Презентация "Квадратные уравнения" 9 класс
Подписи к слайдам:
- Диофантовы уравнения
- В Вавилоне
- В древней Азии
- В Древней Индии
- Алгебраическое квадратное уравнение общего вида
- Решение уравнения по формуле
- При четном b
- Теорема Виета
- Решение неполных квадратных уравнений
- Метод разложения на множители
- Метод переброски
В Древней Индии Задачи на составление квадратных уравнений встречаются уже в астрономическо трактате «Ариа-бхатиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый Брахмагупта(VII в.) изложил общее правило решения квадратных уравнений вида ах2+ bх= с. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг по поводу таких соревнований говорится следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму. Алгебраическое квадратное уравнение общего вида
- +
- x — свободная переменная, a, b, c — коэффициенты, причём a 0.
- Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия: a называют первым или старшим коэффициентом, b называют вторым или коэффициентом при x, c называют свободным членом.
- Корень — это значение переменной x, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное равенство.
- Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице.
- Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.
- Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов кроме старшего равен нулю.
- +
- С помощью D= -4ac;
- D>0, то
- D=0,то
- D<0, то
- Пример 1) 2+5x-3=0. a=2; b=5; c=-3. D=— 4ac=-4∙2∙(-3)=25+24=49=>0; 2 действительных корня.
- Пример 2) -12x+36=0. a=1; b=(-12); c=36. D=— 4ac=-4*1*36=0 =>1 действительный корень x===6
- Пример 3) -25x+23 =0 a=7; b=(-25); c=23 . D=— 4ac=-4*7*23=625-644=-19 D<0 =>
- Для уравнений вида + = 0, то есть при чётном b, где k=b
- Воспользуемся формулой: D=-ac; D>0, то
- D=0,то x=-
- D<0, то .
Пример 1) 5-14x-3=0.
Решение. a=5; b= -14 (четное число); c=-3.
Пример 2) 9-30x+25=0.
Решение. a=9; b=-30 (четное число); c=25.
Теорема Виета
- + = 0 - приведенное уравнение (a=1)
- Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
p, со знаком взяв обратным,
На два мы его разделим,
И от корня аккуратно
Знаком «минус-плюс» отделим.
А под корнем очень кстати
Половина p в квадрате
Минус q — и вот решенья,
То есть корни уравненья.
«Минус» напишем сначала,
Рядом с ним p пополам,
«Плюс-минус» знак радикала,
С детства знакомого нам.
Ну, а под корнем, приятель,
Сводится всё к пустяку:
p пополам и в квадрате
Минус прекрасное q.
Мнемонические правила:
Решение с помощью теоремы Виета- Пример 1) +6x+8=0 второй коэффициент р=6 и свободный член q=8.
- += –р=-6 *= q=8
- =-4 =-2
- На самом деле: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q.
- Ответ: -4; -2.
- Квадратное уравнение может быть неполным. В этом случае b или c (или и то, и другое) равны нулю. Например:
Обычно неполные квадратные уравнения решают 2 способами:
1)Вынесением X за скобки
2)Перенесением числа С в правую часть
Рассмотрим пример
Метод «переброски»- Так называемый метод «переброски» позволяет сводить решение неприведённых и непреобразуемых к виду приведённых с целыми коэффициентами путём их деления на старший коэффициент уравнений к решению приведённых с целыми коэффициентами. Он заключается в следующем:
- Дано: a+bx+c=0
- 1)Перебрасываем старший коэффициент к свободному члену +bx+ac=0
- 2) Далее уравнение решают устно описанным выше способом
- 3) Затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений :a; :a
- привести квадратное уравнение общего вида к виду:
- А(х)·В(х)=0,
- где А(х) и В(х) – многочлены относительно х.
- Способы:
- Вынесение общего множителя за скобки;
- Использование формул сокращенного умножения;
- Способ группировки
Алгебра - еще материалы к урокам:
- Презентация "Область определения функции" 9 класс
- Презентация "Уравнения, сводящиеся к квадратным" 8 класс
- Терминологический диктант для 11 класса 1 четверть
- Терминологические диктанты по алгебре для 8 класса (1.2.3 четверти)
- Терминологический диктант по алгебре 7 класс 1 четверть
- Презентация "Арифметическая прогрессия"