Формула тонкой линзы. Линейное увеличение линзы
Лекция № 51
Рабочая литература: УМК «Физика 11 класс» Мякишев Г.Я.
Автор: Сборщиков Е.И.
Формула тонкой линзы. Линейное увеличение линзы
П.1: Формула тонкой линзы
Пусть у нас имеется предмет в виде прямой AB высотой h. Построим его действительное
изображение с помощью собирающей линзы. Расположим предмет за двойным фокусом.
Проведём луч, параллельный главной оптической оси, который после преломления
пройдёт через главный фокус и луч, проходящий через оптический центр линзы. Итак, мы
получили изображение
высотой H.
Дадим изображению характеристику. Мы видим изображение, которое образовано
самими лучами, значит оно действительное. Также оно уменьшенное и перевёрнутое.
Изображение находится между фокусом и двойным фокусом. Жёлтая стрелочка - наш
предмет AB, а красная - изображение предмета
. Обозначим оптический центр линзы
точкой O, а точку пересечения луча, параллельного главной оптической оси с тонкой
собирающей линзой назовём точкой
. Не будем забывать, что у нас есть и координаты:
d и f.
Рассмотрим треугольники AOB и
. Они подобны. Значит,
.
Рассмотрим также треугольники
FO и
. (где F – главный фокус линзы,
находящийся справа от неё). Эти треугольники также подобны. Значит,
.
Заметим, что отношение высоты изображения к высоте предмета – одинаково для обоих
случаев. Следовательно, правые части уравнений можно приравнять. Имеем:
Правую часть получившегося уравнения разделим на F, тогда
Разделим обе части уравнения на f. Получаем
Перенесём
за знак равенства и получим:
А существует ли формула тонкой линзы для рассеивающей линзы? Да. Построим
изображение в рассеивающей линзы.
Мы доказали, что изображение, построенное с помощью рассеивающей линзы, будет
всегда мнимым, прямым и уменьшенным.
Тогда формула тонкой линзы примет вид:
Эти формулы позволяют нам найти и фокусное расстояние, и расстояние от предмета до
линзы, и расстояние от линзы до изображения. Практически все задачи по геометрической
оптике решаются с помощью формулы тонкой линзы.
Например, найдём расстояние от линзы до изображения, если известно фокусное
расстояние, и расстояние от предмета до линзы. Запишем формулу тонкой линзы:
Выразим величину, обратную расстоянию от линзы до изображения:
Теперь выражаем само расстояние f. Получим:
Рассмотрим случай, когда d=2F. Подставим это значение в получившуюся формулу:
Сделаем вывод, что если предмет находится на двойном фокусном расстоянии, то и
изображение предмета находится на двойном фокусном расстоянии.
А если уменьшать d? Допустим, d <F, тогда f <0, значит изображение станет мнимым.
А может ли d быть величиной отрицательной? Ведь тогда это будет означать, что предмет
находится справа от линзы. Конечно, реальный предмет не сможет быть справа от линзы,
но в такой ситуации может участвовать предмет, который сам является изображением,
построенный какими-то другими частями оптической системы.
Тогда, если d <0, то получается мнимым предмет.
МНИМЫЙ ПРЕДМЕТ – ситуация в оптике, когда на линзу падает сходящийся пучок
лучей, который в отсутствии линзы формирует в некоторой точке пространства
действительное изображение.
Пусть оптическая система, где находится реальный предмет, создает изображение этого
предмета в точке пересечения двух синих лучей. Но так бы шли лучи, если бы линзы не
было. В данном случае, это точка, назовём её А, изображение какого-то точечного
источника. Как только появилась линза, это изображение будет является предметом.
Изображением точки А будет являться точка В, образованная преломленными синими
лучами. Линза превратила пучок лучей в ещё более сходящийся. Выходит так, что точка А
является мнимым предметом.
Вспомним важное свойство: если F >0 – линза собирающая, F <0 – линза рассеивающая.
Это свойство можно рассмотреть, если сравнить формулы тонкой линзы для собирающей
и рассеивающей.
П.2: Линейное увеличение линзы
Вернёмся к самому первому рисунку, который мы использовали для вывода формулы
тонкой линзы. Мы отмечали высоты предмета и изображения. Рассмотрим отношения
этих высот и обозначим его заглавной греческой буквой гамма «Г», тогда:
Эта величина называется линейное увеличение линзы.
ЛИНЕЙНОЕ УВЕЛИЧЕНИЕ ЛИНЗЫ – физическая величина, равная отношению
размера изображения, к размеру предмета.
Но из отношения
можно сказать, что линейное увеличение линзы — это отношение
расстояние от линзы до изображения, к расстоянию от предмета до линзы. Тогда:
Запомним, что если Γ >0, то f >0 и d >0, значит изображение действительное и
перевёрнутое. И наоборот. Если эти величины отрицательны – значит изображение
мнимое и прямое.
А
В
Пусть нам известны размеры предмета, оно же положение точки вершины относительно
главной оптической оси. Найдём высоту изображения. Найдём расстояние от линзы до
изображения с помощью линейного увеличения линзы.
(в подобных формулах величина, которая обозначается буквой d, обычно пишут справа,
чтобы не перепутать со знаком дифференцирования).
Найдём высоту изображения H из соотношения подобных сторон. Получим:
Величину f можно вывести из формулы тонкой линзы. Подставим её в формулу высоты
изображения:
В таком же виде можно записать и формулу расстояния от линзы до изображения.
Будем рассматривать H и h, не как расстояние, а как координату, ровно также, как f и d.
Построим эту систему координат:
Поставим точку на этой системе координат. Найдем ей положение.
Из системы уравнений:
Но у этой точки есть и изображения. Если рассматривать эти два уравнения в
совокупности, то мы получим координаты и предмета, и изображения.
*П.3: Система вплотную сложенных линз
Рассмотрим такую задачу: пусть нам даны две вплотную сложенные собирающие линзы и
их оптические силы. Нужно найти общую оптическую силу.
d
h
H
f
Конечно, можно сразу догадаться, что эти оптические силы можно сложить. Докажем это
с помощью формулы тонкой линзы.
Пусть у нас есть точечный источник света, лежащий на главной оптической оси. Но перед
этим вместо двух линз возьмём одну и поместим её в том же месте
Оптическая сила первой линзы будет
, а второй -
. Оптическая сила линзы, которая
заменяет собой две вплотную сложенные линзы будет D. Наша задача – найти D.
Построим изображение точечного источника и обозначим расстояния в системе из одной
линзы. Если нам известны все параметры, мы можем найти D. Запишем:
Но у нас на самом деле две линзы. Наш точечный источник размещён на таком же
расстоянии. Для первой линзы, расстояние от предмета до неё будет равно
. Покажем
пучок лучей, как и на рисунке с одной линзой. Если бы не вторая линза, то этот пучок
лучей преломился и попал бы в точку А. Расстояние от первой линзы до точки А
обозначим
. Тогда:
Заметим, что свет, преломившийся в первой линзе, не собирается в точке А, а ещё
дополнительно преломляется второй линзой. Значит пучок света соберется в той же точке,
что и в случае с одной линзой. Обозначим на первом рисунке эту точку В. Расстояние от
второй линзы, до точки В обозначим
. Вспомним определения мнимого предмета и
оказывается, что изображение в точке В, это изображения точечного источника света,
который находится в точке А. Значит отрезок от второй линзы до точки А будет равен
. Координата отрицательна. Запишем формулу тонкой линзы для этого случая:
d
f
А
В
Но расстояние
это ни что иное как
, так как линзы сложены вплотную. Тогда:
Запишем в системе уравнения для оптических сил первой и второй линз и сложим их.
Имеем:
При сложении получаем:
Но следуя чертежу
и
. Тогда запишем в следующем виде:
Выражение в правой части соответствует значению оптической силы линзы, когда мы
систему вплотную сложенных линз заменили одной. Из этого следует:
Сделаем вывод: если сложить две линзы, то оптическая сила системы вплотную
сложенных линз равна алгебраической сумме оптических сил каждой из этих линз.
Запишем ещё несколько утверждений:
1. Если при сложении двух линз получится рассеивающая линза, то общая
оптическая сила будет отрицательна.
2. Если сложить плосковыпуклую и плосковогнутую линзы, с одинаковым радиусом
кривизны, то оптическая сила такой систему будет равна 0.
*П.4: Формула Ньютона
Решим такую задачу: нам известны расстояния от точечного источника до фокальной
плоскости, и расстояние от фокальной плоскости, до изображения этого точечного
источника. Обозначим эти расстояния x и
соответственно. Требуется найти фокусное
расстояние.
Начнём с чертежа. Пусть данный точечный источник света лежит на главной оптической
оси между фокусом и двойным фокусом. Для того, чтобы построить его изображение,
проведём два параллельных луча: один от точечного источника, другой - через
оптический центр линзы. После преломления в линзе лучи соберутся в фокальной
плоскости. Луч, идущий от точечного источника, после преломления будет идти дальше,
пока не пересечёт главную оптическую ось в точке. Эта точка – изображение источника.
Введём обозначения: SF = x,
, d = x + F,
.
С помощью этих обозначений решим задачу. Запишем формулу тонкой линзы:
Подставляем значения:
Приведём левую часть уравнения к общему знаменателю:
Раскроем скобки и приведём подобные:
Избавимся от дроби воспользовавшись основным свойством пропорции:
Заметим, что подобные слагаемые взаимно уничтожатся. В конечном итоге получим
формулу:
Мы получили рабочую формулу, которая называется формула Ньютона.
Домашнее задание
1. Волькенштейн: №15.4, 15.11, 15.20, 15.29, 15.32, 15.37,15.49
2. Гольдфарб: №26.15, 26.23, 26.25, 26.31, 26.35
3. Мартынов: №1019Т (1-6), 1022Т (1-6), 1024-25Т (1-6)
4. Кирик (8 класс): №3в
5. Рымкевич (старое издание): №1097, 1122, 1127, 1129
Физика - еще материалы к урокам:
- Сферические линзы. Построение изображений с помощью линз
- Реферат по дисциплине "Электротехника" на тему "Электромагнитный импульс"
- Письмо Ловцовой А.Ф. – поздравление своих учеников с великим триумфом науки - Днём КОСМОНАВТИКИ И АВИАЦИИ.
- Контрольная работа по физике "Сила трения" 9 класс
- Контрольная работа по физике 8 класс за 1 четверть к учебнику Пёрышкина А.В.
- Тест по физике "Плавание судов" 7 класс (с ответами)
