Презентация "Основы логики. Алгебра высказываний" 10-11 класс

Подписи к слайдам:
Основы логики
  • Алгебра высказываний
  • Автор:
  • Сергеев Евгений Викторович
  • МОУ СОШ №4 г. Миньяра Челябинской области
  • sergeev73@mail.ru
  • http://shk4-minyar.ucoz.ru
Алгебра высказываний
  • Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы определять истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание
Логические переменные
  • Логические переменные – простые высказывания, содержащие только одну мысль.
  • Обозначаются буквами латинского алфавита: A, B, C…
  • Логические переменные могут принимать лишь два значения: «ИСТИНА» (1) или «ЛОЖЬ» (0)
Логические переменные
  • Например, два простых высказывания:
  • А = «2  2 = 4» истина (1)
  • В = «2  2 = 5» ложь (0)
  • являются логическими переменными А и В
  • В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: «ИСТИНА» (1) или «ЛОЖЬ» (0)
  • В алгебре высказываний над логическими переменными (над высказываниями) можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые высказывания
Составные высказывания
  • Высказывания, состоящие из нескольких простых суждений и содержащие в себе более, чем одну простую мысль, называются логическими функциями
  • Обозначаются F(A,B,C…)
  • Также могут принимать значения «ИСТИНА» или «ЛОЖЬ» в зависимости от того, какие значения имеют входящие в их состав логические переменные и от действий над ними
Логические операции
  • Конъюнкция (логическое умножение, «И»)
  • Дизъюнкция (логическое сложение, «ИЛИ»)
  • Инверсия (логическое отрицание, «НЕ»)
  • Импликация (логическое следование, «Если А, то В»)
  • Эквивалентность (логическое равенство, «А тогда и только тогда, когда В»)
  • Объединение двух или нескольких высказываний в одно с помощью союза «И» называется операцией логического умножения, или конъюнкцией
  • Логическая функция, полученная в результате конъюнкции, истинна тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него логические переменные
Конъюнкция. Определите истинность логической функции
  • «2  2 = 5» И «3  3 = 10»
  • «2  2 = 5» И «3  3 = 9»
  • «2  2 = 4» И «3  3 = 10»
  • «2  2 = 4» И «3  3 = 9»
  • Истинна только функция (4)
Запись конъюнкции на формальном языке алгебры высказываний
  • F(A,B) = A & B
  • или
  • F(A,B) = A  B
  • Также может встретиться запись, типа:
  • F(A,B) = A * B
  • или
  • F(A,B) = A and B
Значение логической функции определяется по ее таблице истинности
  • Таблица истинности показывает какие значения принимает логическая функция при всех возможных значениях логических переменных
Таблица истинности для конъюнкции
  • A
  • B
  • A  B
  • 2  2 = 5
  • 3  3 = 10
  • ЛОЖЬ
  • 2  2 = 5
  • 3  3 = 9
  • ЛОЖЬ
  • 2  2 = 4
  • 3  3 = 10
  • ЛОЖЬ
  • 2  2 = 4
  • 3  3 = 9
  • ИСТИНА
Таблица истинности для конъюнкции
  • A
  • B
  • A  B
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 1
  • 0
  • 1
  • 0
  • 0
  • 1
  • 1
  • 1
  • Объединение двух или нескольких высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ» называется операцией логического сложения, или дизъюнкцией
  • Логическая функция, полученная в результате дизъюнкции, истинна тогда, когда истинна хотя бы одна из входящих в него логических переменных
Дизъюнкция. Определите истинность логической функции
  • «2  2 = 5» ИЛИ «3  3 = 10»
  • «2  2 = 5» ИЛИ «3  3 = 9»
  • «2  2 = 4» ИЛИ «3  3 = 10»
  • «2  2 = 4» ИЛИ «3  3 = 9»
  • Ложна только функция (1), остальные истинны
Запись дизъюнкции на формальном языке алгебры высказываний
  • F(A,B) = A  B
  • Также может встретиться запись, типа:
  • F(A,B) = A + B
  • или
  • F(A,B) = A or B
Таблица истинности для дизъюнкции
  • A
  • B
  • A  B
  • 2  2 = 5
  • 3  3 = 10
  • ЛОЖЬ
  • 2  2 = 5
  • 3  3 = 9
  • ИСТИНА
  • 2  2 = 4
  • 3  3 = 10
  • ИСТИНА
  • 2  2 = 4
  • 3  3 = 9
  • ИСТИНА
Таблица истинности для дизъюнкции
  • A
  • B
  • A  B
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 1
  • 1
  • 1
  • 0
  • 1
  • 1
  • 1
  • 1
  • Присоединение частицы «НЕ» к высказыванию называется операцией логического отрицания, или инверсией
  • Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным, а ложное – истинным [логическая отрицательная единица, перевертыш]
Инверсия
  • Пусть
  • A = «2  2 = 4»
  • – истинное высказывание, тогда
  • F(A) = «2  2 ≠ 4»
  • – ложное высказывание
Запись инверсии на формальном языке алгебры высказываний
  • F(A) = ¬A
  • или
  • F(A) = Ā
  • Также может встретиться запись, типа:
  • F(A) = not А
Таблица истинности для инверсии
  • А
  • ¬А
  • 0
  • 1
  • 1
  • 0
Таблицы истинности основных логических функций
  • Логическое умножение
  • A
  • 0
  • 0
  • 1
  • 1
  • B
  • 0
  • 1
  • 0
  • 1
  • A  B
  • 0
  • 0
  • 0
  • 1
  • Логическое сложение
  • Логическое отрицание
  • A
  • 0
  • 1
  • ¬A
  • 1
  • 0
  • A
  • 0
  • 0
  • 1
  • 1
  • B
  • 0
  • 1
  • 0
  • 1
  • А  В
  • 0
  • 1
  • 1
  • 1
Дополнительные логические функции
  • Импликацию и эквивалентность можно выразить через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание, поэтому их называют дополнительными логическими функциями:
  • Импликация:
  • А → В = ¬A  В или
  • А  В = ¬A  В или
  • А  В = ¬A  В
  • Эквивалентность:
  • А ↔ В = (¬A  В)  (¬B  A) или
  • А  В = (¬A  В)  (¬B  A) или
  • А ≡ В = (¬A  В)  (¬B  A)
Импликация
  • Объединение двух высказываний, из которых первое является условием, а второе – следствием из него, называется импликацией (логическим следованием)
Импликация
  • Импликация ложна тогда и только тогда, когда условие истинно, а следствие ложно
  • Пример:
  • Если выучишь материал, то сдашь зачет
  • Это высказывание ложно только тогда, когда материал выучен, а зачет не сдан, т.к. сдать зачет можно и случайно, например если попался единственный знакомый вопрос или удалось воспользоваться шпаргалкой
Таблица истинности для импликации
  • A
  • B
  • A → B
  • 0
  • 0
  • 1
  • 0
  • 1
  • 1
  • 1
  • 0
  • 0
  • 1
  • 1
  • 1
Эквивалентность
  • Эквивалентность – это логическая операция, объединяющая два простых высказывания в одно составное и которое является истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно либо истинны, либо ложны.
Таблица истинности для эквивалентности
  • A
  • B
  • A  B
  • 0
  • 0
  • 1
  • 0
  • 1
  • 0
  • 1
  • 0
  • 0
  • 1
  • 1
  • 1
Переместительный
  • Дизъюнкция:
  • X  Y ≡ Y  X
  • Конъюнкция:
  • X  Y ≡ Y  X
  • Основные законы алгебры высказываний
Сочетательный
  • Дизъюнкция:
  • X  (Y  Z) ≡ (X  Y)  Z
  • Конъюнкция:
  • X  (Y  Z) ≡ (X  Y)  Z
  • Основные законы алгебры высказываний
Распределительный
  • Дизъюнкция:
  • X  (Y  Z) ≡ X  Y  X  Z
  • Конъюнкция:
  • X  (Y  Z) ≡ (X  Y)  (X  Z)
  • Основные законы алгебры высказываний
Правила де Моргана
  • Дизъюнкция:
  • ¬(X  Y) ≡ ¬X  ¬Y
  • Конъюнкция:
  • ¬(X  Y) ≡ ¬X  ¬Y
  • Основные законы алгебры высказываний
Идемпотенции
  • Дизъюнкция:
  • X  X ≡ X
  • Конъюнкция:
  • X  X ≡ X
  • Основные законы алгебры высказываний
Поглощения
  • Дизъюнкция:
  • X  (X  Y) ≡ X
  • Конъюнкция:
  • X  (X  Y) ≡ X
  • Основные законы алгебры высказываний
Склеивания
  • Дизъюнкция:
  • (X  Y)  (¬X  Y) ≡ Y
  • Конъюнкция:
  • (X  Y)  (¬X  Y) ≡ Y
  • Основные законы алгебры высказываний
Переменная со своей инверсией
  • Дизъюнкция:
  • X  ¬X ≡ 1
  • Конъюнкция:
  • X  ¬X ≡ 0
  • Основные законы алгебры высказываний
Операция с константами
  • Дизъюнкция:
  • X  0 ≡ X, X  1 ≡ 1
  • Конъюнкция:
  • X  0 ≡ 0, X  1 ≡ X
  • Основные законы алгебры высказываний
Двойного отрицания
  • ¬(¬X) ≡ X
  • Основные законы алгебры высказываний
Порядок действий
  • Действия в скобках
  • Отрицание
  • Конъюнкция
  • Дизъюнкция
  • Импликация
  • Эквивалентность