Презентация "Магические квадраты" 10 класс
Подписи к слайдам:
Магические квадраты
Пришельцы из Китая и Индии
Пришельцы из Китая и Индии
Пришельцы из Китая и Индии
- Презентация к исследовательской работе
- Выполнил: ученик 10 класса Кирьяков Кирилл
- Руководитель: Лонская Т.А., учитель математики
- Одним из наиболее древних и наиболее совершенных видов кросс-сумм является так называемый магический (или волшебный) квадрат.
- Придуманы магические квадраты впервые, по-видимому, китайцами, так как самое ранее упоминание о них встречается в китайской книге, написанной за 4000-5000 лет до нашей эры.
- Старейший в мире магический квадрат представлен выше. Черными кружками в этом квадрате изображены четные (женственные) числа, белыми – нечетные (мужественные) числа.
- В обычной записи он не так эффектен:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- И всё же это великолепный образец кросс-сумм! Девять порядковых чисел размещены в девяти клетках квадрата так, что суммы чисел вдоль каждой строки, каждого столбца и каждой из двух диагоналей одинаковы (основное свойство магического квадрата).
- Более поздние сведения о магических квадратах относящиеся уже к 1 веку, получены из Индии. Вот один из таких древнеиндийских памятников почти 2000-летней давности:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Здесь 16 порядковых чисел размещены в шестнадцати клетках квадрата так, что выполняется основное свойство магического квадрата.
- Действительно:
- Каждое число магического квадрата участвует в двух суммах, а числа расположенные по диагоналям даже в трёх, и все эти суммы равны между собой!
- Недаром в ту далёкую эпоху суеверий индийцы, а следом за ними и арабы приписывали этим числовым сочетаниям таинственные и магические свойства.
- Вся эта своеобразная мозаика чисел с её постоянством сумм действительно придаёт квадрату «волшебную» силу произведения искусства.
- И магические квадраты вошли в искусство.
- В «Фаусте» Гете есть сцена приготовления колдуньей омолаживающего зелья.
- Слова, которыми колдунья сопровождает свои манипуляции, обычно воспринимаются читателями «Фауста» как тарабарщина, бессмыслица:
|
|
- Но не мог же Гете потерять чувство художественной меры и отдать абракадабре целых 13 строк поэтического текста!
- Литературные комментаторы и исследователи бесплодно тратили усилия на поиски смыcла, скрытого в этом тринадцатистишии: Очевидно, y них не возникала мысль попытаться воспроизвести на бумаге рекомендации колдуньи.
- Давайте это сделаем. построим квадрат из девяти ячеек и разместим в ячейках 9 первых натуральных чисел в порядке их следования. Выполним указания колдуньи:
- Из 1 делаешь 10 — в первой ячейке заменяем ЧИСЛО 1 числом 10.
- Числа 2 и 3 оставляем на своих местах, так как сказано: пропускаешь 2, a также 3.
- Зачеркиваешь 4 — это значит заменяем нулем число 4.
- Заменяем 5 и 6 числами 7 и 8, а в ячейки, занятые числами 7 и 8, вписываем 5 и 6
- 9
- 8
- 7
- 6
- 5
- 4
- 3
- 2
- 1
- 10
- 0
- Колдунья говорит: «Квадрат готов», но тут она хитрит. Ей еще надо в последней ячейке квадрата заменить девятку числом 4
- Вот теперь формирование «талисмана» окончено и последние три строки тринадцатистишия уже ничего не добавляют к пониманию смысла «заклинаний» колдуньи. Особенность получившегося квадрата состоит в том, что магическая константа (15) получается только при сложении чисел вдоль любой строки и любого столбца, но не вдоль диагоналей.
- Квадрат с таким свойством чисел, занимающих его ячейки, принято называть полумагическим.
- Превращением начального квадрата в полумагический Гете символизировал процесс омoложeния Фауста.
- 9
- 8
- 7
- 6
- 5
- 4
- 3
- 2
- 10
- 0
- В Европу магические квадраты проникли лишь в начале XV века. A в начале XVI века один из них был увековечен выдающимся немецким художником, гравером и немного математиком А. Дюрером в его лучшей гравюре «Меланхолия» (1514 г.).
- Дюрер воспроизвел на гравюре (в несколько измененном виде) тот самый магический квадрат, составленный из 16 чисел.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Очарование этого магического квадрата не только в постоянстве сумм, которое является лишь его основным свойством. Подобно тому, как в истинно художественном произведении находишь тем больше новых привлекательных сторон, чем больше в него вглядываешься, так и в этом произведении математического искусства таится немало красивых свойств, помимо основного.
- Укажем еще шесть дополнительных свойств приведенного нам шестнадцатиклеточного магического квадрата:
- Сумма чисел, расположенных по углам нашего магического квадрата, равна 34, то есть тому же числу, что и сумма чисел вдоль каждого ряда квадрата:
- 16
- 3
- 2
- 13
- 5
- 10
- 11
- 8
- 9
- 6
- 7
- 12
- 4
- 15
- 14
- 1
- Суммы чисел в каждом из маленьких квадратов (в 4 клетки), примыкающих к вершинам данного квадрата, и в таком же центральном квадрате тоже одинаковы и каждая из них равна 34:
- 16
- 3
- 2
- 13
- 5
- 10
- 11
- 8
- 9
- 6
- 7
- 12
- 4
- 15
- 14
- 1
- 1
- 4
- 13
- +
- +
- +
- =
- 34
- Свойства магического квадрата А.Дюрера
- В каждой строке квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых - 15, и еще пара тоже рядом стоящих чисел, сумма которых -19.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 16
- 3
- 2
- 13
- 5
- 10
- 11
- 8
- 9
- 6
- 7
- 12
- 4
- 15
- 14
- 1
- +
- +
- =
- =
- Подсчитайте-ка теперь сумму квадратов чисел отдельно в двух крайних строках и в двух средних:
- =
- =
- =
- =
- =
- =
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- 15
- 19
- Как видите, получились попарно равные суммы!
- Свойства магического квадрата А.Дюрера
- Нетрудно убедиться, что аналогичным свойством обладают и столбцы чисел. Суммы квадратов чисел двух крайних столбцов равны между собой, и суммы квадратов чисел двух средних столбцов тоже одинаковы.
- Если в данный квадрат вписать еще один квадрат с вершинами в серединах сторон данного квадрата, получим то, что показано на рисунке а, выше:
- а) сумма чисел, расположенных вдоль одной пары противоположных сторон вписанного квадрата, равна сумме чисел, расположенных вдоль другой пары противоположных его сторон, и каждая из этих сумм равна опять-таки числу 34:
- 12+14+3+5 = 15+9+8+2 = 34;
- б) еще интереснее то, что равны между собой даже суммы квадратов и суммы кубов этих чисел:
- Если все столбцы магического квадрата сделать строками, сохраняя их чередование, то есть - числа первого столбца в той же последовательности расположить в виде первой строки, числа второго столбца в виде второй строки и т.д., то квадрат останется магическим с теми же его свойствами.
- Суммы чисел вдоль строк и столбцов, конечно, не изменились, но суммы чисел вдоль диагоналей стали иными, не равными 34. Магический квадрат потерял часть своих основных свойств, стал «неполным» магическим квадратом (полумагическим квадратом).
- Продолжая обменивать местами строки и столбцы квадрата, вы будете получать все новые и новые магические и полумагические квадраты из 16 чисел.
- 16
- 3
- 2
- 13
- 5
- 10
- 11
- 8
- 9
- 6
- 7
- 12
- 4
- 15
- 14
- 1
- При обмене местами отдельных строк или столбцов магического квадрата некоторые из вышеперечисленных его свойств могут исчезнуть, но могут и все сохраниться и даже появиться новые. Например, поменяем, местами первую и вторую строки данного квадрата, получим то, что показано на рисунке справа:
- Если некоторое количество порядковых чисел, например, все целые числа от 1 до 16 или от 1 до 9, или от 1 до 25, или от 1 до 100 и т д., расположены в форме квадрата так, что суммы чисел вдоль каждой строки, каждого столбца и каждой диагонали квадрата одинаковы, то такой квадрат, как было сказано, называется магическим, или волшебным.
- Количеством клеток (чисел) в каждом ряду магического квадрата определяет его порядок. Магический квадрат третьего порядка имеет в каждом ряду 3 клетки, магический квадрат четвертого порядка имеет в каждом ряду 4 клетки и т. д.
- Строим, квадрат ABCD с 25 клетками и временно дополняем его до, симметричной ступенчатой фигуры со ступеньками в одну клетку.
- В полученной фигуре располагаем по порядку косыми рядами сверху вниз - направо 25 целых чисел от 1до 25.
- А теперь каждое число, оказавшееся вне квадрата ABCD, следует перенести вдоль того же ряда или столбца ровно на столько клеток от той клетки, которую оно занимает, каков порядок квадрата, в нашем примере - на пять. Так, в соответствии с этим правилом переносим эти числа…
- 15
- 2
- 19
- 6
- 23
- 22
- 14
- 1
- 18
- 10
- 9
- 21
- 13
- 5
- 17
- 16
- 8
- 25
- 12
- 4
- 3
- 20
- 7
- 24
- 11
- A
- B
- C
- D
- Но у получившегося квадрата обнаруживается и дополнительное свойство: все пары чисел, расположенные симметрично относительно центральной клетки, дают одинаковые суммы.
- Например:
- 1+25=19+7=18+8=23+3=
- =6+20=2+24=4+22 и т. д.
- Магические квадраты, обладающие таким свойством, называются симметричными.
- 15
- 2
- 19
- 6
- 23
- 22
- 14
- 1
- 18
- 10
- 9
- 21
- 13
- 5
- 17
- 16
- 8
- 25
- 12
- 4
- 3
- 20
- 7
- 24
- 11
- =26
- Для составления какого-либо магического квадрата порядка n=4, 8, 12, ..., 4k удобна, например, такая простая схема:
- Разместить числа в клетках заданного квадрата в порядке их возрастания (в натуральном порядке);
- Выделить по углам заданного квадрата четыре квадрата со сторонами n/4 и в центре один квадрат со стороной n/2
- В пяти выделенных квадратах обменять местами числа, расположенные симметрично относительно центра заданного квадрата; это значит, что в натуральном расположении чисел квадрата четвертого порядка надо поменять местами 1 и 16, 4 и 13, 6 и 11, 7 и 10.
- Квадраты, составленные по указанной схеме, будут всегда магическими симметрическими.
- 16
- 15
- 14
- 13
- 12
- 11
- 10
- 9
- 8
- 7
- 6
- 5
- 4
- 3
- 2
- 1
Математика - еще материалы к урокам:
- Презентация "Сложение чисел с разными знаками" 6 класс
- Теорема Виета 8 класс
- Урок математики 3 класс «Деление с остатком» УМК «Школа России» учебник М.И. Моро «Математика»
- Презентация "Сложение и вычитание вида ±1" 1 класс
- Презентация "Неравенства" 5 класс
- Презентация "Математика в Великой пирамиде Хеопса"