Ученики на Учителя.com


Факультативное занятие "Золотое сечение: теория и практика" 9-10 класс (2 часа)

Занятие
«ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ:
ИСТОРИЯ И ПРАКТИКА»
(2 часа)
9-10 классы
Разработала: Белоногова Ирина Дмитриевна
1
2
Занятие «ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ: ИСТОРИЯ И ПРАКТИКА» (2 часа)
9-10 классы
Цель: расширение кругозора учащихся в области познания математических
закономерностей в мире и создание условий для развития навыков
самостоятельного поиска решения задачи.
Задачи:
• краткий обзор применения «золотого сечения» в архитектуре, искусстве,
его проявлений в природе;
• определение понятия «золотой пропорции», нахождение значения чисел
и ;
• решение задачи о среднем и крайнем отношении с доказательством,
• определение золотого треугольника и решение задачи на доказательство
того, что треугольник является золотым;
• применение понятия «золотого сечения» при решении задач
повышенного уровня
Оборудование: проектор, компьютер, презентация Power Point, раздаточный
материал – маршрутный лист (приложение), доска, циркуль, карандаш, ручка,
линейка, плакат – высказывание, информационный сборник «Золотое сечение».
«…Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора
и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота,
то второе – с драгоценным камнем».
(Иоганн Кеплер)
У каждого учащегося на столе расположены предметы для работы на
уроке: карандаш, циркуль, линейка, маршрутный лист, лист-
черновик.
Ход занятия
I.
Организационно-мотивационный этап занятия
3
Что общего между древнегреческими архитектурными сооружениями,
древнеегипетскими пирамидами, полотном Леонардо да Винчи «Мона Лиза»,
подсолнухом, улиткой, сосновой шишкой, телом человека?
В последнее время понятие, объединяющее все выше названное, можно
услышать очень часто. Может быть, это следование моде, может быть
удивление совсем не новому открытию. Но я точно знаю, что далеко не все, кто
говорит об этом понятии, до конца его понимают.
Учащимся задается вопрос о том, что мы сегодня будем рассматривать на
уроке.
Те объекты, которые нам нравятся, признаются шедеврами искусства, обычно
является красивыми, гармоничными. Людей с давних времен волновал вопрос,
подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония каким-либо
математическим расчетам? Можно ли «проверить алгеброй гармонию»? – как
сказал А.С. Пушкин.
Все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но сегодня мы
познакомимся с одним из таких математических соотношений.
Сейчас невозможно достоверно установить ни человека, впервые открывшего
золотую пропорцию, ни время, когда это произошло. Многие исследователи
считают первооткрывателем золотой пропорции греческого математика и
философа Пифагора. Но есть предположения, что Пифагор свое знание
золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно,
пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и
украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют о том, что египетские
мастера пользовались соотношением «золотого деления» при их создании.
У учащихся спрашивается, что они знают о «Золотой пропорции». Ребята
нацеливаются на то, что в конце урока им нужно будет составить
смысловые цепочки из составляющих, расположенных на доске
(интерактивной доске).
4
Информирование учащихся о «золотом сечении» с помощью презентации
Информационный блок (приложение).
II.
Процессуально-деятельностный этап занятия
1) Определение «золотой пропорции»
На левой части доски записано:
Что же такое «Золотая пропорция»?
Как же отметить на отрезке АВ точку С так, чтобы она делила этот
отрезок в золотом отношении?(Ответы учащихся могут быть разными).
Отметим такую точку «на глаз», она должна быть немного смещена от центра
отрезка влево или вправо.
Определение «золотого сечения»
А
В
А
С
В
5
Говорят, что точка С делит отрезок АВ в точке «золотого сечения», если длина
меньшего отрезка так относится к длине большего отрезка, как длина большего
отрезка относится к длине всего отрезка, т.е.
СВ
=
АС
=
АС АВ
Или
Говорят, что точка С делит отрезок АВ в точке «золотого сечения», если длина
большего отрезка так относится к длине меньшего отрезка, как длина всего
отрезка относится к длине большего отрезка, т.е.
Историческая справка.
АС
=
АВ
=
СВ АС
Золотое отношение обозначается буквой
(
)
– «фи», которая является
первой буквой в имени великого древнегреческого скульптора Фидия, жившего
в V в. до н.э. Фидий использовал золотое отношение в своих произведениях
«Зевс Олимпийский» и «Афина Парфенос». Такое обозначение золотого сечения
предложил в конце XX века американец Марк Барр.
Давайте проверим правильно ли мы поставили точку С на отрезке АВ.
2) Решение задачи деления отрезка в крайнем и среднем отношении.
Построим прямоугольный
треугольник, у которого один
катет в два раза больше другого.
Для этого восстановим в точке В
перпендикуляр к прямой АВ и на
нем отложим отрезок
BD =
1
AB .
2
Соединив точки А и D, отложим отрезок DE = BD, и АС = АЕ. Точка С
производит золотое сечение отрезка АВ.
2
Доказательство:
АВD – прямоугольный по построению.
По теореме Пифагора АD
2
= AB
2
+ BD
2
.
Так как отрезок AD равен сумме отрезков АЕ и ЕD, то равенство перепишем в
виде:
(АЕ + ЕD)
2
= AB
2
+ BD
2
,
(АС +
1
АВ)
2
2
= АВ
2
+
1
2
АВ
,
АС
2
+ 2
1
АС АВ +
1
АВ
2
= АВ
2
+
1
АВ
2
,
2 4 4
АС
2
+
АС
АВ
=
АВ
2
,
АС
2
=
АВ
2
−
АС
АВ
,
АС
2
= (АВ − АС) АВ
,
АС
2
=
СВ
АВ
,
СВ
=
АС
АС АВ
Задача имеет единственное решение.
Мы практически точно отметили точку С.
Деление отрезка в золотом отношении – это очень древняя задача. В
дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается
в «Началах» Евклида (13 книг). Шестая книга содержит текст, с которого
началась история золотого сечения: «Разделить прямую линию в крайнем и
среднем отношении значит разделить ее на два таких отрезка, чтобы
отношение всей линии к большему отрезку равнялось отношению большего
отрезка к меньшему».
3) Значение числа φ и Φ.
На центральной части доски записано:
Чему равно число ϕ?
А
С
В
7
)
Пусть длина отрезка АВ равна 1. Обозначим длину отрезка АС буквой х.
Тогда 1 – х – это длина отрезка СВ.
По определению золотой пропорции:
СВ
=
АС
1
−
х
=
х
АС АВ х
1
х
2
+ х – 1 = 0
D = 1
2
– 4 ∙1 ∙ (–1)
2
= 1 + 4 = 5
х =
−1 + 5
1
2
и х
2
=
−1 − 5
2
х
2
– не удовлетворяет условию, так длина отрезка не может выражаться
отрицательным числом.
Значит, отношение
СВ
=
АС
АС АВ
=
х
=
1
5 −1
0,6 .
2
Число =
1
.
Задание для учащихся. Найдите значение числа .
1 1 2 2
(
5 + 1) 2
(
5 + 1) 5 + 1
= =
= = =
= 1,6
5 −1
2
5 −1
(
5 −1
)
(
5 + 1
4 2
Определение золотого треугольника.
х
1 – х
А
С
В
1
8
Равнобедренный треугольник, основание и боковая
сторона которого находятся в золотом отношении,
называется золотым треугольником.
(Но существует еще понятие золотого
прямоугольника – прямоугольника, у которого
стороны находятся в золотом отношении.
Окружающие нас предметы дают примеры золотых прямоугольников:
обложки многих книг, журналов, открытки, картины, крышки столов и т.д.)
Задача 1. Докажите, что золотыми треугольниками
являются равнобедренные треугольники с углом 36° при
вершине, противолежащей основанию.
Доказательство:
Проведем биссектрису АD.
Пусть АВ = ВС = 1, АD = х.
Треугольники САD и ABD – равнобедренные,
т.к. углы при основании равны.
ΔСАD ~ ΔАВС (по двум углам):
СD
=
АС
,
1
−
х
=
х
,
АС АВ х
1
Значит, х =
5 −1
=
.
2
АС
=
ΔАВС – золотой треугольник.
АВ
Ч.т.д.
Задача 2. Найдите радиус окружности, описанной около
правильного десятиугольника со стороной 1.
Решение:
Рассмотрим Δ АОВ – равнобедренный (АО = ВО).
АОВ = 36
,
ОАВ = ОВА = 72
.
Проведем биссектрису ВD.
АВ = 1, ОВ = ОА = х.
Треугольники АВD и ODB – равнобедренные,
т.к. углы при основании равны.
9
ΔАBD ~ ΔBOA (по двум углам):
АВ
=
АD
,
1
=
х −1
, x(х – 1 ) = 1, х
2
– х – 1 = 0,
ВО ВА х 1
х
2
– х – 1 = 0,
D = 1 + 4 = 5,
х
1,2
=
1 5
,
2
Значит, х =
5 + 1
= .
2
Ответ:
5 + 1
.
2
III.
Оценочно-рефлексивный этап урока
1) Фиксация содержания урока:
• Что удивило учащихся на уроке?
• Что нового узнали учащиеся на уроке?
• В каком случае изученный способ решения задач учащиеся смогут
применить?
2) Фиксация понимания и запоминания нового материала:
• Что вызвало трудности на уроке?
• Что понравилось на уроке?
• Составьте цепочки по четыре составляющие, относящиеся к понятиям,
записанным в начальных стрелках.
10
3) Оценка и самооценка деятельности на уроке:
• оценка каждого учащегося своей деятельности на уроке по десятибалльной
шкале;
• указание вопросов, которые учащиеся хотели бы рассмотреть шире и
глубже.
11
ПРИЛОЖЕНИЕ
МАРШРУТНЫЙ ЛИСТ
Тема занятия: «Золотое сечение: теория и практика»
1. Понятие «Золотой пропорции»
2. Задача. Деление отрезка в крайнем и среднем отношении.
Доказательство:
В
А
12
3. Найдите значения чисел ϕ и Φ.
Задача 1. Докажите, что золотыми
треугольниками являются равнобедренные
треугольники с углом в 36° при вершинах,
противолежащих основаниям.
Задача 2. Найдите радиус окружности, описанной около правильного
десятиугольника со стороной 1.
В
36°
72°
72°
А
С
13
Список литературы:
1. Н.Васютинский. Золотая пропорция. – М.: Молодая Гвардия, 1990.
2. Ковалев Ф. В. Золотое сечение в живописи: учеб. пособие.– К.: Высшая
школа, 1989.
3. Смирнова И.М. Геометрия. 10-11 класс: учеб. Для учащихся общеобразоват.
учреждений (базовый и профильный уровни)/ И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. –
М.: Мнемозина, 2008.
Скачать материал

Обществознание - еще материалы к урокам: