Презентация "Логические основы компьютера"

• Логические основы компьютера

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение.

• Логические операции.

• Выделяют следующие логические операции:
• инверсия; конъюнкция;
• дизъюнкция; импликация;
• эквиваленция.

• Операция инверсия (отрицание):

• Отрицание - это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.

• Обозначается: ол

• В естественном языке: соответствует словам "неверно, что..." и частице "не"

• Диаграмма Эйлера-Венна:

• Принимаемые значения: лрл

• Диаграмма Эйлера-Венна:
• В алгебре множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения до универсального множества, т.е. множеству получившемуся в результате отрицания множества соответствует множество, дополняющее его до универсального множества.

• Операция конъюнкция
• (лат. conjunctio — соединение)
• (логическое умножение):

• Конъюнкция - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

• Обозначается: ол

• В естественном языке: соответствует союзу "и"

• Принимаемые значения: лрл

• Диаграмма Эйлера-Венна:
• В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате умножения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно двум множествам.

Примеры:

• 10 делится на 2 (A - и). 5 больше 3 (B - и). 10 делится на 2 и 5 больше 3 (A B - и).
• 10 не делится на 2 (A - л). 5 больше 3 (B - и). 10 не делится на 2 и 5 больше 3 (A B - л).
• 10 делится на 2 (A - и). 5 не больше 3 (B - л). 10 делится на 2 и 5 не больше 3 (A B - л).
• 10 не делится на 2 (A - л). 5 не больше 3 (B - л). 10 делится на 2 и 5 больше 3 (A B - л).

Операция дизъюнкция (лат. disjunctio — разделение) (логическое сложение):

• Дизъюнкция - это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

• Обозначается: ол

• В естественном языке: соответствует союзу "или"

• Принимаемые значения: лрл

Диаграмма Эйлера-Венна: В алгебре множеств дизъюнкции соответствует операция объединения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате сложения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих либо множеству А, либо множеству В.

Примеры:

• 10 делится на 2 (A - и). 5 больше 3 (B - и).
• 10 делится на 2 или 5 больше 3 (A B - и).
• 10 не делится на 2 (A - л). 5 больше 3 (B - и).
• 10 не делится на 2 или 5 больше 3 (A B - и).
• 10 делится на 2 (A - и). 5 не больше 3 (B - л).
• 10 делится на 2 или 5 не больше 3 (A B - и).
• 10 не делится на 2 (A - л). 5 не больше 3 (B - л).
• 10 не делится на 2 или 5 не больше 3 (A B - л).

Операция импликация (лат. лат. implico — тесно связаны) (логическое сложение):

• Импликация - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.

• Обозначается: ол

• В естественном языке: соответствует обороту "если ..., то ..."

• Принимаемые значения: лрл

Примеры:

• Данный четырёхугольник — квадрат (A - и). Около данного четырёхугольника можно описать окружность (B - и). Если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность (A B - и).
• Данный четырёхугольник — не квадрат (A - л). Около данного четырёхугольника можно описать окружность (B - и). Если данный четырёхугольник не квадрат, то около него можно описать окружность (A B - и).
• Данный четырёхугольник — квадрат (A - и). Около данного четырёхугольника нельзя описать окружность (B - л). Если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность (A B - л).
• Данный четырёхугольник — не квадрат (A - л). Около данного четырёхугольника нельзя описать окружность (B - л). Если данный четырёхугольник не квадрат, то около него нельзя описать окружность (A B - и).

Операция эквиваленция (двойная импликация):

• Эквиваленция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

• Обозначается: ол

• В естественном языке: соответствует оборотам речи
• "тогда и только тогда"; "в том и только в том случае"

• Принимаемые значения: лрл

Примеры:

• 24 делится на 6 (A - и). 24 делится на 3 (B - и). 24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3 (A B - и).
• 24 не делится на 6 (A - л). 24 делится на 3 (B - и). 24 не делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3 (A B - л).
• 24 делится на 6 (A - и). 24 не делится на 3 (B - л). 24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3 (A B - л).
• 24 не делится на 6 (A - л). 24 не делится на 3 (B - л). 24 не делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 не делится на 3 (A B - и).

• Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками.
• Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция
• отрицания (“не”),
• затем конъюнкция (“и”),
• после конъюнкции — дизъюнкция (“или”)
• и в последнюю очередь —
• импликация и эквиваленция

Логические формулы.

• С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой.
• Определение логической формулы:
• 1. Всякая логическая переменная и символы "истина" ("1") и "ложь" ("0") — формулы.
• 2. Если А и В — формулы, то , (А &В), (А v В), (А B), (А В) — формулы.
• 3. Никаких других формул в алгебре логики нет.
• В п. 1 определены элементарные формулы; в п. 2 даны правила образования из любых данных формул новых формул.

• Пример:
• Рассмотрим высказывание "если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог".
• Обозначим буквой A высказывание: "купить яблоки", буквой B - высказывание: "купить абрикосы", буквой C - высказывание: "испечь пирог".
• Тогда высказывание "если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог" формализуется в виде формулы:
• (A v B)

• C

• Формула выполнимая - если при определенных сочетаниях значений переменных она принимает значение "истина" ("1") или "ложь" ("0").

• Как показывает анализ формулы (A v B) C, при определённых сочетаниях значений переменных A, B и C она принимает значение "истина", а при некоторых других сочетаниях — значение "ложь".

Тавтология - тождественно истинная формула, или формула принимающая значение "истина" ("1") при любых входящих в нее значениях переменных.

• Тавтология - тождественно истинная формула, или формула принимающая значение "истина" ("1") при любых входящих в нее значениях переменных.
• Логически истинные высказывания - высказывания, которые формализуются тавтологиями.
• В качестве другого примера рассмотрим формулу А &A, которой соответствует, например, высказывание “Катя самая высокая девочка в классе, и в классе есть девочки выше Кати”. Очевидно, что эта формула ложна, так как либо А, либо A обязательно ложно.
• Противоречие - тождественно ложная формула, или формула принимающая значение "ложь" ("0") при любых входящих в нее значениях переменных.

Логически ложные высказывания - высказывания, которые формализуются противоречиями.

• Логически ложные высказывания - высказывания, которые формализуются противоречиями.
• Равносильные формулы - две формулы А и В принимающие одинаковые значения, при одинаковых наборах значений входящих в них переменных.
• Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом
• Равносильное преобразование формулы - замена формулы другой, ей равносильной.

Таблицы истинности.

• Таблицу, показывающую, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний, называют таблицей истинности
• составного высказывания.
• Составные высказывания в алгебре логики записываются с помощью логических выражений. Для любого логического выражения достаточно просто построить таблицу истинности.

Алгоритм построения таблицы истинности:

• 1.Подсчитать количество переменных n в логическом выражении.
• 2. Определить число строк в таблице, которое равно m = 2n.
• 3. Подсчитать количество логических операций в логическом выражении и определить количество столбцов в таблице: количество переменных + количество операций = количество столбцов.
• 4. Ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов.
• 5. Заполнить столбцы входных переменных наборами значений.
• 6. Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в п.4 последовательностью.

Пример:

• для формулы построить таблицу истинности.
• Решение:
• Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк в таблице истинности должно быть 2*2*2=8.
• Количество логических операций в формуле 5, следовательно количество столбцов в таблице истинности должно быть 3+5=8.

Основные законы логики.

• Пусть высказывание A равносильно высказыванию B, тогда можно записать A B.
• В алгебре логики выполняются следующие основные законы, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений.
• 1. Законы коммутативности:
• 2. Законы ассоциативности:

3. Законы дистрибутивности:

• 3. Законы дистрибутивности:
• 4. Законы де Моргана:
• 5. Законы поглощения:
• 6. Закон противоречия:
• 7. Закон исключенного третьего:
• 8. Закон двойного отрицания:
• 9. Закон контрпозиции:

В алгебре логики доказано, что любую логическую функцию можно выразить через комбинацию логических операций отрицание ("не"), конъюнкцию ("и") и дизъюнкцию ("или").

• Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:
• Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

Двоичное кодирование и алгебра логики.

• Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера, поскольку основной системой счисления в компьютере является двоичная, в которой используются цифры 1 и 0, а значений логических переменных тоже два: "истина" (“1”) и "ложь" (“0”).
• Из этого следует два вывода:
• одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и хранения как числовой информации, представленной в двоичной системе счисления, так и логических переменных;
• на этапе конструирования аппаратных средств алгебра логики позволяет значительно упростить логические функции, описывающие функционирование схем компьютера, и, следовательно, уменьшить число элементарных логических элементов, из десятков тысяч которых состоят основные узлы компьютера.
• Данные и команды представляются в виде двоичных последовательностей различной структуры и длины.

Существуют различные физические способы кодирования двоичной информации, но чаще всего единица кодируется более высоким уровнем напряжения, чем ноль (или наоборот).

• Например:

Логический элемент компьютера — это часть электронной логичеcкой схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.

• Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ и другие (называемые также вентилями), а также триггер.
• Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем. Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.

Для хранения информации используются триггеры.

• Для хранения информации используются триггеры.
• Триггер — это электронная схема, широко применяемая в регистрах компьютера для надёжного запоминания одного разряда двоичного кода. Триггер имеет два устойчивых состояния, одно из которых соответствует двоичной единице, а другое - двоичному нулю.
• Термин триггер происходит от английского слова trigger - защёлка, спусковой крючок. Для обозначения этой схемы в английском языке чаще употребляется термин flip-flop, что в переводе означает “хлопанье”. Это звукоподражательное название электронной схемы указывает на её способность почти мгновенно переходить (“перебрасываться”) из одного электрического состояния в другое и наоборот.
• Самый распространённый тип триггера собирается из четырех логических элементов "И-НЕ" (причем два из них играют вспомогательную роль) — так называемый RS-триггер (S и R, соответственно, от английских set — установка, и reset — сброс).
• Условное обозначение триггера:  

Сумматор — это электронная логическая схема, выполняющая суммирование двоичных чисел. Этот узел интересен для нас тем, что он лежит в основе арифметического устройства ЭВМ и иллюстрирует некоторые принципы выполнения вычислительных операций в компьютере.

• логическая схемма одноразрядного сумматора (А=1, В=0, Ci=1)