Презентация "Синус и косинус" 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс.

Урок на тему:

Синус и косинус.

Синус и косинус.

Что будем повторять ,что будем изучать:

Определение синуса и косинуса.

Определение тангенса и котангенса.

Основное тригонометрическое тождество

Формировать навыки решения простейших уравнений и неравенств.

Таблица значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса.

Основные свойства.

Синус и косинус в жизни.

Определение.

Синус и косинус.

Ребята, давайте отметим на числовой окружности точку Р, посмотрите рисунок,

наша точка Р соответствует некоторому числу t числовой окружности,

тогда абсциссу точки  Р будем называть косинусом числа t и обозначать cos(t),

а ординату точки  Р назовем синусом числа t и обозначим sin(t).

Наша точка Р(t) = Р(x,y) тогда:

X = cos(t)

Y = sin(t)

А как будет выглядеть запись синуса и косинуса на математическом языке?

Давайте посмотрим:

Тангенс и котангенс.

Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называют тангенсом числа t и обозначают tg(t).

Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют котангенсом числа t и обозначают ctg(t).

Стоит заметить, так как на 0 делить нельзя, то, для

тангенса cos(t) ≠ 0, а для котангенса sin(t) ≠ 0

Определение.

Так же важно определить понятие тангенса и котангенса числа t числовой окружности, запишем определения:

Синус и косинус.

Основное тригонометрическое тождество.

Давайте вспомним уравнение числовой окружности:

нашему числу Х соответствует абсцисса координатной плоскости, а числу Y – ордината, посмотрим определение синуса и косинуса на первом слайде и получим:

Важно, запомните!

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса в четвертях окружности:

Таблица значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса.

Синус и косинус.

не сущ. – не существует значение, т.к. на 0 делить нельзя

Основные свойства.

Синус и косинус.

Для любого числа t справедливы равенства:

sin(-t) = -sin(t)

cos(- t) = cos(t)

tg(- t) = -tg(t)

ctg(- t) = -ctg(t)

sin(t + 2π •k ) = sin(t)

cos(t +2π •k ) = cos(t)

sin(t + π ) = -sin(t)

cos(t +π ) = -cos(t)

tg(t + π •k ) = tg(t)

ctg(t +π •k ) = ctg(t)

sin(t + π/2 ) = cos(t)

cos(t +π/2 ) = -sin(t)

Синус и косинус.

Синус и косинус в жизни.

Для чего нужны синусы и косинусы в обычной жизни?

На практике синусы и косинусы применяются во всех инженерных специальностях, особенно в строительных. Их используют моряки и летчики в расчетах курса движения. Не обходятся без синусов и косинусов геодезисты, и даже путешественники. В географии применяют для измерения расстояний между объектами, а также в спутниковых навигационных системах.

Пример

Вычислить синус и косинус t при: t=53π/4

Решение:

Т.к. числам t и t+2π•k (k-целое число) соответствует одна и тоже точка числовой окружности:

53π/4 = (12 + 5/4) • π = 12π +5π/4 = 5π/4 + 2π•6

Воспользуемся свойством sin(t + 2π •k ) = sin(t), cos(t +2π •k ) = cos(t)

sin(5π/4 + 2π•6 ) = sin(5π/4 ) = sin(π/4 + π)

cos(5π/4 + 2π•6 ) = cos(5π/4 )= cos(π/4 + π)

Воспользуемся свойством sin(t + π ) = -sin(t), cos(t +π) = -cos(t)

sin(π/4 + π )=-sin(π/4 )

cos(π/4 + π)=-cos(π/4 )

Из таблицы значений синуса и косинуса получаем:

sin(53π/4 ) =

Синус и косинус.

cos(53π/4 ) =

Пример

Решение:

Синус и косинус.

Вычислить синус и косинус t при: t= -49π/3

Т.к. числам t и t+2π•k (k-целое число) соответствует одна и тоже точка числовой окружности то:

-49π/3 = -(16 + 1/3) • π = -16π +(-π/3) = (-π/3) + 2π•(-8)

Воспользуемся свойством sin(t + 2π •k ) = sin(t), cos(t +2π •k ) = cos(t)

sin(-π/3 + 2π•(-8) )=sin(-π/3 )

cos(-π/3 + 2π•(-8) )=cos(-π/3 )

Воспользуемся свойством sin(- t) = -sin(t), cos(- t) = cos(t)

sin(-π/3)=-sin(π/3 )

cos(-π/3)=cos(π/3 )

Из таблицы значений синуса и косинуса получаем:

sin(-49π/3 ) = -

cos(-49π/3)=

Решить уравнение a) sin(t)= , б) sin(t) >

Пример

Синус и косинус.

Решение:

sin(t) – из определения, это ордината точки числовой окружности.

Значит на числовой окружности нужно найти точки с ординатой

и записать, каким числам t, они соответствуют - точки F и G на рисунке.

а) Точка F и G имееют координаты:

π/3 +2 π •k и 2π/3 +2 π •k

Ответ : a) t= π/3 +2 π •k и t= 2π/3 +2 π •k

б)π/3 +2 π •k <t<2π/3 +2 π •k

б) Уравнению y > ½ это дуга FG тогда:

π/3 +2 π •k <t<2π/3 +2 π •k

Пример

Решить уравнение а)cos(t)=1/2 б) cos(t)>1/2

Синус и косинус.

cos(t) – из определения, это абсцисса точки числовой окружности.

Значит на числовой окружности нужно найти точки с абсциссой равной 1/2 и записать, каким числам t, они соответствуют –

точки F и G на рисунке

а) Точка F и G соответствуют координаты:

-π/3 +2 π •k и π/3 +2 π •k

Ответ : а) t= -π/3 +2 π •k и t=π/3 +2 π •k

б) –π/3 +2 π •k <t< π/3 +2 π •k

б) Уравнению x >1/2

соответствует дуга FG тогда:

-π/3 +2 π •k <t< π/3 +2 π •k

Пример

Решение:

Синус и косинус.

Вычислить тангенс и котангенс t при: t= -7π/3

Т.к. числам t и t+2π•k (k-целое число) соответствует одна и тоже точка числовой окружности то:

-7π/3 = -(2 + 1/3) • π = -2π +(-π/3) = (-π/3) + 2π

Воспользуемся свойством tg(x+ π •k ) = tg(x), ctg(x+π •k ) = ctg(x)

tg((-π/3) + 2π ) = tg(- π/3)

сtg((-π/3) + 2π ) = сtg(- π/3)

Воспользуемся свойством tg(-x) = -tg(x), ctg(-x) = -ctg(x)

tg(-π/3)=-tg(π/3 )

сtg(-π/3)=-сtg(π/3 )

Из таблицы значений получаем:

tg(-7π/3) = -tg(π/3 ) =

сtg(-7π/3) = -сtg(π/3 ) = -

Задачи для самостоятельного решения.

1) Решить уравнение a) sin(t)= -½, б) sin(t) > -½ в) sin(t) < -½

2) Решить уравнение а) cos(t) = -½, б) cos(t) > -½, в) cos(t) < ½,

Синус и косинус.