Презентация "Какими должны быть оптимальные размеры жестяной консервной банки?" 11 класс


Подписи к слайдам:
Какими должны быть оптимальные размеры жестяной консервной банки?

Какими должны быть оптимальные размеры жестяной консервной банки?

  • Проект: «Оптимизация деятельности».
  • Выполнили учащиеся 11 «б» класса: Удалая Екатерина, Катькова Людмила, Погромский Василий.

  • Банка – это прямой круговой цилиндр с высотой h и радиусом основания r.
  • При изготовлении банки заданного объёма V оптимальными будут такие размеры её, при которых на изготовление пойдёт минимальное количество жести, измеряемое площадью полной поверхности банки S.
  • Если нужно изготовить банку из имеющихся жестяных заготовок, т.е. фиксировано S, то оптимальны те её размеры, при которых будет наибольшим объём.
  • h
  • r

Таким образом, задача содержит в себе две различные задачи. Решим первую из них.

  • h
  • r
  • Таким образом, задача содержит в себе две различные задачи. Решим первую из них.
  • Найдём соотношение между h и r, при котором S будет наименьшим.
  • Так как V = π r²h, то h = V/π r² и тогда S(r) = 2π r + 2V/r – функция одной переменной r.
  • Очевидно, что область определения функции S есть интервал (0; +∞).
  • Заменим вычисление значений функции на концах отрезка исследованием её поведения на границах области определения.

Очевидно, что

  • h
  • r
  • Очевидно, что
  • При r → +∞ S(r) → +∞ ;
  • При r → 0 S(r) → +∞ . (1)
  • Найдём производную функции S: S̒ (r) = 4π r - 2V/r².
  • Производная S̒ (r) существует во всех точках интервала (0; +∞) и обращается в нуль в единственной точке r = ³√ V/2π.
  • Из соотношений (1) следует, что в этой точке S имеет наименьшее значение.
  • Таким образом, задача имеет решение:
  • min S (r) = S (³√ V/2π) или при h = 2r.
  • r (0; +∞)