Презентация "О множествах" 9 класс

Учитель математики Грязнова Александра Константиновна

март 2007 г

с. Кочневка

• Множества могут состоять из различных элементов – рыб, домов, квадратов, чисел, точек и т.д.
Этим и объясняется чрезвычайная широта теории множеств и её приложимость к самым разным областям знаний(математике, механике, физике, биологии, лингвистике м т.д.

• Нет строгого определения. Это основное понятие. В обиходном языке – это «совокупность», «собрание», «коллекция», «класс», «система» и тд.
• Это несколько объектов объединённых общим признаком
(множество стульев в комнате, множество атомов на Юпитере, множество картофелин в данном мешке, множество рыб в океане, множество точек на окружности и тд).
• Предметы составляющие данное множество – его элементы:
А = {х, у,…,z}, x A. C –множество дней недели, то С={понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье}; январь С, среда  С

• Конечные
• Пустое
• Бесконечные(счётные, несчётные)
Счётное множество – самое маленькое из бесконечных* Несчётные множества существуют. Например: множество всех точек на прямой линии. Доказать несчётность нелегко

• Перечислением всех элементов(для конечных множеств)
• Указанием характеристического свойства
(оно должно формулироваться тщательно, чтобы избежать неясности и двусмысленности, свойственных обычному нашему языку)

• Множество не содержащее ни одного элемента называют пустым и обозначают Ø
Например - Множество лошадей, пасущихся на луне, - множество десятиногих млекопитающих, - множество действительных решений уравнения х2 = - 4
• Когда множество задано характеристическим свойством, то не всегда известно, существует ли хоть один элемент с таким свойством.
• Пустое множество единственное: нет двух разных пустых множеств.

• Не решена проблема Ферма:
• Пусто ли множество натуральных чисел n таких, что n > 2, уравнение хn + уn =zn имеет положительные целочисленные решения.

• Пусть даны два множества А и В. причём каждый элемент второго множества является элементом первого множества. Тогда В называют подмножеством (или частью) множества А. Записывают это так: А  В
(Читают: «множество В содержится в множестве А» или «множество А содержит множество В»).
• Считается, что пустое множество Ø является подмножеством любого множества.

В

А

N  Z  Q  R , где

N- множество натуральных чисел; Q- множество рациональных чисел;

Z- множество целых чисел; R- множество действительных чисел

Z

N

R

Q

Диаграммы Эйлера. Наглядно указанные зависимости можно изобразить с помощью так называемых кругов Эйлера:

Пересечение множеств

Пересечением множеств А, В, С,… называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из этих множеств. закрашенная фигура А  В  - пересечение

___________________________

Пересечение множеств иногда называют их произведением, а операцию пересечения – умножением множеств. Многие свойства пересечения напоминают свойства умножения чисел.

А В

Объединение или сумма множеств

Объединением или суммой множеств называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.

____________________________

обозначают А  В или А + В.

На рис. это закрашенная фигура

Если какой-нибудь элемент входит в несколько слагаемых, то в сумме он берётся лишь один раз.

• Если множество Х является суммой множеств А, В ,С,…, причём никакие два из них не имеют общих элементов, то говорят, что множество Х разбито на (непересекающиеся) подмножества А, В ,С,… .
Примеры а) Множество натуральных чисел разбивается на подмножества чётных и нечётных чисел. б) Множество учеников в классе на подмножества учеников, фамилии которых начинаются на одну и ту же букву.
• Разбиение множества на попарно непересекающиеся подмножества называют классификацией, а полученные подмножества – классами.

Разбиение множеств.

• Разностью множеств А и В называют такое множество Х = А\ В или (А – В), в которое входят все элементы из А, не принадлежащие множеству В.
При этом не предполагается, что множество В является частью множества А. Таким образом при вычитании множества В из А из А удаляют общую часть (пересечение) А и В: А\ В = А \ А  В.
• Например.
А – множество всех учащихся IX класса данной школы, а В – множество всех девочек России, то Х= А\ В – множество всех мальчиков, обучающихся в IX классе этой школы.

Вычитание множеств

• В случае, когда множество В является частью А , разность множеств А – В называют дополнением.
• Дополнением множества В до множества А называется множество всех элементов А, не являющихся элементами множества В.
На рисунке это закрашенная фигура

Дополнение множеств

• В каком случае надо говорить, что одно множество содержит столько элементов, сколько и второе?
В каких случаях два бесконечных множества имеют «поровну» элементов?

• Основная догма, которую необходимо отбросить: «часть меньше целого»
На длинном и коротком отрезках точек поровну

Как сравнивать множества

О

В

С

D

А

• Трудно примериться, что дорога в миллион световых лет имеет столько же точек, сколько и радиус атомного ядра!
• На всей бесконечной прямой не больше точек, чем на отрезке (т.е. между между точками прямой и отрезка можно установить взаимнооднозначное соответствие)

О

А

В

• Математики и философы всегда интересовались понятием бесконечности.
• Парадоксы бесконечности приучили древних греков к осторожности
(парадокс Зенона о том, что стрела не может сдвинуться с места, Ахиллес никогда не догонит черепаху) Например: Евклид, формулировал свою знаменитую теорему о бесконечности простых чисел, выражается так: «Простых чисел существует больше всякого предложенного количества простых чисел», а бесконечно много или нет – об этом Евклид умалчивает.

• Основные заслуги в развитии теории множеств
принадлежат Г. Кантору (родился в 1845 г в Петербурге, умер в 1918 г в Галле).
• Исследования бесконечных множеств
потребовало развития математической логики. Первоначально эта область математики была очень далека от практических приложений, но впоследствии её принципы составили идейную основу конструирования электронных вычислительных машин и программирования вычислений на этих машинах. Большой вклад в теорию множеств сделан трудами советских математиков Н.Н.Лузина (1883 – 1950), П.С.Новикова, М.Я. Суслина (1894 – 1919), П.С.Александрова, А.Н. Колмогорова и др.

1. Виленкин Н.Я. «Рассказы о множествах»/ НАУКА главная редакция физико-математической литературы: МОСКВА 1996

2. Сост. Никольская И.Л. Факультативный курс по математике7–9 кл/ М: Просвещение /Блох А.Я. «Числовые множества»

3. Нешков К.И. и др «Множества. Отношения. Числа. Величины.» Пособие для учителей/ М: Просвещение 1978