Интерактивный плакат "Математические функции"

Интерактивный плакат «Функции» Головина Наталья Николаевна Учитель математики МОУ «Бессоновская СОШ Белгородского района Белгородской области» Математические функции

Линейная функция

Преобразование графика функции

Тригонометрические функции

Степенная функция с целым показателем

Задания для проверки

Давайте отдохнем

Линейная функция 1.Линейная функция и её свойства. Линейной называется функция вида y=kx+b, где k и b - действительные числа. Пример:y=2x+3 (здесь k=2, b=3). Свойства линейной функции:

• Область определения - множество R действительных чисел.
• Линейная функция y=kx+b является четной, если k=0, нечетной, если b=0, и ни четной, ни нечетной, если k≠0 и b≠0.
• Линейная функция y=kx+b возрастает, если k>0, убывает, если k<0, если же k=0 является постоянной.
Построение графика линейной функции: При построении графика линейных функций вида y=kx+b можно построить график y=kx, и воспользоваться параллельным переносом. Но проще найти, используя аналитическое выражение, две принадлежащие графику точки и провести через них прямую.

Линейная функция 2.Постоянная функция. Если k=0, то линейная функция является постоянной, т.к. y=b. Получается, что все точки графика данной зависимости будут иметь одинаковую ординату y, которая будет равна b. Свойства постоянной функции y=b.

• D(f)= R;
• E(f)= b;
• ограничена сверху и снизу на всей области своего существования;
• не принимает, ни наибольшего, ни наименьшего значения;
• не периодическая;
• четная;
• постоянна на всей области своего существования;
• пересекает ось ординат в точке (0;b)
• графиком данной функции является прямая, параллельная оси Ox и пересекающая ось Oy в точке (0;b).

Линейная функция 3.Прямая пропорциональность. Если b=0, то линейная функция y=kx+b имеет вид y=kx и называется прямой пропорциональностью; в этом случае коэффициент k называется коэффициентом пропорциональности.Пример:y=2x Свойства прямой пропорциональности y=kx.

• D(f)= R;
• E(f)= R;
• не ограничена ни снизу не сверху;
• не принимает, ни наибольшего, ни наименьшего значения;
• не периодическая;
• нечетная;
• возрастает на R при k>0 и убывает при k<0;
• точка (0;0) - единственная точка пересечения с осями координат;
• графиком данной функции является прямая, проходящая через начало координат.
Построение графика прямой пропорциональности: При построении графиков линейных зависимостей вида y=kx достаточно найти одну точку, принадлежащую графику и отличную от нуля, и провести прямую через эту точку и начало координат.

Линейная функция 4.Взаимное расположении графиков двух линейных функций y=k1x+b1 и y=k2x+b2

• если k1≠k2, b1≠b2, то прямые, служащие графиками данных функций пересекаются;
• если k1=k2, b1=b2, то прямые совпадают;
• если k1=k2, b1≠b2, то прямые параллельны;
• если k1≠k2, b1=b2, то прямые пересекаются в точке, принадлежащей оси Oy.

Степенная функция с целым показателем Здесь мы рассмотрим степенную функцию с произвольным целым показателем, т.е. зависимость вида y=xm, где m - целое число. m=0 ,получаем функцию вида y=1, x≠0 - постоянная функция с проколом в точке (0;1) m=1, получаем y=x – линейная функция, графиком является прямая проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов m=2, квадратичная функция y=x2 m=3, кубическая функция y=x3 m=-1, обратная пропорциональность y=1/x Степенная функция с целым показателем Квадратичная функция y=x2 Свойства квадратичной функции:

• D(f)= R;
• E(f)=(0;+∞);
• ограничена снизу на всей области своего существования;
• принимает наименьшее значение в точке (0;0);
• непериодическая;
• четная;
• возрастает на промежутке [0;+∞[ и убывает на промежутке ]-∞;0];
• пересекает оси Oy и Ox в точке (0;0);
• графиком является парабола, имеющая вершину в точке (0;0) и ветви которой направлены вверх;

Степенная функция с целым показателем Кубическая функция y=x3 Свойства кубической функции:

• D(f)= R;
• E(f)= R;
• не ограничена ни снизу, ни сверху на всей области своего существования;
• не принимает ни наибольших, ни наименьших значений;
• непериодическая;
• нечетная;
• возрастает на R;
• пересекает оси Oy и Ox в точке (0;0);
• графиком является кубическая парабола, пересекающая начало координат;

Степенная функция с целым показателем Обратная пропорциональность y = Свойства обратной пропорциональности:

• D(f)= (-∞;0)∪ (0;+∞);
• E(f)= (-∞;0)∪ (0;+∞);
• не ограничена ни снизу, ни сверху на всей области своего существования;
• не принимает ни наибольших, ни наименьших значений;
• непериодическая;
• нечетная;
• убывает на всей области своего существования;
• не имеет пересечений с осями координат;
• имеет горизонтальную и вертикальную ассимптоты, которыми являются оси координат;
• графиком является гипербола;

Тригонометрические функции Определение тригонометрических функций Рассмотрим на координатной плоскости окружность радиуса R = 1с центром O в начале координат. Координатные оси делят окружность на четыре дуги, которые называют четвертями. Рассмотрим произвольный угол . Точка  M(x;y) лежит на единичной окружности, считаем, что точка  M результат поворота точки A(1;0) на угол . На оси OX находятся значения cos угла поворота, а на оси OY, соответственно, находятся значения  sin углов поворота. На дополнительных осях ctg и tg  параллельных осям OX и OY, соответственно, находятся значения  ctg и tg  угла поворота. Тригонометрические функции определяются следующими равенствами:

• синус: sin =y, т.е. ордината точки M;
• косинус: cos =x, т.е. абсцисса точки M;
• тангенс: tg =x : y, т. е. отношение ординаты к абсциссе точки M;
• котангенс: ctg =y : x, т. е. отношение абсциссы к ординате точки M.
Замечание.  Значение tg  угла поворота не существует для углов 2 + n n Z. Значение ctg  угла поворота не существует для углов n n Z.

y = sin x

• D(f)= R;
• E(f)=[-1;1]
• ограничена сверху и снизу на всей области своего существования;
• при x=π/2+2πn, n∈Z принимает наибольшее значение y=1, а при x=-π/2+2πn, n∈Z принимает наименьшее значение y=-1;
• периодическая с основным периодом 2π;
• нечетная;
• возрастает на отрезке [0+2πn;π/2+2πn], n∈Z и убывает на отрезке [π/2+2πn;π+2πn], n∈Z;
• пересекает ось абсцисс в точках (π+πn;0), n∈Z и ось ординат в точке (0;0);
• графиком является синусоида.

y = сos x

• D(f)= R;
• E(f)=[-1;1]
• ограничена сверху и снизу на всей области своего существования;
• при x=0+2πn, n∈Z принимает наибольшее значение y=1, а при x=π+2πn принимает наименьшее значение y=-1;
• периодическая с основным периодом 2π;
• четная;
• возрастает
на отрезке[-π+2πn;0+2πn], n∈Z и убывает на отрезке [0+2πn;π+2πn], n∈Z;
• пересекает ось абсцисс в точках (π/2+πn;0), n∈Z и ось ординат в точке (0;1);
• графиком является косинусоида.

y = tg x

• D(f)= R кроме x=π/2+πk, k∈Z;
• E(f)= R;
• функция не ограничена ни сверху, ни снизу;
• не принимает ни наибольшего ни наименьшего значения
• периодическая с основным периодом π;
• нечетная;
• возрастает на отрезке [-π/2;+πn;π/2+πn], n∈Z;
• пересекает ось абсцисс в точках (0+πn;0), n∈Z и ось ординат в точке (0;0);
• графиком является тангенсоида.

y = ctg x

• D(f)= R кроме x=π+πk, k∈Z;
• E(f)= R;
• функция не ограничена ни сверху, ни снизу;
• не принимает ни наибольшего ни наименьшего значения
• периодическая с основным периодом π;
• нечетная;
• убывает на отрезке [0+πn;π+πn], n∈Z;
• пересекает ось абсцисс в точках (π/2+πn;0), n∈Z, не имеет пересечений с осью ординат;
• графиком является котангенсоида.

Преобразование графика функции

Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на | b | единиц
y = f(x − b)	вправо, если b > 0; влево, если b < 0.
y = f(x + b)	влево, если b > 0; вправо, если b < 0.
Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на | m | единиц
y = f(x) + m	вверх, если m > 0, вниз, если m < 0.
Отражение графика
y = f( − x)	Симметричное отражение графика относительно оси ординат.
y = − f(x)	Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.

Преобразование графика функции

Сжатие и растяжение графика
y = f(kx)	При k > 1 — сжатие графика к оси ординат в k раз, при 0 < k < 1 — растяжение графика от оси ординат в k раз.
y = kf(x)	При k > 1 — растяжение графика от оси абсцисс в k раз, при 0 < k < 1 — cжатие графика к оси абсцисс в k раз.
Преобразования графика с модулем
y = | f(x) |	При f(x) > 0 — график остаётся без изменений, при f(x) < 0 — график симметрично отражается относительно оси абсцисс.
y = f( | x | )	При x 0 — график остаётся без изменений, при x < 0 — график симметрично отражается относительно оси ординат.

Проверка Здесь вы можете проверить усвоенный материал удобным для вас способом:

• Ответить на вопросы прямо сейчас пройдя по ссылке, при этом сможете сразу проверить свои ответы.
• Хотите более сложный уровень, нажмите ОК и выбирайте интересующий вас вопрос.
• Подключить INTERNET и пройти независимое тестирование.

Проверка

• Найдите область определения и область значения функции, заданной графически.
• Найдите область определения функции, заданной аналитически.
• Установите вид функции по её графику.
Если вы хотите ответить на эти вопросы нажмите ОК
• Определите вид тригонометрической функции по её графику.
Если вы хотите ответить на эти вопросы нажмите ОК
• Установите соответствие между видом функции и его графиком.
• Постройте график заданной функции.
Если вы хотите ответить на эти вопросы нажмите ОК

Назад к видам проверки

Хотите проверить себя через INTERNET

• http://uztest.ru/plugins/lessons/pazl/moe/tests/fun1/erkennen.html - тест на соответствие формул и графиков;
• http://uztest.ru/simulator - тренажер на знание различных функций и их свойств;

Назад к видам проверки

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №23

Автор: Лариса Анатольевна Зубкова,

учитель математики и информатики

Рыбинск, 2008

Свойства функций

(тест с проверкой)

Мы должны знать –

мы будем знать!

Д. Гильберт

Задание 1. Установите соответствие

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

проверка

Задание 2.

Используя графики функций на рисунках 1 - 9, укажите области определения этих функций

№ рисунка	1	2	3	4	5	6	7	8
D(у)

1) (-; + )

2) (-; - 1]

3) (-; 0]

4) (-; 0)  (0; + )

5) [-2; 4]

6) [0; + )

8) [-2; + )

7) [-4; 4]

9) (-; 3)

1) (-; + )

1) (-; + )

1) (-; + )

1) (-; + )

4) (-; 0)  (0; + )

6) [0; + )

3) (-; 0]

7) [-4; 4]

проверка

Задание 3.

Используя графики функций на рисунках 1 - 9, укажите область значений этих функций

Вариант	1 вариант				2 вариант
№ рисунка	1	2	3	4	5	6	7	8
D(у)

1) (-; + )

2) (-; - 1]

3) (-; 0]

4) (-; 0)  (0; + )

5) [-2; 4]

6) [0; + )

8) [-2; + )

7) [-4; 4]

9) (-; 3)

1) (-; + )

8) [-2; + )

9) (-; 3)

2) (-; - 1]

6) [0; + )

4) (-; 0)  (0; + )

6) [0; + )

5) [-2; 4]

проверка

Задание 4. Используя графики функций на рисунках 1 – 9 определите, какие из функций:

1) Ограничены сверху

2) Ограничены снизу

3) Ограничены

4) Не ограничены

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

2)

снизу

ограничена

сверху

не ограничена

снизу

не ограничена

сверху

ограничена

снизу

проверка

Задание 5. По графику функции определите промежутки монотонности функций

Функция возрастает

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Функция убывает

Ответ:

Функция возрастает

Функция убывает

[- 3; - 2]  [2; 3]

[3; 5]

[- 5; - 3]

[- 3; 2]  [3; 4]

проверка

Задание 6. По рисункам 1 – 12 укажите наибольшие и наименьшие значения функций

Унаим = - 2

Унаим = 0

Унаим = 0

Унаиб = 3

Нет Унаиб и Унаим

Нет Унаиб и Унаим

проверка

Задание 6. По рисункам 1 – 12 укажите наибольшие и наименьшие значения функций

Унаиб = - 1

Унаиб = 2 ; Унаим = - 2

Унаиб = 2 ; Унаим = - 2

Унаиб = 2 ; Унаим = - 2

Унаиб = 2 ; Унаим = - 2,5

Унаиб = 3 ; Унаим = - 3

проверка