Задачи на совместную работу и производительность

Задачи на совместную работу и производительность
Задачи этого типа содержат обычно сведения о выполнении несколькими
субъектами (рабочими, механизмами, насосами и т.п.) некоторой работы, объём
которой не указывается и не является искомым (например, перепечатка рукописи,
изготовление деталей, рытьё траншей, заполнение через трубы водоёма и т.д.).
Предполагается, что выполняемая работа проводится равномерно, т.е. с постоянной
для каждого субъекта производительностью. Так как величина выполняемой работы
(или объём заполняемого бассейна, например) нас не интересуют, то объём всей
работы. или бассейна принимается за единицу. Время t, требующееся для
выполнения всей работы, и Р - производительность труда, то есть величина работы,
сделанной за единицу времени, связаны
соотношением P=
1/t
.Полезно знать стандартную схему решения типовых задач.
Пусть один рабочий выполняет некоторую работу за х часов, а другой - за у часов.
Тогда за один час они выполнят соответственно 1/x и 1/y часть работы. Вместе за
один час они выполнят 1/x +1/y часть работы. Следовательно, если они будут
работать вместе, то вся работа будет выполнена за 1/ (1/x+ 1/y)
Решение задач на совместную работу вызывает у учащихся трудности, поэтому при
подготовке к экзамену можно начать с решения самых простых задач. Рассмотрим
тип задач, при решении которых достаточно ввести только одну переменную.
Задача 1. Один штукатур может выполнить задание на 5 часов быстрее другого.
Оба вместе они выполнят это задание за 6 часов. За сколько часов каждый из них
выполнит задание?
Решение. Пусть первый штукатур выполняет задание за x часов, тогда второй
штукатур выполнит это задание за x +5 часов. За 1 час совместной работы они
выполнят 1/x + 1/(x+5) задания. Составим уравнение
6×(1/x+ 1/(x+5))= 1 или x² -7x -30 = 0. Решив данное уравнение ,получим x= 10 и x=
-3. По условию задачи x величина положительная. Следовательно, первый
штукатур может выполнить работу за 10 часов , а второй - за 15 часов.
Задача 2. Двое рабочих выполнили работу за 12 дней. За сколько дней может
выполнить работу каждый рабочий, если одному из них на выполнение всей работы
потребовалось на 10 дней больше, чем другому?
Решение. Пусть первый рабочий тратит на всю работу x дней, тогда второй- (x-10)
дней. За 1 день совместной работы они выполняют 1/x+ 1/(x-10) задания. Составим
уравнение
12×(1/x+ 1/(x-10)= 1 или x²- 34x +120=0. Решив данное уравнение, получим x=30 и
x= 4. Условию задачи удовлетворяет только x=30 .Поэтому первый рабочий может
выполнить работу за 30 дней, а второй – за 20 дней.
Задача 3. За 4 дня совместной работы двумя тракторами было вспахано 2/3 поля. За
сколько дней можно было бы вспахать все поле каждым трактором , если первым
его можно вспахать на 5 дней быстрее ,чем вторым?
Решение. Пусть первый трактор тратит на выполнение задания x дней, тогда
второй x+ 5 дней. За 4 дня совместной работы оба трактора вспахали 4×(1/x +
1/(x+5)) задания, то есть 2/3 поля. Составим уравнение 4×(1/x+ 1/ (x+5)) = 2/3 или
-7x -30 = 0. . Решив данное уравнение, получим x= 10 и x= -3. По условию
задачи x величина положительная. Следовательно, первый трактор может
вспахать поле за 10 часов , а второй - за 15 часов.
Задача 4 . Маша может напечатать 10 страниц за 1 ч. Таня 4 страницы за 0,5 , а
Оля- 3 страницы за 20 минут. Как девочкам распределить 54 страницы текста между
собой , .чтобы каждая работала в течение одного и того же времени?
Решение. По условию Таня печатает 4 страницы за 0,5ч, т.е. 8 страниц за 1ч., а Оля
9 страниц за 1ч. Обозначив за Х часов- время, в течение которого девочки
работали, получим уравнение
10Х +8Х+9Х =54, откуда Х= 2.
Значит, Таня должна напечатать 20 страниц, Таня-16 страниц, а Оля 18 страниц.
Задача 5. На двух множительных аппаратах, работающих одновременно, можно
сделать копию рукописи за 20 мин. За какое время можно выполнить эту работу на
каждом аппарате в отдельности, если известно, что при работе на первом для этого
потребуется на 30 мин меньше, чем при работе на втором?
Решение. Пусть Х мин - время, которое требуется на выполнение копии на первом
аппарате, тогда Х+30 мин- время работы на втором аппарате. Тогда 1/Х копии
выполняет первый аппарат за 1 мин, а 1/(Х+30) копии- второй аппарат.
Составим уравнение: 20× (1/Х + 1/(Х+30)) = 1, получим X²-10X-600= 0. Откуда Х
=30 и Х = - 20. Условию задачи удовлетворяет Х= 30. Получили : 30 мин - время ,
за которое первый аппарат сделает копию, 60 мин- второй.
Задача 6.Фирма А может выполнить некоторый заказ на производство игрушек на 4
дня быстрее, чем фирма В. За какое время может выполнить этот заказ каждая
фирма, если известно , что при совместной работе за 24 дня они выполняют заказ в
5 раз больший?
Решение. Обозначив за Х дней- время , необходимое фирме А на выполнение
заказа, тогда Х + 4 дней - время для фирмы В. При составлении уравнения
необходимо учесть , что за 24 дня совместной работы будет выполнено не 1 заказ, а
5 заказов. Получим , 24× (1/X + 1/(X+4)) = 5.Откуда следует 5 Х²- 28Х-96 = 0.
Решив квадратное уравнение получаем, Х = 8 и Х = - 12/5. Первая фирма может
выполнить заказ за 8 дней , фирма В за 12 дней.
При решении следующих задач необходимо вводить более одной переменной и
решать уже системы уравнений.
Задача 7. Двое рабочих выполняют некоторую работу. После 45 мин
совместной работы первый рабочий был переведен на другую работу, и второй
рабочий закончил оставшуюся часть работы за 2 ч 15 мин. За какое время мог бы
выполнить всю работу каждый рабочий в отдельности, если известно, что второму
для этого понадобится на 1 ч больше, чем первому?
Решение. Пусть первый рабочий выполняет всю работу за х часов, а второй - за
у часов. Из условия задачи имеем х = у -1. За 1 ч первый
рабочий выполнит 1/x часть работы, а второй 1/y часть работы. Т.к. они работали
вместе ¾ ч, то за это время они выполнили ¾ ( 1/x + 1/y)
часть работы. За 2и 1/4ч работы второй выполнил 9/4× (1/y) часть работы. Т.к. вся
работа выполнена, то составляем уравнение ¾ ( 1/x+1/y)+9/4×1/y=1 или
¾ ×1/x + 3 ×1/y =1
Подставив значение x в это уравнение, получаем ¾× 1/ (y-1)+
3×1/y = 1. Сводим это уравнение к квадратному
2
-19у + 12 = 0,
которое имеет
решения у
1
=
ч и у
2
= 4 ч. Первое решение не подходит (оба рабочие только
вместе работали ¾ ч!). Тогда у = 4 , а х = 3.
Ответ. 3 часа, 4 часа.
Задача 8. Бассейн может наполниться водой из двух кранов. Если первый кран
открыть на 10 мин, а второй - на 20 мин, то бассейн будет наполнен.
Если первый кран открыть на 5 мин, а второй - на 15 мин, то заполнится 3/5
бассейна.
За какое время из каждого крана в отдельности может заполниться весь бассейн?
Решение. Пусть из первого крана можно заполнить бассейн за х мин, а из второго
- за у 1 мин. Первый кран заполняет
часть бассейна, а второй
. За 10 мин из
первого крана заполнится

часть бассейна, а за 20 мин из второго крана -

.
Т . бассейн будет заполнен, то получаем первое уравнение:


 .
Аналогично составляем второе уравнение

(заполняется на весь
бассейн, а только
его объема). Для упрощения решения задачи введём новые
переменные:
 
  Тогда имеем линейную систему уравнений:
5u + 15v = 3/5
10u + 20v =1,
,
решение которой будет u=

v=

. Отсюда получаем ответ: x=

мин, y=50
мин.
Задача 9. Двое выполняют работу. Сначала первый работал
времени, за
которое второй выполняет всю работу. Затем второй работал
времени, за
которое первый закончил бы оставшуюся работу. Оба они выполнили только


всей работы. Сколько времени требуется каждому для выполнения этой работы,
если известно, что при совместной работе они сделают её за 3 ч 36 мин?
Решение. Обозначим через х часов и у часов время, за которое выполняют всю
работу первый и второй соответственно. Тогда
и
- те части работы, которые они выполняют за 1ч. Работая (по условию)
времени, первый выполнит
часть работы. Останется невыполненной
часть работы, на которую первый затратил бы
часов. По условию второй работает 1/3 этого времени. Тогда он
выполнит
 
часть работы. Вдвоём они выполнили только


всей работы. Следовательно, получаем уравнение


.
Работая совместно, за 1 час оба сделают
+
часть работы. Так как по условию
задачи они сделают эту работу за 3 ч 36 мин (то есть зa 3



часа), то за 1 час они
сделают

всей работы. Отсюда 1/x + 1/y = 5/18. Обозначив в первом уравнении
 , получим квадратное уравнение
6t
2
- 13t + 6 = 0, корни которого равны t
1
=2/3 , t
2
=3/2. Так как неизвестно, кто
работает быстрее, то рассматриваем оба случая.
а) t =
=> у =
х. Подставляем у во второе уравнение:

 Очевидно, что это не является решением
задачи, так как вместе они делают работу больше чем за З ч.
б) t=3/2 => y=3/2x. Из второго уравнения имеем 1/x +2/3× 1/x =5/18.Отсюда х=6,
у =9.
Задача10. В резервуар поступает вода из двух труб различных диаметров. В
первый день обе трубы, работая одновременно, подали 14 M
3
воды. Во второй день
была включена лишь малая труба. Она подала 14 м
3
воды, проработав на 5 ч
дольше, чем в первый день. В третий день работа продолжалась столько же
времени, сколько во второй, но сначала работали обе трубы, подав 21 м
3
воды. А
затем работала лишь большая труба, подавшая еще 20 м
3
воды. Найти
производительность каждой трубы.
Решение. В данной задаче нет абстрактного понятия "объем водоема", а
указываются конкретные объемы воды, которые поступают по трубам. Однако
методика решения задачи фактически остается прежней.
Пусть меньшая и большая трубы перекачивают за 1 час х и у м
3
воды. Работая
вместе, обе трубы подают х + у м
3
воды.
Следовательно, в первый день трубы работали 14/(x+y) часов. Во второй день малая
труба работала на 5 часов больше, т. е. 5+14/(x+y). За это
время она подала 14 м
3
воды. Отсюда получаем первое уравнение


14
или 5+14/(x+y)=14/x. В третий день обе трубы вместе работали21/(x+y) часов, а
затем большая труба работала 20/x часов. Суммарное время труб совпадает со
временем работы первой трубы во второй день, т. е.
5+14/(x+y) =21/(x+y)+ 20/x. Так как левые части уравнения равны, то имеем




. Освободившись от знаменателей, получаем однородное уравнение
20x
2
+27xy-14y
2
=0. Разделив уравнение на y
2
и обозначив x/y=t, имеем 20t
2
+27t-14=0.
Из двух корней этого квадратного уравнения (t
1
=
, t
2
=
) по смыслу задачи
подходит только t=
. Следовательно, x=
y. Подставив x в первое уравнение,
находим y=5. Тогда x=2.
Задача 11. Две бригады, работая совместно, вырыли траншею за два дня.
После этого они начали рыть траншею той же глубины и ширины, но длиннее
первой в 5 раз. Сначала работала только первая бригада, а затем только вторая
бригада, выполнив в полтора раза меньший объем работы, чем первая бригада.
Рытье второй траншеи было закончено за 21 день. За сколько дней вторая бригада
смогла бы вырыть первую траншею, если известно, что объем работы,
выполняемый первой бригадой за один день, больше объема работы, выполняемого
за один день второй бригадой?
Решение. Эту задачу удобнее решать, если привести выполняемую работу к
одному масштабу. Если обе бригады вырыли, работая вместе, первую траншею за 2
дня, то, очевидно, вторую траншею пять раз длиннее) они вырыли бы за 10 дней.
Пусть первая бригада вырыла бы эту траншею за х дней, а вторая - за у, т.е. за 1
день первая вырыла бы
часть траншеи, вторая - за 1/y , а вместе -1/x+1/y часть
траншеи.
Тогда имеем

. Бригады при рытье второй траншеи работали
раздельно. Если вторая бригада выполнила объем работы m, то (по условию задачи)
- первая бригада
. Так как m +
m =
m равно объему всей работы,
принимаемому за единицу, то m=
. Следовательно, вторая бригада выкопала
траншеи и затратила на это
у дней. Первая бригада выкопала
траншеи и
затратила
х дней. Отсюда имеем
  или х =35-
.
Подставляя х в первое уравнение, приходим к квадратному уравнению
2
- 95у
+1050 = 0, корнями которого будут у
1
=

и у
2
= 30. Тогда соответственно х
1
=

и х
2
=15. Из условия задачи
выбираем нужное: у = 30. Так как
найденное значение относится ко второй траншее, то первую траншею пять раз
короче) вторая бригада вырыла бы за 6 дней.
Задача 12. Три экскаватора участвовали в рытье котлована объемом 340 м
3
. За
час первый экскаватор вынимает 40 м
3
фунта, второй - на с м
3
меньше первого, а
третий - на больше первого. Сначала работали одновременно первый и второй
экскаваторы, и выкопали 140 м
3
грунта. Затем оставшуюся часть котлована
выкопали, работая одновременно, первый и третий экскаваторы. Определить
значения с (0<с<15), при котором котлован был выкопан за 4 ч, если работа велась
без перерыва.
Решение. Так как первый экскаватор вынимает 40 м
3
грунта в час, то второй -
(40-с) м
3
, а третий - (40+2с) м
3
фунта в час. Пусть первый и второй экскаваторы
вместе работали х часов. Тогда из условия задачи следует (40+40-с)х = 140 или (80-
с)х = 140. Если первый и третий экскаваторы работали вместе у часов, то имеем
(40+40+2с)у = 340-140 или (80+2с)у 200. Так как общее время работы равно 4
часам, то получаем для определения с следующее уравнение х + у = 4 или

 

 
 
Это уравнение равносильно квадратному уравнению с
2
-30с+ 200 = 0, решениями
которого будут с
1
= 10 м
3
и с
2
= 20м
3
. По условию задачи подходит только
с = 10 м
3
.
Задача 10. Каждому из двух рабочих поручили обработать одинаковое
количество деталей. Первый начал работу сразу и выполнил ее за 8 ч. Второй же
потратил сначала больше 2 ч на наладку приспособления, а затем с его помощью
закончил работу на 3 ч раньше первого. Известно, что второй рабочий через час
после начала своей работы обработал столько же деталей, сколько к этому моменту
обработал первый. Во сколько раз приспособление увеличивает производительность
станка (т.е. количество обрабатываемых деталей за час работы)?
Решение. Это пример задачи, в которой не все неизвестные надо находить.
Обозначим время наладки станка вторым рабочим через х (по условию х>2).
Пусть необходимо было обработать каждому по n деталей.
Тогда первый рабочий в час обрабатывает
деталей, а второй


деталей.
Оба рабочих одинаковое число деталей обработали через час после начала работы
второго. Это означает, что
 

Отсюда получаем уравнение для
определения х : х
2
- + 3-0 корнями которого будут х
1
= 1 и х
2
= 3. Т. к.
х > 2 , то необходимое значение - это х = 3. Следовательно, второй рабочий обра-
батывает в час
деталей. Т. к. первый рабочий в час обрабатывает
деталей, то отсюда находим, что приспособление увеличивает производительность
труда в
= 4 раза.
Задача 13. Трое рабочих должны изготовить некоторое количество деталей.
Сначала к работе приступил только один рабочий, а через некоторое время к нему
присоединился второй. Когда 1/6 часть всех деталей была изготовлена, к работе
приступил и третий рабочий. Работу они закончили одновременно, причем каждый
изготовил одинаковое количество деталей. Сколько времени работал третий
рабочий, если известно, что он работал на два часа меньше второго и что первый и
второй, работая вместе, могли бы изготовить все требуемое количество деталей на 9
часов раньше, чем это бы сделал бы третий, работая отдельно?
Решение. Пусть первый рабочий работал х часов, а третий - у часов. Тогда
второй рабочий работал на 2 часа больше, т. е. у+2 часа. Каждый из них изготовил
равное количество деталей, т. е. по 1/3 всех деталей. Следовательно, все детали
первый изготовил бы за часов, второй за 3(у+2) часов, а третий - за 3у часов.
Поэтому первый изготовляет в час

часть всех деталей, второй -

и третий -

.
Так как все трое за время совместной работы изготовили
всех деталей, то
получаем первое уравнение (все трое вместе работали у часов)



. (1)