Олимпиадные задания по математике 10 класс


Вариант 1
Олимпиада по математике
10 класс
1 тур
№1.На координатной плоскости даны три точки: А с координатами (0; 0),
В с координатами (1; 1) и С с координатами (3; 2). Каковы должны быть
координаты точки D, чтобы точки А, В, С и D образовывали
параллелограмм. (6 баллов)
№2. Решите в целых числах уравнение:
ху х у
(6 баллов)
№3. Решите систему уравнений:
х
2
ху у 1,

у
2
ху х 5.
(6 баллов)
№4. В четырёхугольнике ABCD длина стороны АВ равна 12, синус угла
ВАС равен 0,32, синус угла ADB равен 0,48.
Сумма углов BAD и BCD равна 180
0
. Найдите длину стороны ВС.
(6 баллов)
Решение заданий
№1. Возможны три разных параллелограмма:
ABD
1
C
,
ABCD
2
,
ACBD
3
.
Чтобы четыре точки образовывали параллелограмм, необходимо
и достаточно выполнение одного из равенств:
ОС ОВ ОА OD
1
OA OC OB OD
OA OB OC OD
3
где О – произвольная точка (в частности, начало координат). Это
следует, например из того, что точка пересечения диагоналей делит
диагонали пополам. Решая по очереди выписанные системы линейных
уравнений, находим ответы: (4; 3);(2; 1); (-2; -1).
Задачу можно решить и графически.
№2 ху=х+у; ху-х-у=0; ху-х-у+1=1; -1)(у-1)=1. Так как х,у
, то
х 1 1;

у 1 1,
или
х 1 1;

у 1 1.
Ответ: (0;0), (2;2).
№3 Преобразуем первое уравнение:
х
2
1 ху у 0,
(х 1)(х 1) у(х 1) (х 1)(х 1 у) 0.
Отсюда либо х = - 1, либо х = 1 - у, что при подстановке во второе
уравнение даёт либо
у
2
у 1 5,
либо
у
2
(1 у) у 1 у 5.
Решая эти уравнения получим (-1; -2), (-1; 3).
№4 Так как сумма противоположных углов одинакова и равна 180
0
, то наш
четырёхугольник можно вписать в окружность радиуса R. Тогда по теореме
синусов
АВ
sin ADB
BC
sin BAC
2R
, откуда
BC 
12 0.32
0.48
8
.
Мы можем применить теорему синусов для разных треугольников, т.к. они
вписаны в одну и ту же окружность.
Ответ: 8.
Вариант 2
№1. В оранжерее число пионов относится к числу флоксов как 5 : 4. Четыре
цветка сорвали и это отношение стало 7 : 6. Сколько флоксов осталось?
№2. Найдите сумму 2007 первых членов арифметической прогрессии {
a
n
},
если
а
2007
а
1004
а
671
а
334
=4
.
№3. Решите систему уравнений
х
2
ху у
2
=0
х
2011
у
2012
=0
№4. Сторона АВ треугольника АВС равна 15 3 на стороне ВС взята точка
К так, что ВК = 9 3 ; КС = 16 3 и АВС~ КАС. Найдите площадь
КАС.
1
.
Ответы и решения
№1. Решение:
Пусть пионов было , флоксов - . Пусть сорвали а пионов. Приходим к
уравнению (5х-а):(-(4-а))=7:6, откуда получим 2х=13а-28.
Значения 0,1,2,3 для а не подходят. Единственно возможное значение а=4
приводит к х=12.
№2. Решение:
а
2007
=а
1
2006 d
,
а
1004
=а
1
1003 d
,
а
671
=а
1
670 d
,
а
334
=а
1
333 d
.
В результате сложения получим
1
4012 d =4
, откуда
а
1
1003 d = 1
.
S
2007
=
2а
1
d 20071
n
=
а
1003d
2007
=
1
2007
=
2007
2
№3. Решение:
Заметим, что пара (0;0) является решением данной системы уравнений.
Пусть теперь
у0
. Разделим обе части 1-го уравнения на у², получим
уравнение
2
х х
х
у
у
1=0
, которое является квадратным относительно
у
. Так как
его дискриминант равен -3, то оно не имеет действительных корней. Значит
система не имеет решения, кроме нулевого.
№4. Решение:
1) Треугольники АВС и КАС подобны,
АВ
АС ВС
.
АК
=
КС
=
АС
АС
=
25 3
2
16
3
АС
,
АС
=16253 ,
АС =20 3
.
S
АВС 2
,
25 3 5
2)
S
=к
КАС
к = =
20 3
4
3)
S
АВС
= p p a pb pc = 30 3
15 3
5 3
10 3
=
3
15
10
=
450
, т.к.
p
=
15 3 25 3 20 3
2
450
4)
S
КАС
25
16
,
S
КАС
=288
.
.
=30 3
.
=