, если используется более трех переменных (более трех кругов).
- Возможные проблемы
- &
- А(0,0,1,1)
- B(0,1,0,1)
- F(0,0,0,1)
- Логический элемент «И»
- Логический элемент «ИЛИ»
- 1
- А(0,0,1,1)
- B(0,1,0,1)
- F(0,1,1,1)
- Логический элемент «НЕ»
- Каждой элементарной логической операции можно поставить в соответствие элементарную логическую схему, или вентиль.
- А(0,1)
- F(1,0)
- На входе и выходе вентиля мы имеем физические сигналы двух видов, что можно ассоциировать с логическим 0 и логической 1.
- Построение логических схем по булеву выражению.
- Определить число переменных.
- Определить количество логических операций и их порядок.
- Построить для каждой логической операции свою схему (если это возможно).
- Объединить логические схеме в порядке выполнения логических операций.
- Построение булева выражения по логической схеме.
- На выходе каждого логического элемента записать результат логической операции.
- Записать получившуюся формулу на выходе последнего элемента.
- Упростить получившуюся формулу.
- Пример. F= D^(A ^ B ^C ¬ B ^ ¬C).
- Число переменных (входы) – 4 (A, B, C, D).
- Количество логических операций (количество вентилей) – 7.
- Определяем порядок выполнения логических операций.
- F
- A
- B
- C
- D
- ¬ B
- ¬C
- A ^ B
- A ^ B ^C
- ¬ B ^ ¬C
- &
- &
- 1
- A ^ B ^C ¬ B ^ ¬C
- &
- &
- F= D^7(A ^3 B ^4C ˅6 ¬1 B ^5 ¬2C)
- A
- Пример. Дана логическая схема. Построить логическое выражение, описывающее эту схему.
- Запишем значения на выходах элементов:
- ¬ A
- ¬ A ^ B
- A ¬ A ^ B
- ¬B
- ¬B ^(A ¬ A ^ B)
- То есть F=¬B ^(A ¬ A ^ B)
- &
- A
- B
- 1
- 4
- 1
- 2
- &
- 3
- 5
- F
- Полученную функцию можно сократить:
- F = ¬B ^ (A ¬ A ^ B) = = ¬B ^A ¬B ^ ¬ A ^ B =
- = A^ ¬B ¬ A^B^ ¬B=
- = A^ ¬B ¬ A^0 =
- = A^ ¬B
- Для каждой строки таблицы с единичным значением функции построить минтерм. (Минтермом называется терм-произведение, в котором каждая переменная встречается только один раз – либо с отрицанием, либо без него). Переменные, имеющие нулевые значения в строке, входят в минтерм с отрицанием, а переменные со значением 1 – без отрицания).
- Объединить все минтермы операцией дизьюнкция, что даст стандартную сумму произведений для заданной таблицы истинности.
- Пример. Дана таблица истинности. Построим булево выражение для F.
- Найдем строки, в которых F=1. Это 2, 3, 6 строки.
- Для второй строки: A=0,B=0, C=1.
- Минтерм: ¬ A^ ¬ B^C
- Для третьей строки: A=0,B=1, C=0.
- Минтерм: ¬ A^ B^¬C
- Для шестой строки: A=1,B=0, C=1.
- Минтерм: A^ ¬ B^ C
- Объединяя термы, получим булево выражение для F:
- F(A,B,C) = ¬ A^ ¬ B^C ¬ A^ B^¬C A^ ¬ B^ C
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Дана таблица истинности выражения F.
- Какое выражение соответствует F?
- ¬X ^ Y^Z X ^ ¬ Y ^Z X ^ Y ^ ¬ Z
- X ^ Y^Z X ^ ¬ Y ^Z X ^ ¬ Y ^ ¬ Z
- ¬X ^ Y^Z X ^ Y ^Z X ^ ¬ Y ^ Z
- ¬X ^ ¬ Y^ ¬ Z ¬ X ^ Y ^Z X ^ Y ^ ¬ Z
- Построим булево выражение для данной таблицы истинности:
- Найдем строки, в которых F=1. Это 1, 4, 7 строки.
- Для первой строки минтерм:
- ¬X ^ ¬ Y^ ¬ Z
- Для четвертой строки минтерм:
- ¬ X ^ Y ^Z
- Для седьмой строки минтерм:
- X ^ Y ^ ¬ Z
- Объединяя термы, получим булево выражение для F:
- F = ¬X ^ ¬ Y^ ¬ Z ¬ X ^ Y ^Z X ^ Y ^ ¬ Z
- Таким образом, правильный ответ: 4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.
- Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
- Какое выражение соответствует F?
- ¬X ¬Y ¬Z
- X Y Z
- X Y Z
- ¬X ¬Y ¬Z
- Нужно для каждой строчки подставить заданные значения X, Y и Z во все функции, заданные в ответах, и сравнить результаты с соответствующими значениями F для этих данных.
- Если для какой-нибудь комбинации X, Y и Z результат не совпадает с соответствующим значением F, оставшиеся строчки можно не рассматривать, поскольку для правильного ответа все три результата должны совпасть со значениями функции F.
- Перепишем ответы в других обозначениях:
- ¬X ¬Y ¬Z =
- X Y Z =
- X Y Z =
- ¬X ¬Y ¬Z =
- Первое выражение, , равно 1 только при , поэтому это неверный ответ (первая строка таблицы не подходит).
- Второе выражение, , равно 1 только при , поэтому это неверный ответ (первая и вторая строки таблицы не подходят)
- Решение (Основной вариант)
- Третье выражение, , равно нулю при , поэтому это неверный ответ (третья строка таблицы не подходит)
- Решение (Основной вариант)
- Четвертое выражение, равно нулю только тогда, когда , а в остальных случаях равно 1, что совпадает с приведенной частью таблицы истинности
- Таким образом, правильный ответ – 4.
- Решение (Основной вариант)
- Красный крестик показывает, что значение функции не совпадает с F, а знак «–» означает, что вычислять оставшиеся значения не обязательно.
- Серьезные сложности представляет применяемая в заданиях ЕГЭ форма записи логических выражений, поэтому рекомендуется сначала внимательно перевести их в удобный вид.
- Расчет на то, что ученик перепутает значки и .
- В некоторых случаях заданные выражения-ответы лучше сначала упростить, особенно если они содержат импликацию или инверсию сложных выражений.
- Часто правильный ответ – это самая простая функция, удовлетворяющая частичной таблице истинности, то есть, имеющая единственный нуль или единственную единицу в полной таблице истинности.
- В этом случае можно найти такую функцию и проверить, есть ли она среди данных ответов.
- В приведенной задаче в столбце F есть единственный нуль для комбинации .
- Выражение, которое имеет единственный нуль для этой комбинации, это , оно есть среди приведенных ответов (ответ 4).
- Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.
- Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
- Какое выражение соответствует F?
- 1) ¬X ¬Y ¬Z
- 2) X Y Z
- 3) X ¬Y ¬Z
- 4) X ¬Y ¬Z
- Перепишем ответы в других обозначениях:
- ¬X ¬Y ¬Z =
- X Y Z =
- X ¬Y ¬Z =
- X ¬Y ¬Z =
- В столбце F есть единственная единица для комбинации , простейшая функция, истинная (только) для этого случая, имеет вид , она есть среди приведенных ответов.
- Таким образом, правильный ответ – 3.
- База данных «Книги», наряду с другими, имеет поля с названиями «возраст» и «год издания». В базе данных находятся 33 записи о книгах для детей младшего, среднего и старшего школьного возраста. Количество записей N, удовлетворяющих различным запросам, приведено в следующей таблице:
- Количество записей, удовлетворяющих запросу «возраст = старший и год издания >=2000», равно:
- 1) 8 2) 6 3) 3 4) 14
|
|
|
|
|
|
|
|
- 1 шаг. Обращаем внимание на логические операции и операции отношения.
- Запрос «возраст = старший и год издания >=2000
- 2 шаг. По закону де Моргана преобразуем вторую строку:
- НЕ (СРЕД или МЛ) = НЕ СРЕД и НЕ МЛ =9,
- следовательно старших (СТ) = 9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Задание А11. Вариант 10 Источник: «Информатика: готовимся к ЕГЭ», Зеленко Л.С., Сопченко Е.В.,
- Самара, 2008
- Запрос «возраст = старший и год издания >=2000
- 3 шаг. По законам де Моргана и двойного отрицания преобразуем первую строку:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Задание А11. Вариант 10 Источник: «Информатика: готовимся к ЕГЭ», Зеленко Л.С., Сопченко Е.В.,
- Самара, 2008
- Запрос: «возраст = старший и год издания >=2000»
- 4 шаг. Запрос возраст <> младший соответствует запросу возраст = старший или возраст = средний.
- Преобразуем третью строку:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Задание А11. Вариант 10 Источник: «Информатика: готовимся к ЕГЭ», Зеленко Л.С., Сопченко Е.В.,
- Самара, 2008
- Запрос «возраст = старший и год издания >=2000»
- Варианты ответа: 1) 8 2) 6 3) 3 4) 14
- 5 шаг. Сравнивая первую и третью строки, делаем вывод, что
- 6 шаг. Из второй строки известно сколько всего возраст = старший (9).
- Делаем вывод, что
- Правильный ответ: 3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Задание А11. Вариант 10 Источник: «Информатика: готовимся к ЕГЭ», Зеленко Л.С., Сопченко Е.В.,
- Самара, 2008
- Алгоритм решения логических задач
- внимательно изучить условие;
- выделить простые высказывания и обозначить их латинскими буквами;
- записать условие задачи на языке алгебры логики;
- составить конечную формулу, для этого объединить логическим умножением формулы каждого утверждения, приравнять произведение единице;
- упростить формулу, проанализировать полученный результат или составить таблицу истинности, найти по таблице значения переменных, для которых Р = 1, проанализировать результаты.
- В школьном первенстве по настольному теннису в четверку лучших вошли девушки: Наташа, Маша, Люда и Рита. Самые горячие болельщики высказали свои предположения о распределении мест в дальнейших состязаниях.
- Один считает, что первой будет Наташа, а Маша будет второй.
- Другой болельщик на второе место прочит Люду, а Рита, по его мнению, займет четвертое место.
- Третий любитель тенниса с ними не согласился. Он считает, что Рита займет третье место, а Наташа будет второй.
- Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов.
- Какое место на чемпионате заняли Наташа, Маша, Люда, Рита?
- (В ответе перечислите подряд без пробелов числа, соответствующие местам девочек в указанном порядке имен.)
- В школьном первенстве по настольному теннису в четверку лучших вошли девушки: Наташа, Маша, Люда и Рита. Самые горячие болельщики высказали свои предположения о распределении мест в дальнейших состязаниях.
- Один считает, что первой будет Наташа, а Маша будет второй.
- Другой болельщик на второе место прочит Люду, а Рита, по его мнению, займет четвертое место.
- Третий любитель тенниса с ними не согласился. Он считает, что Рита займет третье место, а Наташа будет второй.
- Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Какое место на чемпионате заняли Наташа, Маша, Люда, Рита?
- (В ответе перечислите подряд без пробелов числа, соответствующие местам девочек в указанном порядке имен.)
- B6 (повышенный уровень, время – 8 мин) Пример 1 (2007)
- Н1 М2
- Л2 Р4
- Р3 Н2
- Н1 М2 v Н1 М2 =1
- Л2 Р4 v Л2 Р4 =1
- Р3 Н2 v Р3 Н2 =1
-
- (Н1 М2 v Н1 М2) (Л2 Р4 v Л2 Р4 ) (Р3 Н2 v Р3 Н2 ) =
- (Н1•М2 + Н1•М2) •
- (Л2•Р4•Р3•Н2 +Л2•Р4•Р3•Н2 + Л2•Р4•Р3•Н2 + Л2•Р4•Р3•Н2) =
- Н1•М2•Л2•Р4•Р3•Н2 + Н1•М2•Л2•Р4•Р3•Н2 + Н1•М2•Л2•Р4•Р3•Н2 +
- Н1•М2•Л2•Р4•Р3•Н2 + Н1•М2•Л2•Р4•Р3•Н2 + Н1•М2•Л2•Р4•Р3•Н2 =
- = Н1•М2•Л2•Р4•Р3•Н2
- Наташа – 1
- Маша – 4
- Люда – 2
- Рита – 3
-
-
- Ответ: 1423
- B6 (повышенный уровень, время – 8 мин) Пример 1 (2007)
- Перед началом Турнира Четырех болельщики высказали следующие предположения по поводу своих кумиров:
- А) Макс победит, Билл – второй;
- В) Билл – третий, Ник – первый;
- С) Макс – последний, а первый – Джон.
- Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Какое место на турнире заняли Джон, Ник, Билл, Макс? (В ответе перечислите подряд без пробелов места участников в указанном порядке имен.)
- B6 (повышенный уровень, время – 8 мин) Пример 2 (2008)
- Применим к этой задаче формальный аппарат математической логики.
- Каждый из трех болельщиков высказал два утверждения, всего получилось 6; обозначим их так:
- A: М1 = «Макс – первый», Б2 = «Билл – второй»
- B: Н1 = «Ник – первый», Б3 = «Билл – третий»
- C: Д1 = «Джон – первый», М4 = «Макс – четвертый»
- Теперь нужно записать, что у каждого одно высказывание верно, а второе неверно:
- М1 Б2
- Б3 Н1
- М4 Д2
- М1 Б2 v М1 Б2 =1
- Б3 Н1 v Б3 Н1 =1
- М4 Д2 v М4 Д2 =1
-
- (М1 · ¬ Б2 + ¬ М1 · Б2) · (Б3 · ¬Н1+ ¬ Б3 · Н1) ·(М4 · ¬Д1+ ¬ М4 · Д1)
- =(М1 · ¬ Б2 · Б3 · ¬Н1 + М1 · ¬ Б2 · ¬ Б3 · Н1 + ¬ М1 · Б2 · Б3 · ¬Н1 +
- + ¬ М1 · Б2 · ¬ Б3 · Н1) ·(М4 · ¬Д1+ ¬ М4 · Д1) =
- =(М1 · ¬ Б2 · Б3 · ¬Н1+ ¬ М1 · Б2 · ¬ Б3 · Н1) ·(М4 · ¬Д1+ ¬ М4 · Д1)
- = М1 · ¬ Б2 · Б3 · ¬Н1 · М4 · ¬Д1+ М1 · ¬ Б2 · Б3 · ¬Н1 · ¬ М4 · Д1+
- + ¬ М1 · Б2 · ¬ Б3 · Н1 · М4 · ¬Д1+ ¬ М1 · Б2 · ¬ Б3 · Н1 · ¬ М4 · Д1 =
- = ¬ М1 · Б2 · ¬ Б3 · Н1 · М4 , следовательно
- Ник – первый, Билл – второй, Макс четвертый Джон – третий
- Ответ: 3124
- Ё
- 0
- 0
- Ё
- Ё
- 0
- Ё
- 0
- 0
- Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе появилась компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а кто – нет. Однажды все трое прогуляли урок астрономии. Директор знает, что никогда раньше никто из них не прогуливал астрономию. Он вызвал всех троих в кабинет и поговорил с мальчиками. Коля сказал: «Я всегда прогуливаю астрономию. Не верьте тому, что скажет Саша». Саша сказал: «Это был мой первый прогул этого предмета». Миша сказал: «Все, что говорит Коля, – правда». Директор понял, кто из них кто. Расположите первые буквы имен мальчиков в порядке: «говорит всегда правду», «всегда лжет», «говорит правду через раз». (Пример: если бы имена мальчиков были Рома, Толя и Вася, ответ мог бы быть: РТВ).
- B6 (повышенный уровень, время – 8 мин) Пример 3 (2009)
- Во-первых, есть «точная» информация, которая не подвергается сомнению: (*) все трое прогуляли урок астрономии в первый раз.
- Запишем высказывания мальчиков:
- Коля: 1. Я всегда прогуливаю астрономию.
- 2. Саша врет.
- Саша: 1. Я в первый раз прогулял астрономию.
- Миша:1. Коля говорит правду.
- Известно, что один из них все время лжет, второй – говорит правду, а третий говорит правду через раз (то есть, из двух его высказываний одно истинно, а второе – ложно).
- Коля: 1. Я всегда прогуливаю астрономию.
- 2. Саша врет.
- Саша: 1. Я в первый раз прогулял астрономию.
- Миша:1. Коля говорит правду.
- Сопоставив первое высказывание Коли (Я всегда прогуливаю астрономию) и высказывание Саши (Я в первый раз прогулял астрономию) с «точной» информацией (*), сразу определяем, то тут Коля соврал, а Саша сказал правду; это значит, что второе высказывание Коли – тоже неверно, поэтому мальчик Коля всегда лжет.
- Тогда один из оставшихся, Саша или Миша, говорит правду всегда, а второй – через раз.
- Коля: лжет
- Саша: 1. Я в первый раз прогулял астрономию.
- Миша:1. Коля говорит правду.
- Мишино высказывание неверно, поскольку мы уже определили, что Коля лжет; это значит, что Миша не всегда говорит правду, он – «полу-лжец».
- Тогда получается, что Саша всегда правдив, и действительно, его высказывание верно.
- Таким образом, верный ответ – СКМ (Саша – правдив, Коля – лжец, Миша – «полу-лжец» ).
- Длинное запутанное условие, из которого нужно выделить действительно существенную информацию и формализовать ее.
- Легко по невнимательности перепутать порядок букв в ответе (здесь сначала правдивый, потом – лжец, потом – «полу-лжец»).
- B6 (повышенный уровень, время – 8 мин) Пример 4 (Вариант №2, 2009)
- Один из пяти братьев – Никита, Глеб, Игорь, Андрей или Дима – испек маме пирог. Когда она спросила, кто сделал ей такой подарок, братья ответили следующее:
- Никита: «Пирог испек Глеб или Игорь».
- Глеб: «Это сделал не я и не Дима».
- Андрей: «Нет, один из них сказал правду, а другой обманул».
- Дима: «Нет, Андрей, ты не прав».
- Мама знает, что трое из сыновей всегда говорят правду. Кто же испек пирог?
- Решение Пример 4 (Вариант №2, 2009)
- Обозначим высказывания:
- F =Г+И Никита: «Пирог испек Глеб или Игорь».
- K = ¬Г · ¬Д Глеб: «Это сделал не я и не Дима».
- C = (F · ¬ K) + (¬ F · K) Андрей: «Нет, один из них сказал правду, а другой обманул».
- W = ¬ C Дима: «Нет, Андрей, ты не прав».
- Составим таблицу истинности, найдем в ней строку с тремя истинными высказываниями из F, K, C, W.
- По таблице истинности (см. следующий слайд) пирог испек Игорь.
- Решение Пример 4 (Вариант №2, 2009)
- F =Г+И K = ¬Г · ¬Д C = (F · ¬ K) + (¬ F · K) W = ¬ C
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 1
- 2
- 3
- 4
- B6 (повышенный уровень, время – 8 мин) Пример 5 (Вариант №1, 2009)
- Три друга – Петр, Роман и Сергей – учатся на математическом (М), физическом (Ф) и химическом (Х) факультетах.
- Если Петр математик, то Сергей не физик. Если Роман не физик, то Петр – математик. Если Сергей не математик, то Роман – химик.
- Определите специальность каждого. Ответ запишите в виде строки из трех символов, соответствующих первым буквам названия специальностей Петра, Романа и Сергея (в указанном порядке). Так, например, строка МФК соответствует тому, что Петр – математик, Роман – физик, Сергей – химик.
- Решение Пример 5 (Вариант №1, 2009)
- A Петр - математик
- B Сергей-не физик
- C Роман физик
- D Сергей математик D= = ¬B
- E Роман химик E= ¬C
- (A ¬B)•(¬C A) •(¬D E)=
- = (¬ A+¬B)•(C +A) •(D + E)=
- = (¬ A+¬B)•(C +A) •(¬B +¬C)=
- = ¬ B+(¬ A•¬C) •(A+C )= ¬ B=1,
- Значит B=0,D=1 Сергей математик,
- Следовательно, A=0
- ¬C A=1
- C+A=1
- C=1 Роман физик, а Петр химик Ответ: ХФМ
- Три студента Антонов, Волков, Сергеев стремятся сдать сессию на отлично. Были высказаны следующие предположения:
- сдача экзаменов на отлично студентам Волковым равносильна тому, что сдаст на отлично Антонов или Сергеев;
- неверно, что сдаст на отлично Волков или одинаково на отлично сдадут Антонов и Сергеев;
- студент Сергеев не сдаст экзамены на отлично и это притом, что если Антонов сдаст на одни пятерки, то и Волков сдаст так же отлично.
- После сессии оказалось, что только одно из трех предположений ложно. Кто сдал экзамены на отлично? В ответе укажите первые буквы фамилий студентов. Например, ответ АВС означает, что все трое сдали экзамены на одни пятерки.
- B6 (повышенный уровень, время – 8 мин) Пример 6 (Вариант №4, 2009)
- Андрей, Ваня и Саша собрались в поход. Учитель хорошо знавший этих ребят, высказал следующие предположения:
- Андрей пойдет в поход только тогда, когда пойдут Ваня и Саша.
- Андрей и Саша друзья, а это значит, что они пойдут в поход вместе или же оба останутся дома.
- Чтобы Саша пошел в поход, необходимо, чтобы пошел Ваня.
- Когда ребята пошли в поход, оказалось, что учитель немного ошибся: из трех его утверждений истинными оказались только два. Кто из названных ребят пошел в поход?
- А В С
- А С v А С
- С В
-
- А v В С
- А С v А С
- С v В
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- B6 (повышенный уровень, время – 8 мин) Пример 7
- А v В С
- А С v А С
- С v В
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- (А v В С) (А С v А С) (С v В) = 1
- (А v В С) (А С v А С) (С v В) = 1
- (А v В С) (А С v А С) (С v В) = 1
- Ответ: А В С
- Решение Пример 7
- Информационные ресурсы
- «Практикум по информатике и информационным технологиям», Н.Д. Угринович, Л.Л. Босова, М.: Бином. Лаборатория знаний, 2004
- «Информатика. Задачник- практикум в 2 т.», Под ред. И.Г. Семакина, Е.К. Хеннера, М.: Бином. Лаборатория знаний, 2002
- «Информатика: готовимся к ЕГЭ», Зеленко Л.С., Сопченко Е.В., Самара, 2008
- «ЕГЭ 2008. Информатика. Федеральный банк экзаменационных материалов», П.А. Якушкин, С.С. Крылов, М.: Эксмо, 2008
- «ЕГЭ 2009. Информатика.», Ярцева, Цикина, 2009
- «ЕГЭ 2009. Информатика - Универсальные материалы для подготовки учащихся», Крылов С.С, Лешинер В.Р, Якушкин П.А.
- Готовимся к ЕГЭ по информатике - Самылкина Н.Н.
- ЕГЭ Информатика : Раздаточный материал тренировочных тестов, Гусева И.Ю.
- ЕГЭ Информатика - ЕГЭ это просто! Молодцов В.А.
- ЕГЭ 2009 Информатика, Книга Сборник Экзаменационных заданий ЕГЭ 2009 ЭКСМО
- ЕГЭ 2009 Информатика, ЕГЭ 2009 по информатике от ФИПИ
- http://kpolyakov.narod.ru
- http://www.ctege.org - Подготовка к ЕГЭ
- http://www.websib.ru/noos/informatika/ege.htm - Предметный сайт для учителей информатики.
- http://pedsovet.su/load/7 - "Сообщество взаимопомощи учителей", раздел по информатике.
Информатика - еще материалы к урокам:
- Презентация "Формирование личностных УУД через внеурочную деятельность по информатике в 5 классе"
- Конспект урока "Архивация данных" 9 класс
- Презентация "Устройства вывода" 8 класс
- Презентация "Автоматизированное тестирование"
- Презентация "Алгоритм шифрования BlowFish"
- Презентация "Объектно-ориентированное программирование. Базовые и утилитные классы API JAVA"