Презентация "Замечательные точки треугольника"


Подписи к слайдам:
Замечательные точки треугольника

- оказание помощи ученикам и учителям в освоении программы WGEO; в использовании её для решения геометрических задач на построение; в ознакомлении учащихся с замечательными точками треугольника и методами их построения.

  • - оказание помощи ученикам и учителям в освоении программы WGEO; в использовании её для решения геометрических задач на построение; в ознакомлении учащихся с замечательными точками треугольника и методами их построения.
  • Задачи:
  • - углубить представления о треугольнике;
  • - научить строить замечательные точки в треугольнике;
  • - решать простейшие и нестандартные задачи с помощью программы WGEO;

Треугольник простейший и неисчерпаемый.

  • Треугольник простейший и неисчерпаемый.
  • Замечательные точки треугольника.
  • Центр описанной окружности.
  • Центр вписанной окружности.
  • Центр тяжести.
  • Ортоцентр.
  • Прямая Эйлера.
  • Окружность девяти точек.

        Треугольник всегда имел широкое применение в практической жизни. Так, в строительном искусстве испокон веков используется свойство жесткости треугольника для укрепления различных строений и их деталей. Изображение треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и других древних документах. В древней Греции учение о треугольнике развивалось в ионийской школе, основанной в VII веке до нашей эры Фалесом, в школе Пифагора и других, оно было затем полностью изложено в первой книге "Начал" Евклида. Среди "определений", которыми начинается эта книга, имеются и следующие: "Из трехсторонних фигур равносторонний треугольник есть фигура, имеющая три равные стороны, равнобедренный же – имеющая только две равные стороны, разносторонний – имеющая три неравные стороны". Понятие о треугольнике исторически развивалось, по-видимому, так: сначала рассматривались лишь правильные, затем равнобедренные и, наконец, разносторонние треугольники.

  •         Треугольник всегда имел широкое применение в практической жизни. Так, в строительном искусстве испокон веков используется свойство жесткости треугольника для укрепления различных строений и их деталей. Изображение треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и других древних документах. В древней Греции учение о треугольнике развивалось в ионийской школе, основанной в VII веке до нашей эры Фалесом, в школе Пифагора и других, оно было затем полностью изложено в первой книге "Начал" Евклида. Среди "определений", которыми начинается эта книга, имеются и следующие: "Из трехсторонних фигур равносторонний треугольник есть фигура, имеющая три равные стороны, равнобедренный же – имеющая только две равные стороны, разносторонний – имеющая три неравные стороны". Понятие о треугольнике исторически развивалось, по-видимому, так: сначала рассматривались лишь правильные, затем равнобедренные и, наконец, разносторонние треугольники.

ЦЕНТР ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ

  • ЦЕНТР ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ
  • Начертим произвольный треугольник ABC и проведем серединные перпендикуляры к его сторонам. Если построение выполнено точно, то все перпендикуляры пересекутся в одной точке – точке О. Эта точка равноудалена от всех вершин треугольника. Другими словами, если провести окружность с центром в точке О, проходящую через одну из вершин треугольника, то она пройдет и через две другие его вершины. Поэтому установленное свойство треугольника можно сформулировать так: серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре описанной окружности.

ЦЕНТР ВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ

  • ЦЕНТР ВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ
  • В произвольном треугольнике ABC проведем биссектрисы его углов. И вновь при точном построении все три биссектрисы пересекутся в одной точке D. Точка D – тоже необычная: она равноудалена от всех трех сторон треугольника. В этом можно убедиться, если опустить перпендикуляры DA 1, DB 1 и DC1 на стороны треугольника. Все они равны между собой: DA 1=DB1=DC1.
  • Итак, биссектрисы углов треугольника пересекаются в центре вписанной окружности.

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

  • ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
  • Построим середины сторон треугольника и проведем отрезки, соединяющую каждую из вершин с серединой противолежащей стороны. Такие отрезки называются медианой. И вновь мы наблюдаем, что и эти отрезки пересекаются в одной точке. Если мы измерим длины получившихся отрезков медиан , то сможете проверить еще одно свойство: точка пересечения медиан делит все медианы в отношении 2:1, считая от вершин.

  • И еще, треугольник, который опирается на острие иглы в точке пересечения медиан, находится в равновесии! Точка, обладающая таким свойством, называется центром тяжести(барицентр).

ОРТОЦЕНТР

  • ОРТОЦЕНТР
  • Если из вершин произвольного треугольника провести перпендикуляры на противоположные стороны (их называют высотами), то все они пересекутся в одной точке H. Эта точка называется ортоцентром. С помощью построений можно проверить, что в зависимости от вида треугольника ортоцентр располагается по – разному: у остроугольного треугольника – внутри, у прямоугольного – на гипотенузе, а у тупоугольного – снаружи. Таким образом мы познакомились еще с одной замечательной точкой треугольника и можем сказать, что: высоты треугольника пересекаются в ортоцентре.

Во всяком треугольнике центр тяжести, ортоцентр, центр описанной окружности лежат на одной прямой. Причем точка пересечения медиан (центр тяжести) делит эту прямую в отношении 1:2! Эта прямая называется прямой Эйлера.

  • Во всяком треугольнике центр тяжести, ортоцентр, центр описанной окружности лежат на одной прямой. Причем точка пересечения медиан (центр тяжести) делит эту прямую в отношении 1:2! Эта прямая называется прямой Эйлера.

Середины сторон треугольника (точки A, B и С), основания его высот ( точки D, E и F) и середины отрезков от вершин до ортоцентра (точки M, N и L) лежат на одной окружности. Ее радиус равен половине радиуса описанной окружности. Такая окружность называется окружностью девяти точек или окружностью Эйлера.

  • Середины сторон треугольника (точки A, B и С), основания его высот ( точки D, E и F) и середины отрезков от вершин до ортоцентра (точки M, N и L) лежат на одной окружности. Ее радиус равен половине радиуса описанной окружности. Такая окружность называется окружностью девяти точек или окружностью Эйлера.

Cчитаю, что данная работа может быть использована , как учебное пособие учащимися при решении задач на построение и учителями для использования этого материала на уроках геометрии.

  • Cчитаю, что данная работа может быть использована , как учебное пособие учащимися при решении задач на построение и учителями для использования этого материала на уроках геометрии.