Ученики на Учителя.com


Пособие по алгебре для улучшения наглядного восприятия и усвоения теоретического материала по алгебре

Пособие по алгебре
для улучшения наглядного восприятия и усвоения
теоретического материала по алгебре
с примерами и заданиями
для учеников 7 – 8 классов
Ф. И. О. ученика_____________________
класс_____________
школа____________
Законы (свойства) сложения и умножения
Переместительный (коммутативный) закон сложения: m + n = n + m. Сумма не
меняется от перестановки её слагаемых.
Переместительный (коммутативный) закон умножения: m · n = n · m. Произведение не
меняется от перестановки его сомножителей.
Сочетательный (ассоциативный) закон сложения: (m + n) + k = m + (n + k) = m + n + k
Сумма не зависит от группировки её слагаемых.
Сочетательный (ассоциативный) закон умножения:( m · n) · k = m · (n · k) = m · n · k.
Произведение не зависит от группировки его сомножителей.
Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения:
(m + n) · k = m · k + n · k . Этот закон фактически расширяет правила действий со скобками
Порядок действий. Скобки.
Чтобы указать, в каком порядке должны выполняться действия, пользуются скобками. Если
скобки отсутствуют, действия выполняются в следующем порядке:
1) возведение в степень и извлечение корня (в порядке их следования);
2) умножение и деление (в порядке их следования);
3) сложение и вычитание (в порядке их следования).
При наличии скобок сначала выполняются действия в скобках в указанном выше порядке, а
затем все остальные действия вне скобок опять же с соблюдением указанного выше порядка.
П р и м е р. Вычислить выражение:
( 10 + 2
3
· 3 ) + 4
3
– ( 16 : 2 – 1 ) · 5 – 150 : 5
2
.
Р е ш е н и е. Сначала выполняем действия в скобках в следующем порядке:
1) вычисляем степень:
( 10 + 8 · 3 ) + 4
3
– ( 16 : 2 – 1 ) · 5 – 150 : 25 ;
2) после этого выполняем умножение и деление в скобках:
( 10 + 24 ) + 4
3
– ( 8 – 1 ) · 5 – 150 : 25 ;
3) теперь выполняем сложение и вычитание в скобках:
34 + 4
3
– 7 · 5 – 150 : 25 ;
4) вычисляем степень вне скобок: 4
3
= 64 ;
5) наконец, после оставшихся умножения 7 · 5 = 35 и деления 150 : 25 = 6 получаем:
34 + 64 − 35 – 6 = 57.
Линейное уравнение — это уравнение в котором присутствует лишь одна неизвестная,
которая чаще всего обозначается за х, и это уравнение обязательно имеет следующий вид ax = b
или ax – b = 0 , где a и b - числа, а x - неизвестное.
Для решения линейных уравнений используют два основных правила (свойства).
Свойство № 1
или
правило переноса
При переносе из одной части уравнения в другую член уравнения меняет свой знак
на противоположный.
Давайте разберём правило переноса на примере. Пусть нам требуется решить линейное уравнение.
Вспомним, что у любого уравнения есть левая и правая часть.
Перенесем число «3» из левой части уравнения в правую.
Так как в левой части уравнения у числа «3» был знак «+», значит в правую часть уравнения «3» перенесется со знаком «−».
Полученное числовое значение «x = 2» называют корнем уравнения.
Важно!
Не забывайте после решения любого уравнения записывать ответ.
Рассмотрим другое уравнение.
5x = 4x + 9
По правилу переноса перенесем «4x» из левой части уравнения в правую, поменяв
знак на противоположный.
Несмотря на то, что перед «4x» не стоит никакого знака, мы понимаем, что перед «4x»
стоит знак «+».
5x = 4x + 9
5x = +4x + 9
5x − 4x = 9
Теперь приведем подобные слагаемые и решим уравнение до конца.
Кстати, что обозначает термин подобные слагаемые?
Ответ: Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными
слагаемыми.
Например: 2а и –5а ; 13x и 22x
Теперь дорешаем с вами пример
5x − 4x = 9
x = 9
Ответ: x = 9
Свойство № 2
или
правило деления
Запомните!
В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число.
Но нельзя делить на неизвестное!
Разберемся на примере, как использовать правило деления при решении линейных уравнений.
Число «4», которое стоит при «x», называют числовым коэффициентом при неизвестном.
Между числовым коэффициентом и неизвестном всегда стоит действие умножение.
Чтобы решить уравнение необходимо сделать так, чтобы при «x» стоял коэффициент «1».
Давайте зададим себе вопрос: «На что нужно разделить «4», чтобы
получить «1»?». Ответ очевиден, нужно разделить на «4».
Разделим левую и правую части уравнения на «4». Не забудьте, что делить нужно и левую, и
правую части.
Используем сокращение дробей (числитель и знаменатель дроби делим на
одно и то же число, отличное от 0) и решим линейное уравнение до конца.
Как решить уравнение, если «x»
отрицательное
Часто в уравнениях встречается ситуация, когда при «x» стоит отрицательный
коэффициент. Как, например, в уравнении ниже.
−2x = 10
Чтобы решить такое уравнение, снова зададим себе вопрос: «На что нужно разделить
«−2», чтобы получить «1»?». Нужно разделить на «−2».
x = −5
Ответ: x = −5
Важно!
При делении на отрицательное число помните про правило знаков.
Правила знаков для
умножения/деления
Запомнить правило знаков для умножения / деления очень просто. Данное правило совпадает с правилом раскрытия скобок.
Запомните!
Минус на минус даёт плюс,
Плюс на минус даёт минус.
+ · (+) = +
+ · (−) = −
− · (−) = +
− · (+) = −
Правила раскрытия скобок
Запомните!
Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», нужно просто
опустить скобки.
При этом Все знаки слагаемых остаются теми же, что были внутри
скобок.
1) Раскройте скобки:
а) 3∙(6-5х); б) (4-у)∙6; в) 9∙(-8-а); г) (3n+1)∙(-5); д) -4∙(-7+у).
Правило приведения подобных слагаемых
Подобные слагаемые (т. е. с одинаковыми буквами) подчеркиваются
одинаковым образом и размещаются друг за другом, а далее складываются и
вычитаются только их числовые коэффициенты.
2) Приведите подобные слагаемые:
а) 4х-12-2х; б) 18-3m-10; в) -6а-2+6а; г) 0,3х-6-0,2х+2.
3) Раскройте скобки и приведите подобные
слагаемые:
а) 3а - (8 - 3а); б) -4а - 4(-а + 8) + 16; в) 3( -2х - 6) + 2(5х + 7).
4) Решите уравнение:
а) 2х = 12; б) -5х = 15; в) -х = 32; г) -11х = 0;
5) Решите уравнение:
а) 5х-11 = 2х+8; в) 0,8х—4 = 0,5—7;
б) 6-7х = 11-6х; г) 2,6х+8 = 2—х;
Модуль числа и свойства модуля
Определение модуля
Определение: Модулем положительного числа называется само это число, модулем
отрицательного числа называется число, ему противоположное, модуль нуля равняется
нулю.
Примеры нахождения модуля
Свойства модуля
1. (Модуль любого числа — неотрицательное число)
2. (Модули противоположных чисел равны)
3. (Величина числа не превышает величина его модуля)
4. (Модуль произведения дорівнєю произведению модулей
сомножителей)
5. (Модуль дроби равен модулю числителя, деленному на модуль
знаменателя (если знаменатель не равен нулю))
6.
7.
8.
Степень с натуральным показателем
Определение.
Степень числа a с натуральным показателем n - это выражение
вида a
n
, значение которого равно произведению n множителей, каждый
из которых равен a, то есть,
В частности, степенью числа a с показателем 1 называется само число a,
то есть, a
1
=a.
Запомните!
Степенью числа «a» с натуральным показателем «n», бóльшим 1,
называется произведение «n» одинаковых множителей, каждый из
которых равен числу «a».
Запись «a
n
» читается так: «а в степени n» или «n-ая степень числа
a».
Исключение составляют записи:
• a
2
— её можно произносить как «а в квадрате»;
• a
3
— её можно произносить как «а в кубе».
Конечно, выражения выше можно читать и по определению
степени:
• a
2
— «а во второй степени»;
• a
3
— «а в третьей степени».
Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице
или нулю (n = 1; n = 0).
Запомните!
Степенью числа «а» с показателем n = 1 является само это число:
a
1
= a
Любое число в нулевой степени равно единице.
a
0
= 1
Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
0
n
= 0
Единица в любой степени равна 1.
1
n
= 1
Выражение 0
0
(ноль в нулевой степени) считают лишённым
смысла.
• (−32)
0
= 1
• 0
253
= 0
• 1
4
= 1
Пример из жизни №1
Начнем с квадрата или со второй степени числа.
Представь себе квадратный бассейн размером метра на метра. Бассейн стоит у тебя на
даче. Жара и очень хочется купаться. Но… бассейн без дна! Нужно застелить дно бассейна
плиткой. Сколько тебе надо плитки? Для того чтобы это определить, тебе нужно узнать
площадь дна бассейна.
Ты можешь просто посчитать, тыкая пальцем, что дно бассейна состоит из кубиков метр на
метр. Если у тебя плитка метр на метр, тебе нужно будет кусков. Это легко… Но где ты видел
такую плитку? Плитка скорее будет см на см. И тогда «пальцем считать» замучаешься. Тогда
придется умножать. Итак, по одной стороне дна бассейна у нас поместится плиток ( штук) и
по другой тоже плиток. Умножив на , ты получишь плиток ( ).
Ты заметил, что для определения площади дна бассейна мы умножили одно и то же число само
на себя? Что это значит? Раз умножается одно и то же число, мы можем воспользоваться
приемом «возведение в степень». (Конечно, когда у тебя всего два числа, все равно
перемножить их или возвести в степень. Но если у тебя их много, то возводить в степень
значительно проще и ошибок при расчетах получается тоже меньше. Для ЕГЭ это очень важно).
Итак, тридцать во второй степени будет ( ). Или же можно сказать, что тридцать в квадрате
будет . Иными словами, вторую степень числа всегда можно представить в виде квадрата. И
наоборот, если ты видишь квадрат – это ВСЕГДА вторая степень какого-то числа. Квадрат –
это изображение второй степени числа.
Пример из жизни №2
Вот тебе задание, посчитать, сколько квадратов на шахматной доске с помощью квадрата
числа... По одной стороне клеток и по другой тоже . Чтобы посчитать их количество, нужно
восемь умножить на восемь или… если заметить, что шахматная доска – это квадрат со
стороной , то можно возвести восемь в квадрат. Получится клетки. ( ) Так?
Пример из жизни №3
Теперь куб или третья степень числа. Тот же самый бассейн. Но теперь тебе нужно узнать,
сколько воды придется залить в этот бассейн. Тебе нужно посчитать объем. (Объемы и
жидкости, кстати, измеряются в кубических метрах. Неожиданно, правда?) Нарисуй бассейн:
дно размером на метра и глубиной метра и попробуй посчитать, сколько всего кубов
размером метр на метр войдет в твой бассейн.
Прямо показывай пальцем и считай! Раз, два, три, четыре…двадцать два, двадцать три…
Сколько получилось? Не сбился? Трудно пальцем считать? Так-то! Бери пример с математиков.
Они ленивы, поэтому заметили, что чтобы посчитать объем бассейна, надо перемножить друг
на друга его длину, ширину и высоту. В нашем случае объем бассейна будет равен кубов…
Легче правда?
А теперь представь, насколько математики ленивы и хитры, если они и это упростили. Свели
все к одному действию. Они заметили, что длина, ширина и высота равна и что одно и то же
число перемножается само на себя… А что это значит? Это значит, что можно воспользоваться
степенью. Итак, то, что ты раз считал пальцем, они делают в одно действие: три в кубе равно .
Записывается это так: .
Остается только запомнить таблицу степеней. Если ты, конечно, такой же ленивый и хитрый
как математики. Если любишь много работать и делать ошибки – можешь продолжать считать
пальцем.
Ну и чтобы окончательно убедить тебя, что степени придумали лодыри и хитрюги для решения
своих жизненных проблем, а не для того чтобы создать тебе проблемы, вот тебе еще пара
примеров из жизни.
Пример из жизни №4
У тебя есть миллиона рублей. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе
еще один миллион. То есть каждый твой миллион в начале каждого года удваивается. Сколько
денег у тебя будет через лет? Если ты сейчас сидишь и «считаешь пальцем», значит ты очень
трудолюбивый человек и.. глупый. Но скорее всего ты дашь ответ через пару секунд, потому
что ты – умный! Итак, в первый год - два умножить на два… во второй год - то, что получилось,
еще на два, в третий год… Стоп! Ты заметил, что число перемножается само на себя раз.
Значит, два в пятой степени – миллиона! А теперь представь, что у вас соревнование и
эти миллиона получит тот, кто быстрее посчитает… Стоит запомнить степени чисел, как
считаешь?
Пример из жизни №5
У тебя есть миллион. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще два.
Здорово правда? Каждый миллион утраивается. Сколько денег у тебя будет через года?
Давай считать. Первый год - умножить на , потом результат еще на … Уже скучно, потому
что ты уже все понял: три умножается само на себя раза. Значит в четвертой степени
равно миллион. Надо просто помнить, что три в четвертой степени это или .
Теперь ты знаешь, что с помощью возведения числа в степень ты здорово облегчишь себе
жизнь. Давай дальше посмотрим на то, что можно делать со степенями и что тебе нужно знать
о них.
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: