Презентация "Задачи на доказательство № 25 из ОГЭ"


Подписи к слайдам:
Презентация PowerPoint

Задачи на доказательство № 25 из ОГЭ

  • На рисунке АВ=АС, АЕ=АD. Докажите, что BD=CE
  • Решение. Треугольники ABD и ACE равны по первому признаку равенства треугольников (АВ=АС, АD = AE, угол A общий). Следовательно, равны соответствующие стороны BD и CE этих треугольников.

  • На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на стороне AC, а точка E – на стороне AD, причем AC = AD и AB = AE. Докажите, что угол CBD равен углу DEC.
  • Решение. Треугольники ABD и ACE равны по первому признаку равенства треугольников (AC = AD, АВ=АС, угол A общий). Следовательно, равны соответствующие углы ABD и AEC. Из равенства этих углов следует равенство смежных углов CBD и DEC.

  • На рисунке угол A равен углу B, AD = BC. Докажите, что AC = BD.
  • Решение. Треугольники ABC и BAD равны по первому признаку равенства треугольников (AB – общая сторона, BC = AD, угол ABC равен углу BAD). Следовательно, равны соответствующие стороны AC и BD этих треугольников.

  • Точки A, B, C принадлежат одной прямой. Точки D1 и D2 лежат по разные стороны от этой прямой. Докажите, что если треугольники ABD1 и ABD2 равны, то треугольники BCD1 и BCD2 тоже равны.
  • Решение. Из равенства треугольников ABD1 и ABD2 следует равенство соответствующих сторон BD1 и BD2, а также равенство соответствующих углов ABD1 и ABD2. Из равенства указанных углов следует равенство смежных с ними углов CBD1 и CBD2. Треугольники BCD1 и BCD2 равны по первому признаку равенства треугольников (BD1 = BD2, BC – общая сторона, угол CBD1 равен углу CBD2.

  • Точки A, B, C, D принадлежат одной прямой. Точки E1 и E2 лежат по разные стороны от этой прямой. Докажите, что если треугольники ABE1 и ABE2 равны, то треугольники CDE1 и CDE2 тоже равны.
  • Решение. Из предыдущей задачи следует, что из равенства треугольников ABE1 и ABE2 вытекает равенство треугольников BCE1 и BCE2, которое, в свою очередь, влечет равенство треугольников CDE1 и CDE2.

  • На каждой стороне правильного треугольника ABC последовательно отложены равные отрезки AD, BE, CF. Докажите, что треугольник DEF тоже правильный.
  • Решение. Из равенства сторон правильного треугольника и равенства отрезков AD, BE и CF следует равенство отрезков AF, CE и BD. Треугольники ADF, BED и CFE равны по первому признаку равенства треугольников (AD = BE = CF, AF = BD = CE, угол A равен углу B и равен углу C). Следовательно, равны соответствующие стороны DF, DE и EF этих треугольников. Значит, треугольник DEF тоже правильный.

  • На продолжении каждой стороны правильного треугольника ABC последовательно отложены равные отрезки BD, CE, AF. Докажите, что треугольник DEF тоже правильный.
  • Решение. Из равенства сторон правильного треугольника ABC и равенства отрезков BD, CE и AF следует равенство отрезков AD, BE и CF. Из равенства углов правильного треугольника ABC следует равенство углов FAD, DBE и ECF. Треугольники ADF, BED и CFE равны по первому признаку равенства треугольников (AD = BE = CF, AF = BD = CE, угол FAD равен углу DBE и равен углу ECF). Следовательно, равны соответствующие стороны DF, DE и EF этих треугольников. Значит, треугольник DEF тоже правильный.

  • На рисунке дана фигура, у которой AD = CF, угол ВAC равен углу EDF, угол 1 равен углу 2. Докажите, что треугольники АВС и DEF равны.
  • Решение. Из равенства углов 1 и 2 следует равенство смежных углов ACB и DFE. Из равенства отрезков AD и CF следует равенство отрезков AC и DF. Треугольники ACB и DFE равны по второму признаку равенства треугольников (AC = DF, угол ВAC равен углу EDF, угол ACB равен углу DFE).

  • Лучи AD и ВС пересекаются в точке О, угол 1 равен углу 2, OC = OD. Докажите, что OA = OB.
  • Решение. Из равенства углов 1 и 2 следует равенство смежных с ними углов ACO и BDO. Треугольники ACO и BDO равны по второму признаку равенства треугольников (CO = DO, угол ACO равен углу BDO, угол AOC равен углу BOD). Следовательно, равны соответствующие стороны OA и OB этих треугольников.

  • В четырехугольнике ABCD угол DAB равен углу CBА и диагонали АС и BD образуют со стороной АВ равные углы. Докажите, что АС = BD.
  • Решение. Треугольники ABC и BAD равны по второму признаку равенства треугольников (AB – общая сторона, угол ABC равен углу BАD, угол BAC равен углу ABD. Следовательно, равны соответствующие стороны АС и BD этих треугольников.

  • Треугольники АВС и А1В1С1 равны. Отрезки CD и C1D1 образуют со сторонами соответственно СВ и С1В1 равные углы. Докажите, что AD = A1D1.
  • Решение. Из равенства треугольников АВС и А1В1С1 следует равенство соответствующих сторон BC и B1C1, а также соответствующих углов B и B1. Треугольники BCD и B1C1D1 равны по первому признаку равенства треугольников (BC = B1C1, угол B равен углу B1, угол BCD равен углу B1C1D1). Следовательно, равны соответствующие стороны BD и B1D1 этих треугольников. Из равенства треугольников АВС и А1В1С1 следует равенство соответствующих сторон AB и A1B1. Следовательно, имеет место равенство отрезков AD и A1D1.

  • В четырехугольнике ABCD АВ = CD и AD = BC. Докажите, что угол A равен углу C.
  • Решение. В четырехугольнике ABCD проведем диагональ BD. Треугольники ABD и CDB равны по третьему признаку равенства треугольников (AB = CD, AD = BC, BD – общая сторона). Следовательно, равны соответствующие углы A и C этих треугольников.

  • В четырехугольнике ABCD AD = BC и AC = BD. Докажите, что угол BAD равен углу ABC.
  • Решение. Треугольники ABC и BAD равны по третьему признаку равенства треугольников (AD = BC, AC = BD, AB – общая сторона). Следовательно, равны соответствующие углы BAD и ABC.

  • На рисунке AD = CF, AB = FE, BC = ED. Докажите, что угол 1 равен углу 2.
  • Решение. Из равенства отрезков AD и CF следует равенство отрезков AC и DF. Треугольники ABC и FED равны по третьему признаку равенства треугольников (AB = FE, BC = ED, AC = FD). Следовательно, равны соответствующие углы ACB и FDE этих треугольников, а, значит, равны и смежные с ними углы 1 и 2.

  • На рисунке AB = BC, AD = CD. Докажите, что угол 1 равен углу 2.
  • Решение. Проведем отрезок BD. Треугольники ABD и CBD равны по третьему признаку равенства треугольников (AB = CB, AD = CD, BD – общая сторона). Следовательно, равны соответствующие углы 1 и 2 этих треугольников.

  • На рисунке AD = CD, AO = OC. Докажите, что AB = BC.
  • Решение. Треугольники AOD и COD равны по третьему признаку равенства треугольников (AO = CO, AD = CD, OD – общая сторона). Следовательно, равны соответствующие углы ADO и CDO. Треугольники ABD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников (AD = CD, BD – общая сторона, угол ADB равен углу CDB). Следовательно, равны соответствующие стороны AB и BC этих треугольников.

  • На рисунке AB = BC, AD = CD. Докажите, что AO = OC.
  • Решение. Треугольники ABD и CBD равны по третьему признаку равенства треугольников (AB = CB, AD = CD, BD – общая сторона). Следовательно, равны соответствующие углы ABO и CBO. Треугольники ABO и CBO равны по первому признаку равенства треугольников (AB = CB, BO – общая сторона, угол ABO равен углу CBO). Следовательно, равны соответствующие стороны AO и CO этих треугольников.

  • Треугольники АВС и BAD равны, причем точки С и D лежат по разные стороны от прямой АВ. Докажите, что треугольники CBD и DAC равны.
  • Решение. Из равенства треугольников АВС и BAD следует равенство соответствующих сторон AC и BD, BC и AD. Треугольники CBD и DAC равны по третьему признаку равенства треугольников (CB = DA, BD = AC, CD – общая сторона.

  • На рисунке АВ = CD, AD = BC, ВЕ - биссектриса угла АВС, а DF - биссектриса угла ADC. Докажите, что треугольники ABE и CDF равны.
  • Решение. Треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку равенства треугольников (АВ = CD, AD = BC, AC – общая сторона). Следовательно, равны соответствующие углы ABC и CDA, BAC и DCA. Из равенства углов ABC и CDA следует равенство углов ABE и CDF. Треугольники ABE и CDF равны по второму признаку равенства треугольников (AB = CD, угол BAE равен углу DCF, угол ABE равен углу CDF).

  • Докажите, что если две стороны и медиана, проведенная к одной из них, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • Решение. Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 AB = A1B1, AC = A1C1 и медиана CM равна медиане C1M1. Треугольники ACM и A1C1M1 равны по третьему признаку равенства треугольников (AM = A1M1, AC = A1C1, CM = C1M1). Следовательно, угол A равен углу A1. Треугольники ABC и A1B1C1 равны по первому признаку равенства треугольников (AB = A1B1, AC = A1C1, угол A равен углу A1).

  • На рисунке угол DBC равен углу DAC, BO = AO. Докажите, что угол C равен углу D.
  • Решение. Треугольник ABO равнобедренный и, следовательно, OAB = OBA. Учитывая равенство углов DAC и DBC, получаем равенство углов ABD и BAC. Треугольники ABC и BAD равны по второму признаку равенства треугольников (AB – общая сторона, угол ABC равен углу BAC, угол BAC равен углу ABD). Следовательно, равны соответствующие углы C и D этих треугольников.

  • В треугольнике АВС АВ = АС и угол 1 равен углу 2. Докажите, что угол 3 равен углу 4.
  • Решение. Треугольник ABC равнобедренный. Следовательно, угол B равен углу C. Треугольники ABE и ACD равны по второму признаку равенства треугольников (AB = AC, угол 1 равен углу 2, угол B равен углу C). Следовательно, равны соответствующие стороны AE и AD этих треугольников. Треугольник AED равнобедренный. Следовательно, угол 3 равен углу 4.

  • На рисунке AD = AE, угол CAD равен углу BAE. Докажите, что BD = CE.
  • Решение. Треугольник ADE равнобедренный. Следовательно, угол D равен углу E. Треугольники ACD и ABE равны по второму признаку равенства треугольников (AD = AE, угол D равен углу E, угол CAD равен углу BAE). Следовательно, равны соответствующие стороны CD и BE. Значит, равны и отрезки BD и CE.

  • На рисунке CD = BD, угол 1 равен углу 2. Докажите, что угол ACB равен углу ABC.
  • Решение. Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (AD – общая сторона, BD = CD, угол ADB равен углу ADC). Следовательно, равны соответствующие стороны AB и AC этих треугольников. Треугольник ABC равнобедренный и, значит, ACB = ABC.

  • На рисунке угол 1 равен углу 2, угол 5 равен углу 6. Докажите, что угол 3 равен углу 4.
  • Решение. Треугольники ABС и ABD равны по второму признаку равенства треугольников (AB – общая сторона, угол ABC равен углу ABD, угол BAC равен углу BAD). Следовательно, равны соответствующие стороны BC и BD этих треугольников. Треугольник BCD равнобедренный и, значит, угол 3 равен углу 4.

  • На рисунке АВ = AD и DC = BC. Докажите, что угол ABC равен углу ADC.
  • Решение. Проведем отрезок BD. Треугольник ABD равнобедренный (AB = AD). Следовательно, угол ABD равен углу ADB. Треугольник CBD равнобедренный (CB = CD). Следовательно, угол CBD равен углу CDB. Значит, угол ABC равен углу ADC.

  • На рисунке DC = BC и угол B равен углу D. Докажите, что АВ = AD
  • Решение. Проведем отрезок BD. Треугольник BCD равнобедренный (BC = DC). Следовательно, имеет место равенство DBC = BDC. Из этого равенства и равенства углов ABC и ADC следует равенство углов ABD и ADB. Значит, треугольник ABD – равнобедренный и, следовательно, АВ = AD.

  • На рисунке AB = BC, CD = DE. Докажите, что угол BAC равен углу CED.
  • Решение. Треугольник ABC – равнобедренный и, следовательно, угол BAC равен углу BCA. Треугольник CDE – равнобедренный и, следовательно, угол DCE равен углу DEC. Углы BCA и DCE равны как вертикальные. Следовательно, угол BAC равен углу DEC.

  • На рисунке AB = BC, угол 1 равен углу 2. Докажите, что AD = CD.
  • Решение. Проведем отрезок AC. Треугольник ABC равнобедренный (AB = BC). Следовательно, угол BAC равен углу BCA. Из этого равенства и равенства углов 1 и 2 следует равенство углов DAC и DCA. Значит, треугольник DAC равнобедренный и, следовательно, AD = CD.

  • Докажите, что если противоположные углы четырехугольника равны, то он – параллелограмм.
  • Решение. Пусть ABCD – четырехугольник, у которого противоположные углы равны. Так как сумма углов четырехугольника равна 360о, то сумма двух односторонних углов будет равна 180о и, следовательно, противоположные стороны этого четырехугольника параллельны, т.е. он – параллелограмм.

  • Докажите, что если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником.
  • Решение. Пусть в прямоугольнике ABCD проведены диагонали AC и BD. Треугольники ABC и BAD равны по трем сторонам. Следовательно, угол ABC равен углу BAD. В сумме эти углы составляют 180о, как односторонние углы при параллельных BC и AD и секущей AB. Следовательно, эти углы равны 90о и, значит, ABCD – прямоугольник.

  • Докажите, что если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то он является ромбом.
  • Решение. Пусть диагонали параллелограмма ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Прямоугольные треугольники AOB и AOD равны по двум катетам. Следовательно, AB = AD и, значит, параллелограмм ABCD является ромбом.

  • Докажите, что если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то он является квадратом.
  • Решение. Пусть диагонали прямоугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Прямоугольные треугольники AOB и AOD равны по двум катетам. Следовательно, AB = AD и, значит, ABCD – квадрат.

  • Докажите, что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
  • Решение. Пусть диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, угол OAB равен углу OCD и, значит, отрезки AB и CD равны и параллельны. Следовательно, четырехугольник ABCD – параллелограмм.

  • Докажите, что если два угла при основании трапеции равны, то трапеция – равнобедренная.
  • Решение. Пусть в трапеции ABCD (AB || DC) равны острые углы A и B. Из вершин C и D опустим высоты CG и DH на основание AB. Прямоугольные треугольники BCG и ADH равны по катету и острому углу. Следовательно, BC = AD и, значит, трапеция ABCD – равнобедренная.

  • На сторонах квадрата ABCD последовательно отложены равные отрезки AA1, BB1, CC1, DD1. Докажите, что четырехугольник A1B1C1D1 – квадрат.
  • Решение. Все четыре прямоугольных треугольника равны по двум катетам. Следовательно, четырехугольник A1B1C1D1 – ромб. Кроме того, каждый угол этого четырехугольника равен 180о минус сумма острых углов прямоугольного треугольника, т.е. равен 90о. Следовательно, A1B1C1D1 – квадрат.

  • Докажите, что середины сторон четырехугольника являются верши­нами параллелограмма.
  • Решение. Пусть в четырехугольнике ABCD точки E, F, G, H являются серединами сторон соответственно AB, BC, CD, DA. В треугольнике ABC EF – средняя линия и, значит, параллельна AC. Аналогично GH параллельна AC. Следовательно, EF параллельна GH. Аналогично FG параллельна EH. Таким образом, противоположные стороны четырехугольника EFGH параллельны и, следовательно, он является параллелограммом.

  • Докажите, что диаметр, проведенный через середину хорды той же окружности, отличной от диаметра, перпендикулярен этой хорде.
  • Решение.     Пусть AB – диаметр окружности с центром O, проходящий через середину E хорды CD, от­личной от диаметра. В равнобедренном треугольнике OCD отрезок OE является медианой и, следовательно, высотой. Значит, AB перпендикулярна CD.

  • Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от центра окружности.
  • Решение. Пусть AB и CD – равные хорды окружности с центром O. OE, OF – перпендикуляры, опущенные соответственно на AB и CD. Докажем, что OE = OF. Действительно, треугольники OAB и OCD – равнобедренные и равны по трем сторонам. Следовательно, их соответствующие высоты OE и OF также равны.

  • Две окружности касаются внутренним образом, причем меньшая окружность проходит через центр большей. Докажите, что всякая хорда большей окружности, проходящая через точку касания, делится меньшей окружностью пополам.
  • Решение. Пусть две окружности касаются внутренним образом, причем меньшая окружность проходит через центр O большей. AB – хорда большей окружности, проходящая через точку касания A и пересекающая меньшую окружность в точке C. Докажем, что AC = BC. Проведем диаметр AD. В треугольнике ABD OA = OD, OC параллельна DB. Следовательно, AC = BC.

  • Из концов диаметра AB окружности опущены перпендикуляры AA1 и BB1 на касательную. Докажите, что точка касания C является серединой отрезка A1B1.
  • Решение. Отрезок OC, соединяющий центр окружности и точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, OC – средняя линия трапеции ABB1A1, значит A1C = CB1.

  • Три окружности одинакового радиуса попарно касаются друг друга. Докажите, что их центры являются вершинами равностороннего треугольника.
  • Решение. Пусть O1, O2, O3 – центры окружностей одинакового радиуса, попарно касающихся друг друга. Так как расстояние между центрами любых двух из этих окружностей равно удвоенному радиусу, треугольник O1O2O3 – равносторонний.