Презентация "Алгоритмы Прима и Крускала построения остовного связного дерева минимального веса" 11 класс


Подписи к слайдам:
Графы

Алгоритмы Прима и Крускала построения остовного связного дерева минимального веса

  • Алгоритмы Прима и Крускала построения остовного связного дерева минимального веса
  • Гуляева
  • Татьяна Викторовна
  • учитель информатики и
  • математики МБОУ СОШ №9
  • с УИОП г.Павлово
  • 2014 год

Содержание

  • Повторение основных понятий теории графов
  • Понятие остовного связного дерева
  • Понятие цикломатического числа
  • Алгоритм Прима
  • Алгоритм Крускаля
  • Вопросы и задания

  • Основные понятия теории графов
  • По горизонтали:
  • г р а ф
  • 9. Наглядное сред-ство представления состава и структуры системы.  
  • р е б р о
  • 2. Ненаправленная линия (без стрелки), соединяющая вершины графа.  
  • п у т ь
  • ц и к л
  • п у с т о й
  • д у г а
  • д е р е в о
  • в е р ш и н а
  • в з в е ш е н н ы й
  • 4. Последователь-ность рёбер и/или дуг, такая, что конец одной дуги (ребра) является началом другой дуги (реб-ра).  
  • 5. Путь, в котором совпадают начальная и конечная верши-ны.  
  • 6. Направленная ли-ния (со стрелкой), соединяющая верши-ны графа.  
  • 7. Граф без ребер.  
  • 10. Граф, в котором нет циклов.  
  • 11. Элемент (точка) графа, обозначаю-щий объект любой природы, входящий в множество объек-тов, описываемое графом.  
  • 12. Граф, ребрам (или дугам) или вершинам которого поставлены в соот-ветствие числовые величины.  
  • Перейдем к вопросам по вертикали  

  • Основные понятия теории графов
  • По вертикали:
  • г р а ф
  • р е б р о
  • п у т ь
  • ц и к л
  • п у с т о й
  • д у г а
  • д е р е в о
  • в е р ш и н а
  • в з в е ш е н н ы й
  • 1. Последовательность чередующихся вершин и ребер графа при перемещении.  
  • м
  • а
  • ш
  • р
  • т
  • с
  • м
  • ж
  • ы
  • р
  • е
  • н
  • и
  • о
  • а
  • н
  • н
  • й
  • 8. Вершины, прилега-ющие к одному и тому же ребру.  
  • 3. Граф, в котором вершины соединены дугами.  
  • о
  • н
  • ы
  • 4. Граф, в котором каждые две вершины смежные.  
  • Перейдем к изучению новых понятий

Основные понятия теории графов Остовное связное дерево

  • Остовной связный подграф – подграф графа G, который содержит все его вершины и каждая вершина достижима из любой другой.
  • Остовное связное дерево – подграф, включающий вершины исходного графа G, не содержащего циклы, каждая вершина которого достижима из любой другой.

Основные понятия теории графов Цикломатическое число

  • Цикломатическое число γ показывает, сколько ребер нужно удалить из графа, чтобы в нем не осталось циклов
  • γ = m – n + 1,
  • m - количество ребер
  • n - количество вершин

Задача 1

  • В некотором районе было решено провести газопровод между пятью деревнями. От Кошкино до Мышкино идти 10 км, от Мышкино до Ступино – 3 км, от Кошкино до Малаховки – 6 км, от Малаховки до Черняевки – 12 км, от Кошкино до Ступино – 11 км, от Мышкино до Чернеевки – 5 км, от Кошкино до Чернеевки – 7 км. Как необходимо провести трубу, чтобы она соединяла все пять деревень, и затраты при этом были минимальными?

Задача 1

  • Построим граф, моделирующий дороги, соединяющие деревни.
  • Чернеевка
  • Мышкино
  • Ступино
  • Кошкино
  • Малаховка
  • 12
  • 7
  • 10
  • 11
  • 3
  • 6
  • 5

Задача 1

  • Задача сводится к построению остовного связного дерева минимального веса.
  • Рассчитаем цикломатическое число.
  • m (количество ребер) равно 7
  • n (количество вершин) рано 5
  • γ = 7 – 5 + 1 = 3
  • Т.е. три деревни напрямую соединены газовой трубой не будут.
  • (переходы по щелчку)

Алгоритм Прима

  • Пусть дан взвешенный неориентированный граф.
  • Для построения минимального остовного дерева необходимо:
  • 1. Представить граф в виде матрицы смежности
  • 2. Найти в матрице наименьший элемент, соответству-ющий ребру, соединяющему i-ю и j-ю вершины графа
  • 3. Вычеркнуть элементы i-й и j-й строки матрицы
  • 4. Пометить i-й и j-й столбцы матрицы
  • 5. В помеченных столбцах i и j найти наименьший элемент, отличный от уже найденного
  • 6. Повторять пункты 3-5 до тех пор, пока не будут задействованы все вершины графа
  • (переходы по щелчку)

Задача 1

  • Решим задачу по алгоритму Прима.
  • Переопределим вершины графа.
  • Чернеевка
  • Мышкино
  • Ступино
  • Кошкино
  • Малаховка
  • 12
  • 7
  • 10
  • 11
  • 3
  • 6
  • 5
  • 12
  • 7
  • 10
  • 11
  • 3
  • 6
  • 5
  • 5
  • 2
  • 1
  • 3
  • 4
  • (переходы по щелчку)

Задача 1

  • 12
  • 7
  • 10
  • 11
  • 3
  • 6
  • 5
  • 5
  • 2
  • 1
  • 3
  • 4
  • Представим граф в виде матрицы смежности.
  • Найдем минимальный элемент.
  • Он равен 3
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 1
  • 0
  • 10
  • 11
  • 6
  • 7
  • 2
  • 10
  • 0
  • 3
  • 0
  • 5
  • 3
  • 11
  • 3
  • 0
  • 0
  • 0
  • 4
  • 6
  • 0
  • 0
  • 0
  • 12
  • 5
  • 7
  • 5
  • 0
  • 12
  • 0
  • 3
  • 3
  • (переходы по щелчку)

Задача 1

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 1
  • 0
  • 10
  • 11
  • 6
  • 7
  • 2
  • 3
  • 3
  • 4
  • 6
  • 0
  • 0
  • 0
  • 12
  • 5
  • 7
  • 5
  • 0
  • 12
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 1
  • 0
  • 10
  • 11
  • 6
  • 7
  • 2
  • 10
  • 0
  • 3
  • 0
  • 5
  • 3
  • 11
  • 3
  • 0
  • 0
  • 0
  • 4
  • 6
  • 0
  • 0
  • 0
  • 12
  • 5
  • 7
  • 5
  • 0
  • 12
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 1
  • 0
  • 10
  • 11
  • 6
  • 7
  • 2
  • 3
  • 3
  • 4
  • 6
  • 0
  • 0
  • 0
  • 12
  • 5
  • 7
  • 5
  • 0
  • 12
  • 0
  • Вычеркнем 2-ю и 3-ю строки таблицы. А столбцы 2 и 3 выделим.
  • Найдем минимальный элемент в выделенных столбцах.
  • Он равен 5
  • 5
  • (переходы по щелчку)

Задача 1

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 1
  • 0
  • 10
  • 11
  • 6
  • 7
  • 2
  • 3
  • 3
  • 4
  • 6
  • 0
  • 0
  • 0
  • 12
  • 5
  • 7
  • 5
  • 0
  • 12
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 1
  • 0
  • 10
  • 11
  • 6
  • 7
  • 2
  • 3
  • 3
  • 4
  • 6
  • 0
  • 0
  • 0
  • 12
  • 5
  • 5
  • Вычеркнем 5-ю строку таблицы. А столбец 5 выделим.
  • Найдем минимальный элемент в выделенных столбцах.
  • Он равен 7
  • 5
  • 7
  • (переходы по щелчку)

Задача 1

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 1
  • 0
  • 10
  • 11
  • 6
  • 7
  • 2
  • 3
  • 3
  • 4
  • 6
  • 0
  • 0
  • 0
  • 12
  • 5
  • 5
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 1
  • 7
  • 2
  • 3
  • 3
  • 4
  • 6
  • 0
  • 0
  • 0
  • 12
  • 5
  • 5
  • Вычеркнем 1-ю строку таблицы. А столбец 1 выделим.
  • Найдем минимальный элемент в выделенных столбцах.
  • Он равен 6
  • 5
  • 6
  • (переходы по щелчку)

Задача 1

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 1
  • 7
  • 2
  • 3
  • 3
  • 4
  • 6
  • 0
  • 0
  • 0
  • 12
  • 5
  • 5
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 1
  • 7
  • 2
  • 3
  • 3
  • 4
  • 6
  • 5
  • 5
  • Вычеркнем 4-ю строку таблицы. А столбец 4 выделим.
  • (переходы по щелчку)

Задача 1

  • Получаем связное остовное дерево минимальное веса.
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 1
  • 7
  • 2
  • 3
  • 3
  • 4
  • 6
  • 5
  • 5
  • 12
  • 7
  • 10
  • 11
  • 3
  • 6
  • 5
  • 5
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • (переходы по щелчку)

Задача 1

  • Ответ: газопровод с минимальными затратами необходимо прокладывать так:
  • 3
  • 6
  • 5
  • 5
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 7
  • 3
  • 6
  • 5
  • Чернеевка
  • Мышкино
  • Ступино
  • Кошкино
  • Малаховка
  • 7
  • Протяженность газопровода – 21 км.

Задача 2

  • Даны города, часть которых соединена между собой дорогами. Необходимо проложить туристический маршрут минимальной длины, проходящий через все города.
  • 1
  • 6
  • 5
  • 2
  • 3
  • 4
  • 25
  • 18
  • 15
  • 12
  • 20
  • 23
  • 21
  • 19
  • 26

Задача 2

  • Задача сводится к построению остовного связного дерева минимального веса.
  • Рассчитаем цикломатическое число.
  • m (количество ребер) равно 9
  • n (количество вершин) рано 6
  • γ = 9 – 6 + 1 = 4
  • Т.е. четыре дороги, соединяющие города, не будут включены в туристический маршрут.
  • (переходы по щелчку)

Алгоритм Крускала

  • Удалить все ребра и получить остовной подграф с изолированными вершинами.
  • Отсортировать ребра по возрастанию.
  • Ребра последовательно, по возрастанию их весов, включаются в остовное дерево. Возможны случаи:
    • а) обе вершины включаемого ребра принадлежат одноэлементным подмножествам, тогда они объединяются в новое, связное подмножество;
    • б) одна из вершин принадлежит связному под-множеству, другая нет, тогда включаем вторую в подмножество, которому принадлежит первая;
    • в) обе вершины принадлежат разным связным подмножествам, тогда объединяем подмножества;
    • г) обе вершины принадлежат одному связному подмножеству, тогда исключаем данное ребро.
    • Алгоритм завершается, когда все вершины будут объединены в одно множество.

Задача 2

  • Для определения туристического маршрута минимальной длины воспользуемся алгоритмом Крускала.
  • 1
  • 6
  • 5
  • 2
  • 3
  • 4
  • 25
  • 18
  • 15
  • 12
  • 20
  • 23
  • 21
  • 19
  • 26

Задача 2

  • Построим остовной подграф, содержащий только изолированные вершины.
  • 1
  • 6
  • 5
  • 2
  • 3
  • 4
  • 25
  • 18
  • 15
  • 12
  • 20
  • 23
  • 21
  • 19
  • 26
  • Получаем шесть одноэлементных подмножеств.
  • пуск

Задача 2

  • Найдем ребро минимального веса и добавим его в остовной подграф.
  • 1
  • 6
  • 5
  • 2
  • 3
  • 4
  • 25
  • 18
  • 15
  • 12
  • 20
  • 23
  • 21
  • 19
  • 26
  • Образуется связное подмножество вершин {V5, V6}.
  • пуск

Задача 2

  • Среди оставшихся ребер найдем ребро минимального веса и добавим его в остовной подграф.
  • 1
  • 6
  • 5
  • 2
  • 3
  • 4
  • 25
  • 18
  • 15
  • 12
  • 20
  • 23
  • 21
  • 19
  • 26
  • Добавляем в подмножество вершин еще одну {V5,V6,V1}.
  • пуск

Задача 2

  • Среди оставшихся ребер найдем ребро минимального веса и добавим его в остовной подграф.
  • 1
  • 6
  • 5
  • 2
  • 3
  • 4
  • 25
  • 18
  • 15
  • 12
  • 20
  • 23
  • 21
  • 19
  • 26
  • Добавляем в подмножество вершин еще одну {V5,V6,V1,V2}.
  • пуск

Задача 2

  • Среди оставшихся ребер найдем ребро минимального веса и добавим его в остовной подграф.
  • 1
  • 6
  • 5
  • 2
  • 3
  • 4
  • 25
  • 18
  • 15
  • 12
  • 20
  • 23
  • 21
  • 19
  • 26
  • Образуется два подмножества {V5,V6,V1,V2} и {V3,V4} .
  • пуск

Задача 2

  • Но обе вершины принадлежат одному подмножеству {V5,V6,V1,V2}. Значит это ребро исключаем.
  • Среди оставшихся ребер найдем ребро минимального веса и добавим его в остовной подграф.
  • 1
  • 6
  • 5
  • 2
  • 3
  • 4
  • 25
  • 18
  • 15
  • 12
  • 20
  • 23
  • 21
  • 19
  • 26
  • Подмножества объединяются в единое связное множество {V1,V2,V6,V5,V3,V4} .
  • пуск (2)

Задача 2

  • Остальные ребра включать в граф не надо, т.к. все их вершины уже принадлежат одному связному множеству.
  • 1
  • 6
  • 5
  • 2
  • 3
  • 4
  • 25
  • 18
  • 15
  • 12
  • 20
  • 23
  • 21
  • 19
  • 26
  • Получили остовное связное дерево минимального веса, равного 85.

Вопросы

  • Построенный граф (в задачах 1 и 2) является
  • В граф включены все вершины
  • Все вершины в графе можно
  • соединить маршрутами
  • В графе отсутствуют циклы
  • В граф последовательно включались ребра,
  • отсортированные по возрастанию весов
  • остовным
  • связным
  • деревом
  • с минимальным весом

Задача 3

  • На строительном участке необходимо создать телефонную сеть, соединяющую все бытовки. Для того, чтобы телефонные линии не мешали строительству, их решили проводить вдоль дорог. Схема участка изображена на рисунке.
  • Каким образом провести телефонные линии, чтобы их общая длина была минимальной?
  • 260
  • 240
  • 180
  • 210
  • 100
  • 100
  • 150
  • 200
  • 380
  • 1
  • 6
  • 5
  • 2
  • 3
  • 4
  • 7
  • 170
  • 210
  • 100
  • 100
  • 150
  • 200
  • 1
  • 6
  • 5
  • 2
  • 3
  • 4
  • 7
  • 170
  • Общая длина телефонной линии равна 930 метров

Источники

  • Кроссворд создан на сайте и расположен по адресу http://puzzlecup.com/?guess=3C2D4A01E0522AAU
  • Информатика и ИКТ. Профильный уровень: учебник для 11 класса / Н.Д.Угринович. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2010.
  • Алгоритм Прима-Крускала (видео) http://www.youtube.com/watch?v=vm_9-vnV7PE
  • Занимательные задачи по теории графов: Учеб.-метод. пособие/ О.И.Мельников. – Изд-е 2-е, стереотип. – Мн.: «ТетраСистемс», 2001

Источники изображений

  • Изображение деревенского дома http://www.diorama.com.ua/images/product_images/popup_images/2074_1.jpg
  • Изображение связных деревьев http://xreferat.ru/image/54/1306491707_19.png
  • выход