Ученики на Учителя.com


Презентация "Сфера, вписанная в многогранник" 11 класс

Скачать материал
Подписи к слайдам:
Сфера, вписанная в многогранник
  • Богаевская Галина Николаевна
  • учитель математики
  • ГБОУ гимназии 446
  • Санкт-Петербурга
  • Сфера, вписанная в многогранник
  • Определение
  • Многогранник называется описанным около сферы(а сфера вписанной в многогранник), если все грани многогранника касаются этой сферы.
  • Следствие
  • Центр вписанной сферы есть точка, равноудаленная от всех граней многогранника.
  • Подготовительные задачи
  • 1. Где расположено множество точек пространства , равноудаленных от двух плоскостей?
  • Теорема 1
  • Множество точек, равноудаленных от двух параллельных плоскостей ,есть плоскость, параллельная данным плоскостям и проходящая через середину общего перпендикуляра этих плоскостей.
  • Дано:
  • α || β;
  • γ|| α; γ|| β;
  • AC=CD; AB |α; AB| β
  • Теорема 2
  • Множество точек, равноудаленных от граней двугранного угла, есть есть биссектриса (биссекторная плоскость) этого двугранного угла.
  • Теорема 3
  • Множество точек, равноудаленных от граней трехгранного угла, есть биссектриса этого трехгранного угла.
  • Биссектрисой трехгранного угла называется луч с началом в вершине данного трехгранного угла, который образует равные углы с гранями этого трехгранного угла.
  • Сфера, вписанная в призму
  • Теорема 4
  • В призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда в перпендикулярное сечение этой призмы можно вписать окружность, и высота призмы равна диаметру этой окружности (диаметру вписанной сферы).
  • 2. Расстояние между боковыми ребрами треугольной призмы 13,14,15.В призму вписан шар. Боковое ребро составляет с плоскостью основания угол α . Найти объем призмы и объем шара.
  • Решение.
  • (А2В2С2)-перпендикулярное сечение.
  • Vш.= ⁴⁄₃ПR ш.3
  • S=⅟₂Prокр
  • R ш.=rвпис.окр.= S А2В2С2 /p
  • p =21;
  • S=√p(p-a) (p-b) (p-c);
  • S А2В2С2=84;
  • R ш.=84/21=4;
  • Vш.= ⁴⁄₃ПR ш.3; Vш.= 256П/3;
  • 2) V пр.=S перп.сеч.*АА1 ;
  • АА1 =А1О/sin α=8/ sin α;
  • V пр.=84*8/ sin α =672/ sin α.
  • Ответ: 256П/3; 672/ sin α.
  • Сфера, вписанная в пирамиду
  • Боковые грани пирамиды одинаково наклонены к основанию.
  • Теорема 5
  • Если боковые грани пирамиды одинаково наклонены к основанию(двугранные углы при основании пирамиды равны), то в пирамиду можно вписать сферу, центр которой находится в точке пересечения высоты пирамиды и биссектрисы двугранного угла при основании пирамиды.
  • 3.Основание пирамиды- треугольник со сторонами 9,10 и 17.Все боковые грани наклонены под углом 45о к основанию пирамиды .Найти радиус вписанного шара.
  • Решение.
  • 1)OK= rвпис.окр. =S/p;
  • S=p* rвпис.окр . ;p=18;
  • S=√p(p-a) (p-b) (p-c);
  • S ∆АВС=36;OK=2.
  • 2) ∆POK: KOш.-биссектриса, т.о.
  • ООш./Ош.p=OK/PK=cos 45о ;
  • ООш./Ош.p=1/ √2;
  • <PKO=45о ,т.е.ОК=ОР=2
  • ⅟₂Rш-Rш.=1/ √ 2;
  • √ 2 Rш.=2-Rш.;
  • Rш.=2/(1+ √ 2)=2(√ 2-1).
  • Ответ: 2(√ 2-1).
  • Теорема 6
  • В любой тетраэдр можно вписать сферу.
  • Теорема 7
  • Если в многогранник, объем которого равен V,а площадь поверхности равна S,вписан шар радиуса R,то имеет место соотношение:
  • V=⅓S*R
  • 3.Основание пирамиды- треугольник АВС,В котором АВ|ВС,АВ=4,ВС=3.Боковое ребро РА перпендикулярно плоскости основания пирамиды и равно 3.Найдите объем шара, вписанного в пирамиду.
  • Решение.
  • 1)Vпир.=⅓S ∆ ABC*AP;
  • Vпир.=⅓*⅟₂*3*4*3=6.
  • 2)PB|BC(по теореме о трех перпендикулярах);АС=PB=5.
  • 3) S ∆PАВ=S ∆АВС= ⅟₂*4*3=6.
  • S ∆PВC= S ∆PАC=⅟₂*3*5=7,5.
  • Sполн.=2*6+2*7,5=12+15=27.
  • 4)Rш.=3 Vпир./S;
  • Rш.=3*6/27=⅔;
  • Vш.=⁴⁄₃ПR 3=32П/81.
  • Ответ: 32П/81.
  • 4. Шар вписан в прямую призму, основание которой- равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 8.Найдите объем шара и объем призмы.
  • Решение.
  • 1)Rш.= rвпис.окр . ;Hпр.=D впис.окр.=CK.
  • 2)DC+AB=AD+CB;
  • 2BC=2+8; BC=5.
  • 3)BC=⅟₂(AB-DC); BK= ⅟₂(8-2)=3;
  • 4) ∆BCK:CK=4; Rш.=2.
  • 5)Vпр.=Sосн.*Нпр.;
  • Vпр.=80;
  • Vш.= ⁴⁄₃ПR 3 ;
  • Vш.= ⁴⁄₃П2 3 =32П/3.
  • Ответ: 32П/3.
  • Спасибо за внимание

Геометрия - еще материалы к урокам: